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반도체나 전자장비에 포함되는 기판의 회로 등에서 발생하는 열을 해석에 고려하기 위해서는 해당 도체의 전기장(electric field) 해석이 선행되어야 한다. 전기장 해석을 간략화 하여 전기장에 의해 발생한 열량만을 계산할 수도 있으나, 전기장 형성 또한 온도의 영향을 받기 때문에 열전달 해석과 전기장 해석을 연계하는 것이 더욱 정확한 예측을 할 수 있다.
도체에 전위(electric potential)가 형성되면 전위차에 의한 열이 발생하는데, 이 때 발생하는 열량을 줄 발열(Joule heating)이라고 부른다. 줄 발열은 전류를 형성하는 전자와 도체를 구성하는 이온간의 충돌로 발생하게 된다. 전자회로 내에서 전자는 전기장에 의해 가속되지만, 도체 내부의 이온들과 충돌하여 운동에너지를 잃어 전류에 손실이 발생하게 된다. 반대로 이온은 전자와 충돌하여 에너지를 얻게 되며 이로 인해 이온의 운동에너지 또는 진동에너지가 증가하게 되고 이것이 결국 도체의 온도 상승으로 나타나게 되는 것이다. 따라서 줄 발열은 도체에 전류가 흐름으로서 발생하는 열량을 의미하며, 옴 발열(ohmic heating)이라고도 불린다. midas NFX CFD에서는 전하보존(charge conservation) 방정식과 열전달 방정식을 연계하여 해석함으로써 정확한 열량의 발생을 계산한다.
유한요소 해석에 있어 응력값은 수치 근사화를 위한 기본 거동인 변위(displacement) 결과로부터 이론적으로 계산된다. 응력 복원이란 요소망(mesh)으로 표현되지 않는 물체 지점에서의 응력값을 계산하거나, 보다 정확한 응력값을 계산하는 것을 통틀어 일컫는 말이다.
형상 그 자체는 3차원이지만 변형 거동의 특성상 2차원으로 요소망을 생성하는 경우가 종종 발생한다. 보(beam), 기둥(column), 아치(arch), 평판(plate) 및 쉘(shell)이 이에 해당된다. 일반적으로 중립축 혹은 중립면에만 요소망을 생성하게 되고 이 바깥 지점에서의 거동값은 중립축 혹은 중립면에서 구한 값을 토대로 계산해야 하는데 보간(interpolation)이 가장 많이 사용되고 있다.
한편, 물체의 전체 영역을 요소망으로 생성하는 경우에 있어서도, 응력은 기본적으로 각 유한요소 내 적분점(integration point)에서 계산되고 이 지점에서의 값들을 보간하여 물체 전체 영역에서의 응력분포를 구하게 된다. 이렇게 하는 이유는 유한요소 근사화를 위해 사용하는 기저함수(basis function)의 특성에 기인한 것으로, 유한요소 해석으로 구한 변위를 미분하여 응력을 계산하면 요소와 요소 사이에서 불연속을 나타내기 때문이다. 그리고 적분점에서 계산한 응력값이 가장 정확하다는 극도 수렴(super convergence)이라는 이론에 기초하고 있다.
상용 유한요소해석 프로그램에서는 이러한 응력복원 기능을 제공하고 있기 때문에 해석자가 위에서 언급한 위치가 아닌 임의 지점에서의 응력값을 제공받을 수 있다.
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물체를 둘러싸고 있는 표면을 경계(boundary)라고 부르고, 이 경계는 물체의 변형(deformation)에 따라 변하게 된다. 변형을 전혀 일으키지 않는 가상적인 물체인 강체(rigid body)에 있어서도 강체의 이동에 따라 경계 역시 이동하게 된다. 따라서 엄밀한 의미에서 물체가 외란을 받게 되면 물체의 경계는 시간에 따라 변화하게 된다. 특히 외란에 따라 움직임이 극심한 액체나 기체는 경계의 움직임 역시 극심하다.
이와 같이 시간과 더불어 움직이는 물체의 경계를 움직이는 경계라고 부르며, 수치해석(numerical analysis)에 있어 하나의 주요한 연구분야로 취급되고 있다. 물체의 경계는 해석의 관심이 되는 물체 거동에 의해 결정되기 때문에 움직이는 경계는 비선형 문제에 해당된다. 왜냐하면, 물체의 거동을 구하기 위해서는 경계가 먼저 정의되어 있어야 하는데, 움직이는 경계는 물체의 거동이 먼저 계산되어야지 결정되기 때문이다.
따라서 움직이는 경계를 포함하는 해석문제는 반복계산(iterative computation)에 의해 그 해답을 구하게 된다. 다시 말해, 초기 경계조건을 이용하여 물체의 거동을 구하고, 계산된 물체의 거동을 토대로 변화된 물체의 경계를 정의하는 일련의 반복 계산을 거치게 된다.
라그랑지(Lagrange) 기반의 수치기법에서는 요소망(mesh)이 물체의 거동과 정확하게 함께 이동하기 때문에 변화된 물체의 경계가 자연스럽게 정의된다. 하지만, 오일러(Euler) 기반의 수치기법에 있어서는 요소망은 공간상에 고정되어 있는 반면 물체가 요소망을 가로질러 이동하기 때문에 물체 경계를 정의하기 위해 추가적인 기법이 요구된다. 움직이는 물체의 경계를 정의하기 위해 사용되는 기법을 자유표면 추적기법(free surface tracking method)이라고 부른다.
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전동기나 내연기관과 같은 동적 시스템 내부에 고속으로 회전하는 각종 회전축은 특정한 회전속도에서 불안정한 진동을 일으켜 회전체 전체를 과도하게 떨리게 할 수 있다. 이러한 불안정한 동적인 진동을 야기하는 회전축의 회전속도를 임계속도 혹은 위험속도라고 부른다. 이러한 현상은 회전축의 회전속도가 회전체 전체의 고유진동수(natural frequency)와 일치하거나 매우 근접한 경우에 발생하며, 일종의 공진현상(resonance phenomenon)이라고 말할 수 있다.
따라서 각종 회전체내 회전축은 이러한 임계속도에 도달하지 않도록 설계되어야 한다. 특히 회전축의 회전속도가 가변적인 경우에는 회전체가 가질 수 있는 최대 회전속도에서도 이러한 공진현상이 발생하지 않도록 회전체 전체를 강하게 설계하여야 한다. 유한요소해석(finite element analysis)을 활용하면 복잡한 구조를 지닌 회전체라고 하더러도 효과적으로 고유진동수를 구할 수 있기 때문에, 회전축의 임계속도를 찾아낼 수 있다.
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공기나 물의 흐름에 있어서 주된 관심사는 그 속도나 온도, 압력, 밀도의 변화이고, 물체 내 열의 전달에서는 온도의 변화에 관심을 가지게 된다. 이러한 물리량은 시간뿐만 아니라 공간 상의 위치에 따라서도 변하게 되는데, 시간에 따른 변화 정도를 시간이력(time history)으로 그리고 공간에 따른 변화를 해당 물리량의 분포라고 부른다.
그런데 이렇게 흐름에 수반된 물리량은 공간상에서 고정된 각 지점에서 측정한 값으로 나타내는 것이 편리하다. 물론 계속해서 움직이는 공기나 물의 입자를 따라 물리량을 측정하여 표현할 수도 있지만 표현하는 방법이 어려울뿐더러 이렇게 표현된 물리량은 이해하기가 쉽지 않다.
물체나 매질의 흐름에 따른 물리량을 공간 상에 고정된 각 위치를 기준으로 표현하는 방법을 오일러 기술법, 그리고 물체 내 각 입자를 따라 표현하는 방법을 라그랑지 기술법(Lagrange description)이라고 정의하고 있다. 후자는 구조물과 같은 고체의 변형에 따른 변형률(strain)이나 응력(stress) 등을 표현하는데 주로 사용되는 반면, 전자는 유체 유동, 열유동(thermal flow), 전자기력과 같이 공간 상의 흐름과 연관된 물리량을 표현하는데 주로 사용된다.
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공기 중을 비행하는 항공기는 주위 공기로부터 압력을 받아 하늘에 떠있을 수 있는 힘을 제공받는 반면, 항공기의 운동은 주변 공기의 흐름에 영향을 미친다. 원유를 수송하는 탱크로리 내부의 원유는 차량의 주행 상태에 따라 출렁임 현상을 나타내고, 이 원유의 출렁임은 다시 차량 전체의 동적인 안정성에 영향을 미친다.
이처럼 우리 주변에는 액체의 흐름과 구조체의 운동(혹은 변형)이 상호 작용을 일으키는 경우가 무수히 많이 존재하고, 이러한 상호작용 문제를 유체-구조 연계문제 혹은 전문용어로 FSI문제라고 부른다. 유체-구조 연계문제에서는 거의 대부분 유체의 흐름에 의해 유발되는 동수압(hydrodynamic pressure)이 접하고 있는 구조체에 하중으로 작용하고, 반면 구조체의 움직임은 유체가 차지하고 있는 기하학적 영역을 변화시킨다. 따라서 유체가 구조물에 미치는 동수압은 구조물에 하중 경계조건(boundary condition)으로 반영되는 반면, 구조물의 거동은 유체 유동의 경계영역 및 경계에서의 속도로 반영된다.
유체-구조물 연계해석에는 다수의 기법들이 적용되고 있는데, 적용하는 수치기법과 좌표계 설정에 따라 기법들이 분류된다. 라그랑지 기술법(Lagrange description)에 기반한 FEM으로 구조물의 변형과 유체의 유동을 연계해서 푸는 방법(coupled FEM-FEM), 구조물의 변형은 라그랑지 기반의 FEM 그리고 유체 유동은 오일러 기술법(Euler description)의 유한체적법(finite volume method)을 혼용하는 푸는 방법(coupled FEM-FVM)이 가장 대표적이다.
유체의 유동이 복잡한 경우 유한요소법을 적용하면 과도하게 뒤틀린 요소(distorted element)가 발생하여 요소망 조정(mesh adaptation, 혹은 remeshing)이 수반되어야 하는 어려움이 존재한다. 그 결과 최근에는 대부분 후자의 방법을 사용하고 있는데, 이 경우에는 유체의 자유표면(free surface)을 파악하기 위한 수치기법이 추가로 필요하다. 유체-구조 연계해석에 있어 꼭 알아야 할 점은 해석결과의 정확도를 높이기 위해 요소크기(element size)를 줄일 경우, 코란트 조건(Courant criterion)을 만족시키기 위해 시간간격(time step)도 동시에 줄어들어야 한다는 점이다.
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오차(error)를 정성(qualitative)적으로 분석하거나 정량(quantitative)적으로 계산하는 것을 총칭하여 오차평가라고 부른다.
정성적으로 분석한다는 것은 실제 정확하지 않은 결과가 나오기 전에 적용할 해석조건(혹은 해석 파라메터)에 따라 오차가 어떻게 될 것인가를 미리 예측하는 것을 의미한다. 미리 예측한다는 의미에서 정성적인 평가를 특별히 선 오차평가(a priori error estimation)라고 부른다. 실제로 정확하지 않은 결과를 아직 구하지 않았기 때문에 정량적으로 오차를 계산할 수는 없다. 하지만 정확하지 않은 결과를 구하기 위해 적용할 조건들을 기준으로 오차의 상한과 하한 그리고 조건들에 따른 오차의 경향 등을 수학적으로 분석한다.
정량적 오차평가는 정확하지 않은 결과를 구한 다음 정확한 답과 비교하여 정량적인 오차 값을 구하는 것이다. 정확하지 않은 결과를 구한 다음 오차를 평가한다는 측면에서 이 것을 후 오차평가(a posteriori error estimation)라고 부른다. 자연 현상에 대한 정답을 구하기가 어렵기 때문에 정확한 답을 모르는 경우가 거의 대부분이다. 따라서 후 오차평가를 위해서 정답에 준하는 답을 구해내어야 한다.
유한요소 해석(finite element analysis)의 경우, 정답에 가까운 답을 구하기 위하여 몇 가지 기법들이 사용되고 있다. 한편, 오차를 계산하기 위한 기준이 필요하며 이 기준은 해석의 목적에 따라 결정된다. 예를 들어 물체의 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress)을 계산하는 경우를 생각해 보자. 물체 내 최대 변형값의 차이를 오차로 정의할 수도 있고, 최대 응력값의 차이를 오차로 정의할 수 있다. 전자의 경우는 물체의 최대 변형이 관심이 되는 경우이고 후자는 물체의 강도가 관심이 되는 경우이다.
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오일러 수는 유체가 흐름 중에 저항의 극복과 운동에너지 전환 등으로 인한 압력 손실의 관계를 나타내는 무차원 수이다.
마찰이 존재하지 않는 유동의 경우 오일러 수는 1이며, 모든 압력 손실은 운동에너지로 변환됨을 뜻한다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 요소망(mesh)은 시뮬레이션의 성공여부, 해석시간의 규모뿐만 아니라 해석결과의 정확도를 결정하는 중요한 요인이다. 이론적으로는 요소망을 구성하는 유한요소(finite element)의 크기가 작을수록 해석결과의 정확성은 향상된다. 하지만, 해석문제가 복잡하고 그 규모가 커지게 되면 요소크기(element size)를 무작정 줄일 수만은 없는 것이 현실이다.
다른 한편, 요소망을 생성하는 과정에서 과도하게 찌그러진 요소(distorted element)가 만들어져 시뮬레이션을 불가능하게 만드는 자코비언(Jacobian) 오류가 발생하는 경우도 종종 있다. 따라서 해석을 위해 처음 생성하였던 요소망을 최기 해석결과를 토대로 수정하거나 부분적으로 요소크기를 변경해야 할 필요성이 대두되곤 한다.
이와 같이 처음 생성하였던 요소망을 부분적으로 수정 혹은 조정하거나 요소망 전체를 재생성하는 작업 일체를 요소망 조정이라고 부른다. 예를 들어, 초기 요소망으로 해석을 수행하여 구한 결과값이 원하는 수준이 아니라면, 수치해석 오차(numerical analysis error)를 높이기 위해 요소망 내 국부 영역의 요소크기를 줄여나가는 요소망 세밀화(mesh refinement)나 시뮬레이션을 불가능하게 만드는 요소들을 보다 작은 요소들로 나누어 과도한 찌그러짐을 없애는 작업은 전형적인 요소망 조정이다. 이 외에도 비선형 해석(nonlinear analysis)이나 연계해석(coupled analysis)에서는 매 반복계산 시 마다 변형된 물체형상에 따라 요소망 전체를 재구성하는 경우도 포괄적인 의미에서 요소망 조정에 해당된다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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