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스탬핑은 우표(stamp)를 찍어내거나 도장을 찍는다는 의미에서 유래된 용어로서, 포괄적으로 얇은 금소판재에 힘을 가해 원하는 형상으로 물체를 연수적으로 변형시키는 작업을 지칭한다. 스탬핑 성형은 얇은 금속판을 특수한 금속성형(metal forming) 장비를 이용하여 원하는 형상의 제품으로 찍어내는 성형기술을 의미한다. 스탬핑 성형은 자동차를 비롯하여 우리 생활과 밀접한 제품을 만들기 위해 많이 사용되고 있다.
이 성형기술은 금속판의 고유한 연성(ductility)과 굽힘강성(bending strength)을 이용하여 금속판에 영구적인 변형을 일으켜 원하는 형상을 유지하도록 하는 것이다. 이 기술은 금속판을 구부리는 작업이 대부분을 차지하기 때문에 구부린 후, 금속판의 탄성(elasticity)에 의해 원래 형상으로 복원하려는 스프링 백(spring-back) 특성을 제품 설계시 미리 고려해야 한다. 다시 말해 원하는 제품 형상을 정확한 치수로 성형하기 위해 이 거동을 미리 예측하여 성형장치를 설계하여야 한다.
스탬핑 성형은 최근 많이 사용되고 있는 유한요소해석(finite element analysis)을 활용하여 시뮬레이션 할 수 있고, 이를 통해 금속판을 찍어 누른 후 발생하는 스프링백 량을 정확히 예측할 수 있다.
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오차(error)란 정확한 답과 정확하지 않은 근사해(approximate solution)와의 차이를 의미한다. 그런데 정확한 답과 근사해와의 단순한 수치적 차이는 하중이나 물체크기 등에 따라 변하는 절대적인 개념의 오차이다. 예를 들어 한쪽 끝 단이 고정되어 있는 외팔보의 다른 끝 단에 수직 집중하중이 작용하는 경우를 생각해 보자. 힘이 작용하는 끝 단에서의 수직변위에 대한 오차는 정확한 변위 값과 근사적으로 계산한 변위 값의 차이이다.
하지만 힘을 받는 끝 단에서의 변위는 하중, 외팔보의 길이 그리고 외팔보의 물성치에 따라 그 크기가 변하기 때문에 정확한 값과 근사해와의 차이도 이러한 조건들에 따라 달라지게 된다. 일례로, 하중이 1일 때 정확한 변위 값이 0.005이고 근사적으로 계산한 변위 값이 0.004였다면 하중을 10으로 하여 계산하면 정확한 변위 값은 0.05 그리고 근사적인 변위 값은 0.04가 될 것이다. 따라서, 하중이 1일 경우 절대적인 오차는 0.001이고 하중이 10일 경우에서의 절대적인 오차는 0.01이 된다.
따라서 하중이 10일 경우가 오차가 더 크다고 잘못 판단할 수가 있다. 하지만, 두 경우에 있어 오차 크기의 차이는 근사해를 구하는 수치해석(numerical analysis) 조건이 달라졌기 때문이 아니라, 단순히 하중의 크기가 달라졌기 때문이다. 하지만 두 경우에 있어 근사해를 구하는 조건이 달라지기 않았기 때문에 근사해에 대한 정확성은 동일하여야 한다. 따라서, 두 경우에 있어 절대적 개념의 오차는 오차에 대해 잘못된 판단을 내리게끔 할 수 있다.
이러한 절대적 오차의 문제점을 해결하기 위해 사용되는 것이 상대적 개념의 오차이다. 상대오차란 오차 값이 수치해석과 연관된 파라메터가 아닌 하중, 물체의 크기 그리고 물성치 등의 변화에는 영향을 받지 않도록 정의된 오차이다. 상대오차는 절대오차 (absolute error)을 물체의 총 변형률 에너지로 나눈 상대비율을 백분율(%)로 정의된다.
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1738년 다니엘 베르누이(Daniel Bernoulli)가 발간한 저서 《유체역학》(HYDRODYNAMICA)에서 발표한 식으로 여러 가지 제한 조건을 만족하는 이상유체(ideal fluid)에 대하여 유체의 속도, 압력과 위치에너지 사이의 관계를 나타낸 식이다.
l 제한조건: 비점성(inviscid), 비압축성(incompressible), 단열과정(No heat addition), 정상상태(steady state)
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베르누이 원리(Bernoulli’s principle): 유체가 흐를 때 빠르게 흐르면 압력이 감소하고, 느리게 흐르면 압력이 증가함
정압(static pressure) + 동압(dynamic pressure) + 위치에너지(potential energy) = 일정
스플라인(spline)은 일차원 혹은 다차원 Data를 보간(interpolation) 혹은 곡선 맞춤(curve fitting)을 위해 사용되는 광범위한 종류의 함수들을 일컫는다. 수학적으로는 구간별로 정의된 미분 가능한 다항함수(polynomial)들로 연결된 하나의 특별한 함수를 의미한다. 스플라인이라는 용어는 선체의 곡면 작업을 위하여 사용되는 특수한 도구의 이름으로부터 명명되었다. 그 중에서도 비-스플라인은 주어진 곡선의 자유도(degree of freedom), 매끈한 정도(smoothness) 그리고 구간 분할(domain partition)에 대하여 최소 한도로 정의되는 스플라인이다. 따라서, 어떠한 스플라인 함수라도 비-스플라인 함수들의 선형조합(linear combination)으로 표현이 가능하다.
비-스플라인이라는 이름은 쇼엔버그(Schoenberg)에 의하여 지어졌으며, 모든 스플라인 함수들을 표현할 수 있는 기저 스플라인에 해당될뿐더러 베지어 곡선(Bezier curve)의 일반형으로 생각할 수 있다. 비-스플라인 곡선은 제어점(control point)과 기저 비-스플라인 함수(basis B-spline function)들의 선형조합으로 표현되며, 기저가 되는 비-스플라인 함수들의 차수에 따라 그 차수가 결정된다. 참고로 기저가 되는 비-스플라인 함수들의 차수가 모두 동일한 경우를 특히 균일 차수(uniform order) 비-스플라인이라고 부른다.
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시간에 따라 변하는 물체의 거동을 수치해석을 통해 구하는 경우, 시간 구간을 다수의 시점으로 나누어 각 시점에 해당하는 거동값을 순차적으로 계산하는 시간적분 기법의 하나이다. 각 시점에서의 물체의 거동은 주어진 초기조건(initial condition)을 이용하여 다음 시점에서의 거동값을 계산하고, 계산된 값을 이용하여 그 다음 시점에서의 거동값을 계산하는 방식으로 순차적으로 구해진다. 이렇게 순차적으로 시간에 다른 물체의 거동을 계산하는 것을 시간적분(time integration)이라고 부른다.
시간에 따라 변하는 물체의 거동을 표현하는 수학식에는 시간에 따른 변화율이 포함되어 있기 때문에, 그 해답을 구하기 위해서는 이론적으로 시간에 대해 적분을 수행하여야 한다. 이러한 맥락에서 시간적분이라는 단어를 사용하게 되었다. 명시적 시간적분은 다음 시점에서의 거동값을 계산하기 위해 거동에 대한 수학적 표현식을 이전 시점인 현 시점에 놓고 푸는 방법이다. 현 시점에서의 거동값은 이미 계산되어 아는 값이기 때문에 암시적 시간적분(implicit time integration)보다 계산과정이 매우 간단하다.
이 시간적분은 물체의 관성력과 관련이 있는 질량행렬(mass matrix)의 행렬 대각화(matric diagonalization)와 병행하여 사용되는 것이 일반적이다. 왜냐하면 거대한 크기의 행렬방정식을 푸는데 걸리는 시간을 현저하게 줄여주기 때문이다. 다라서 암시적 시간적분에 비해 계산시간이 단축되기 때문에 대형 해석문제를 푸는데 적합하고, 최근 해석문제의 대형화에 따라 거위 대부분 시간적분은 이 기법으로 처리되고 있다.
하지만 이 기법은 요소 크기(element size)와 시간 간격(time step)이 코란트 조건(Corant condition)이라는 특정한 조건식을 만족하지 않으면 해석결과가 수렴(converge)하지 않거나, 정확도가 낮은 해석결과를 제공하는 취약점이 있다.
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지진이 발생하게 되면 지진파가 구조물에 과도한 동적변형(dynamic deformation)을 유발시켜 구조물을 파괴에 이르게 한다. 또한 현수교의 경우에 있어서도 과도한 풍하중은 종종 현수교의 구조적 파괴를 야기하기도 한다. 이것은 지진이나 바람이 지니고 있는 에너지가 지진파 혹은 풍하중을 통하여 구조물이나 현수교에 전달되어 구조적인 파괴로 소모되기 때문이다.
이러한 에너지 전달과정은 마치 전선을 타고 이송되는 전기에너지가 각종 전기제품을 작동시키는 원리와 같다. 지진파나 풍하중과 같은 동하중은 시간에 따라 그 크기가 다르기 때문에 전달되는 에너지 역시 시간에 따라 다르다. 단위 사간당 에너지를 일률 혹은 파워(power)로 정의하며, 외란이 지속되는 시간동안 전달되는 에너지를 모든 합하게 되면 외란을 통해 전달되는 총 에너지를 구할 수 있다.
에너지 스펙트럼 밀도란 시간 함수로 표현되는 에너지를 퓨리에 변환(Fourier transform)을 통해 주파수 함수로 변환하였을 경우, 각 주파수 별 에너지의 크기를 나타낸다. 다시 말해 지진파를 통해 전달되는 시간함수의 에너지를 주파수 함수로 변환하였을 경우, 주파수 함수로 표현된 에너지 분포를 의미한다. 밀도라는 용어가 의미하듯이 각 주파수 별 에너지 값을 모든 주파수에 대하여 합산을 하게 되면 외란을 통해 전달되는 총 에너지를 구할 수 있다. 에너지 스펙트럼 밀도는 전자기, 음향학, 구조진동 등과 같이 외란에 의한 물체의 거동을 다루는 공학분야에서 많이 사용되고 있다.
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비열은 어떤 재료의 단위 질량의 온도를 1도 높이는 데 필요한 열량을 의미한다. 따라서 재료에 따라 고유한 값을 가지는데 비열이 클수록 해당 재료의 온도를 높이는데 더 많은 열량이 필요함을 의미한다. SI단위계에서 비열의 단위는 J/(Kg‧K)이다.
비열은 실험을 통하여 얻어지는데 일정한 압력 하에서 측정한 비열을 정압 비열(specific heat at constant pressure, cp )이라 하고, 일정한 부피 상태로 측정한 비열(specific heat at constant volume, cv )을 정적 비열이라고 한다. 고체와 액체의 경우에는 정압 비열과 정적 비열이 큰 차이가 없으나 열을 가할 때 일정한 부피를 유지하도록 만들기 어렵기 때문에 정압 비열을 재료의 비열로 간주한다. 기체는 가열하면 열팽창에 의해 외부 압력에 대해 일을 하게 되므로 정압 비열과 정적 비열이 달라지게 된다. 예를 들어, 부피를 일정하게 유지하면서 가열할 경우 가해진 열은 모두 용기 내 기체를 가열하는 데만 쓰여진다. 그러나 압력 P인 피스톤으로 눌려지고 있는 기체를 가열하면 기체가 팽창하면서 P∆V만큼의 일을 하게 되므로 가한 열의 일부가 기체를 가열하는 것에만 쓰이지 않고 외부에 일을 하는데 쓰이게 된다. 따라서 기체의 정압 비열은 정적 비열보다 크다. 그리고 정적 비열에 대한 정압 비열의 비를 비열비(specific heat ratio, cp / cv )라고 한다.
물체가 외부로부터 동적인 하중을 받아 진동하거나 운동하게 되면, 물체의 동적인 움직임을 저지하려는 힘, 즉 감쇠력(damping force)이 물체에 작용하게 된다. 감쇠력은 감쇠를 유발시키는 원인에 따라 구조감쇠(structure damping), 점성감쇠(viscous damping) 등 여러 가지 유형으로 분류된다. 그리고 감쇠의 크기 즉, 감쇠계수(damping coefficient)는 물체 그 자체 그리고 물체의 동적인 환경에 따라 변할 뿐만 아니라, 물체가 진동하는 주파수에 따라서도 현저한 변화를 나타낸다.
따라서, 해당 동적 시스템에 정확한 감쇠계수를 반영하기란 쉬운 일이 아니다. 감쇠를 수반한 동적인 거동을 유한요소 해석을 위한 행렬방정식으로 전환시키면 [C]라는 감쇠행렬이 생성된다. 이 감쇠행렬을 단순히 물체의 강성행렬(stiffness matrix)이나 질량행렬(mass matrix)에 상수를 곱하는 방식으로 계산하는 감쇠를 비례감쇠라고 부른다. 비례감쇠에는 강성행렬과 질량행렬의 선형조합(linear combination)으로 나타내는 레일레이 감쇠(Rayleigh damping), 질량행렬에만 상수를 곱하여 표현하는 질량 비례감쇠(mass proportional damping) 그리고 감성행렬에만 상수를 곱하여 표현하는 강성 비례감쇠(stiffness proportional damping)가 있다.
그리고 질량행렬과 강성행렬에 곱해지는 상수는 실험으로 구한 해당 물체의 감쇠비(damping ratio)에 맞도록 설정하게 된다. 한편, 세 가지 유형의 비례감쇠 중에서 어느 것을 사용할 것인가는 해당 문제의 동적 특성을 토대로 해석자가 경험에 비추어 선택하는 것이 일반적이다.
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유체와 구조물이 접해 있는 상황은 우리 주위에서 쉽게 발견할 수 있다. 저수지의 물과 댐, 각종 공업용수를 저장하고 있는 탱크 구조물, 비행 중인 항공기의 기체와 주위 공기의 흐름, 빗길을 주행하는 자동차 타이어의 수막현상과 같은 경우를 유체-구조물 연계 시스템(fluid-structure interaction system) 혹은 간단히 FSI문제라고 부른다. 이러한 문제에서는 유체의 압력과 구조물의 변형이 상호 영향을 미치는 연계효과를 나타낸다.
유한요소법을 필두로 하는 수치해석에서 이러한 문제를 시뮬레이션 하기 위해서는 상호작용을 반영시키기 위한 특별한 수치적 알고리듬이 요구된다. ALE 연계법은 그 중 하나로써, 임의 라그랑지-오일러 기법(arbitrary Lagrange-Euler Method)의 약어이다. 이 용어가 의미하듯이 이 기법은 라그랑지 기술법(Lagrange description)과 오일러 기술법(Euler description) 보다 확정된 일반화 된 기술법이다.
유체-구조물 연계에 있어 구조물의 변형은 유체 영역의 경계에 영향을 미치는 반면 유체의 압력은 구조물에 외부 하중으로 작용한다. 이러한 두 매질의 상호작용을 반영하기 위해서는 두 매질이 접하는 공통경계를 연계면(coupling surface)으로 지정하여 이 계면을 통해 두 매질간의 상호작용 데이터를 서로 주고받게 된다. 구조물의 변형은 일반적으로 라그랑지 요소망(mesh)으로 표현되는 반면 유체의 유동은 오일러 격자(Euler grid)로 표현된다. 이러한 경우, 유체 격자는 유동을 따라 움직이지 않고 공간 상에 고정되어 있기 때문에 유체의 자유표면(free surface)을 정의하기가 어렵다.
에이엘이 연계법은 이러한 문제점을 해결하기 위한 수치기법으로써, 자유표면에 해당하는 유체 격자를 유동과 함께 공간상에서 움직일 수 있도록 라그랑지 기술법을 채택하고 자유표면 근처에 존재하는 유체격자의 일부는 격자의 균일성을 유지하기 위하여 임의로(arbitrary) 재구성하는 방법이다. 따라서 유체격자가 고정되어 있는 부분은 완전히 오일러 기술법으로, 구조물과 유체의 자유표면은 완전히 라그랑지 기술법으로, 그리고 자유표면 근처의 유체 격자는 유동속도와 완전히 일치하지는 않는 라그랑지-오일러 기술법을 혼합시킨 방법이다.
이 기법은 유체-구조물 연계면상의 격자가 구조물의 요소망(mesh)과 유체의 격자(grid)가 완전히 일치해야 하기 때문에 연계면의 형상이 단순한 경우에만 사용할 수 있다. 참고로 연계면의 형상이 복잡한 경우에는 보다 일반화 된 오일러-라그랑지 연계법(Euler-Lagrange coupling)을 사용하고 있다.
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