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분석하고자 하는 대상 물체의 외곽을 경계(boundary)라고 부른다. 예를 들어 금속판재를 강한 펀치(punch)로 굽혀 원하는 형상으로 성형하는 경우, 금속판재의 경계는 판재 전체의 외곽이 되고 이 경계의 일부는 펀치와 접촉하고 있다. 펀치에 누르는 힘을 증가시키면 금속 판재와 접촉하는 경계면은 증가할뿐더러, 금속판재와 펀치 사이의 접촉압력도 증가하게 될 것이다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 물체 거동과 더불어 경계영역과 접촉하중이 변하게 되면 비선형성(nonlinearity)을 야기한다. 왜냐하면, 금속판재가 펀치와 실제 접촉하게 되는 경계영역과 펀치로부터 받는 접촉하중의 크기는 금속판재의 변형량에 따라 증가하기 때문이다. 그런데 금속판재의 변형량은 해석을 통해 구해야 할 미지의 값이므로 결국 펀치와 접하는 경계영역과 접촉하중 역시 미리 알 수 없는 미지수가 된다. 위의 예에서는 접촉하중이 경계에 작용하는 경우이지만, 다른 유형의 접촉문제에 있어서는 접촉하중이 아닌 물체의 변형이 구속될 수도 있다. 이렇게 구하고자 하는 물체의 거동에 따라 물체 경계영역과 경계조건(boundary condition)이 변하는 문제를 경계 비선형 문제라고 부른다.
경계 비선형 문제는 재료 비선형(material nonlinearity) 그리고 기하 비선형(geometry nonlinearity) 문제와 더불어 비선형 해석의 대표적인 유형에 해당되고, 대부분의 접촉해석(contact analysis)은 경계 비선형을 포함하고 있다고 생각하여도 무방하다.
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간단한 예로 A라는 사람이 하루에 한 일과 B라는 사람이 하루에 한 일을 합한 량과 이 두 사람이 힘을 모아 함께 하루에 한 일의 량이 같다면 중첩의 원리가 성립된다. 중첩의 원리란 A라는 인자가 일으킨 현상과 B라는 인자가 일으킨 현상을 합한 것은 A와 B 두 인자가 함께 일으킨 현상과 동일하다는 것을 의미한다.
중첩의 원리는 어떠한 현상과 이 현상과 연관된 인자 사이의 관계가 선형적(linear)인지 아니면 비선형적(nonlinear)인지를 판단하는 기준이 된다. 우리 주변에서 발생하는 모든 현상들은 거의 대부분 중첩의 원리를 따르지 않는다. 다시 말해 선형적인 거동을 나타내는 현상은 거의 존재하지 않는다는 의미이다.
예를 들어 좌측 끝단이 벽에 고정되어 있는 보(beam) 형상 부재의 우측 끝 단에 10이라는 힘으로 눌렀을 때 우측 끝 단이 아래로 변형되는 량이 100라고 가정하자. 중첩의 원리가 적용된다면 20이라는 힘으로 누를 경우에는 우측 끝 단이 아래로 변형되는 량은 200이 되어야 한다. 왜냐하면 20이라는 힘으로 누르는 경우는 각기 10이라는 힘으로 누르는 두 경우를 중첩하는 것과 동일하기 때문이다. 하지만 20이라는 힘으로 누르게 되면 이 보다 다른 변형값을 나타내기 때문에 중첩의 원리를 적용할 수 없다.
중첩의 원리가 적용되는 문제는 유한요소 해석(finite element analysis)을 통해 매우 효과적으로 풀 수 있다. 기존에 유한요소 해석을 통해 구한 해석결과들을 중첩함으로써, 원하는 결과를 빠른 시간 내에 간단히 구할 수 있기 때문이다.
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주기적인 하중은 하중의 크기를 나타내는 진폭(amplitude), 반복되는 빈도를 나타내는 주파수(frequency), 그리고 기준시점과 시작되는 시점과의 차이를 나타내는 위상(phase)으로 특징지어 진다. 그리고 진폭과 주파수는 일정 하더러도 위상이 서로 다른 하나 이상의 주기하중을 받는 물체를 우리 주위에서 종종 발견할 수 있다.
자동차 엔진의 축에는 하나 이상의 동일한 크랭크 샤프트(crank shaft)가 방사선 방향으로 부착되어 있고, 이들에 의한 원심력은 크랭크 샤프트 사이 각도에 해당하는 위상 차이를 가진다. 따라서 엔진축의 동응답은 위상이 서로 다른 여러 개의 주기하중을 다중 하중케이스(multi-load case)로 정의하여 적용시킬 수 있다. 위상이 서로 다른 주기하중은 하나의 주기하중을 기준 주기하중으로 설정하고, 이 기준 주기하중과 이루는 위상차이만큼 기준 주기하중의 위상을 이동시킴으로써 다중 하중케이스를 쉽게 정의할 수 있다.
이와 같이 위상 옵셋은 하나의 축에 방사선 방향으로 다수의 동일한 편심하중이 작용하는 문제의 동응답 해석(dynamic analysis)에 매우 편리한 기능이다.
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변환이라는 것은 하나의 상태(state) 혹은 측정 기준에서 다른 상태 혹은 측정 기준에서의 값으로 바꾸는 작업을 총칭하는 말이다. 예를 들어 물이 얼음으로 바뀌거나 물이 기체로 바뀌는 것은 상태 변환(phase change)에 해당되고, 섭씨 온도계로 측정한 실내온도를 화씨 온도계에서의 값으로 바꾸는 것은 서로 다른 측정 기준에서의 값으로 변환시키는 것에 해당된다.
변환에는 대상 그 자체의 본질이 바뀌는 경우도 있지만 본질은 그대로 유지된 채 측정값 만이 바뀌는 경우가 대부분이다. 앞서 예를 든 두 경우에 있어, 전자에서는 본질이 바뀌지만 후자에서는 본질은 전혀 바뀌지 않는다. 왜냐하면 측정 기준이라는 것은 하나의 기준 잣대에 해당되기 때문에 이 잣대가 바뀐다고 해서 대상 그 자체가 바뀌는 것은 아니기 때문이다.
측정 기준에 따른 변환에는 무수히 많은 변환 기법들이 존재한다. 예를 들어, 좌표변환(geometry transformation), 변수변환(variable transformation) 등이 대표적인 경우이다. 여기서 물체 거동을 표현하는 기준이 되는 변수를 바꿈으로 표현식이 바뀌는 변수변환에는 푸리에 변환, 라프라스 변환 등이 있다.
푸리에 변환은 공간 좌표 혹은 시간으로 표현된 물체의 거동을 주파수 함수로 전환시키는 변환기법으로, 물체의 진동이나 파동 등을 주파수에 따라 그 특성을 분석하기 위해 사용된다. 푸리에 변환의 기본 개념은 임의 물체의 거동을 무한 개의 서로 다른 주기를 가진 주기함수들과의 직교성을 이용하여 물체의 거동 중에서 해당 주기에 상응하는 기여분을 뽑아내는 변환기법이다.
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물체에 가해지는 외력에는 시간에 따른 변동 여부에 따라 정적하중과 동적하중으로 크게 구분된다. 그리고 시간에 따라 변동하는 동적하중에는 매우 짧은 시간동안 가해지는 임펄스(impulse), 규칙적인 주기하중(periodic load) 그리고 불규칙적인 랜덤하중으로 다시 세분화 시킬 수 있다.
지진파와 같은 동적하중은 전형적인 랜덤하중이라 할 있으며, 대부분의 동적하중은 랜덤하중에 해당된다. 이렇게 불규칙적인 랜덤하중을 받는 물체는 시간에 따라 매우 복잡한 응답을 나타내게 되는데, 이러한 시간응답(time response)을 분석하는 것을 랜덤 응답해석이라고 부른다.
랜덤응답 해석은 일반적인 동응답(dynamic response) 해석에서와 마찬가지로 시간영역 혹은 주파수 영역으로 수행할 수 있다. 전자의 경우에는 가해지는 외란의 시간에 따른 변위, 속도 혹은 가속도 Data를 그대로 사용하여 해석하는 반면, 후자의 경우에는 시간 함수를 퓨리에 변환(Fourier transform)하여 주파수 별 변위, 속도 혹은 가속도를 입력 Data로 하여 해석하게 된다.
물체의 거동을 수치해석(numerical analysis)을 통해 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 물체 내 각 위치에서의 거동값이 숫자 형식의 데이터로 제공된다. 하지만 숫자 형식의 데이터로는 물체의 거동을 명확하게 분별할 수가 없기 때문에, 근래에는 컴퓨터 그래픽스 기술을 활용하여 가시화하는 후처리 작업(post-processing)이 보편화 되어 있다. 물체의 거동을 가시화하는 방법에는 색상범례(color spectrum)를 이용한 윤곽출력(contour plot)이 일반적이다. 윤곽출력은 변형률(strain)이나 응력(stress)분포를 나타내기에는 적합하지만, 물체 운동의 방향이나 크기를 나타내기에는 부적합하다. 예를 들어, 공기나 물의 유속을 윤곽출력으로 가시화하면 유속이 빠른 부분과 느린 부분은 명확히 구분할 수 있으나, 전반적인 흐름을 분간하기는 매우 어렵다. 이러한 경우에 효과적으로 사용되는 가시화 방법이 바로 벡터 출력이다.
일반적으로 벡터 출력은 윤곽출력 위에 물체 움직임 방향과 크기를 표현하기 위해 화살표를 추가한 가시화 방법이다. 물체 움직임 방향은 화살표가 향하는 방향으로 그리고 움직임의 크기는 화살표의 상대적인 길이로 표현된다. 벡터 출력은 유동(flow), 전자기장(electro magnetic field) 등과 같이 흐름을 수반하는 수치해석 문제의 가시화를 위해 주로 사용되고 있다.
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물체가 외부로부터 지진파와 같은 동적 하중을 받으면 물체는 시간에 따라 그 형상이 지속적으로 변하는 동적 응답을 나타낸다. 이러한 응답을 시간 함수로 표현한 것을 시간응답(time response)이라고 부르고, 반면 주파수의 함수로 변환하여 표현한 것을 주파수 응답(frequency response)이라고 부른다. 시간응답이나 주파수 응답의 구분과는 달리 물체의 시간에 따른 동변형(dynamic deformation)을 그대로 나타내느냐 아니면 해당 물체의 고유모드(natural mode)들의 조합으로 표현하느냐에 따라 직접응답해석(direct response analysis)과 모드응답해석으로 분류하기도 한다.
전자의 경우에는 요소망(mesh) 내의 각 절점(node)에서 물체의 동변형 값을 계산하는 반면, 후자에서는 각 고유모드들의 기여도를 연립방정식을 이용하여 계산한다. 모드응답해석의 기본원리는 물체의 동적 응답은 그 물체의 고유모드들의 조합으로 표현된다는 사실과 고유모드들로 구성된 행렬은 물체의 질량행렬(mass matrix)과 직교 수직한다는 사실에 기초한다. 직접응답해석에서는 행렬로 표현되는 운동방정식을 시간적분(time integration)을 이용하여 물체의 동응답을 구한다.
하지만, 모드응답해석에서는 물체의 고유모드를 우선 구한 다음 위에서 말한 기본원리를 이용하여 운동방정식을 각 고유모드의 기여도를 계산하는 2차 연립방정식으로 전환하게 된다. 모드응답해석에는 시간영역에서의 응답을 구하는 모드 시간응답해석(modal time response analysis)과 주파수 영역에서의 응답을 구하는 모드 주파수응답해석(modal frequency response analysis)으로 다시 구분된다.
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지상에 있는 구조체의 고유진동수(natural frequency)와 동응답(dynamic response)은 이 구조체가 물속에 잠겨 있거나 부분적으로 접해 있게 되면 현저히 달라지게 된다. 그 이유는 구조체의 움직임이 접해 있는 물의 흐름을 야기하고, 그 결과 물의 동수압(hydrodynamic force)을 받게 되기 때문이다. 따라서, 물과 접해 있는 구조체의 고유거동이나 동응답을 정확히 분석하기 위해서는 접해 있는 물의 동수압 효과(hydrodynamic effect)를 반영하여야 한다.
이와 같이 구조물과 유체의 상호 작용을 동시에 반영하여 해석하는 것을 유체-구조 연계해석(fluid-structure interaction analysis) 혹은 간단히 FSI해석이라고 부른다. 하지만 접해있는 유체의 흐름을 동시에 고려하게 되면 수치해석적으로 매우 복잡해질 뿐더러 계산해야 할 행렬방정식 역시 거대하게 된다.
부가질량이란 접해 있는 물의 동적인 효과를 질량으로 환산하여 구조물에 부가하는 것을 말한다. 이렇게 처리하게 되면 단순히 구조체 자체만 고려하면 되기 때문에 해석기법이 간단해 질뿐더러 행렬 방정식의 크기도 억제시킬 수 있다. 하지만 접해있는 물의 동수압에 의한 부가질량의 크기가 얼마인지 그리고 구조물에 어떻게 부가시켜야 할 지가 관건이 된다. 그리고 부가질량의 크기와 분포 형태는 구조물의 진동수에 따라 달라지는 특성을 지니고 있다.
하지만, 일반적으로는 지금까지의 연구결과를 토대로 부가질량을 적절히 산정하여 구조물에 고르게 분포시키고 있지만, 보다 정확히 계산하기 위해서는 해당 문제를 유체-구조 연계해석을 실시하여 동수압을 구조체의 관성력으로 환산하여 해당 부가질량 행렬을 유도하여야 한다.
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물체가 가열되거나 냉각되면 온도가 변할뿐더러 체적 및 형상도 동시에 변한다. 또한 주변 물체와의 접촉(구속) 상태에 따라 물체 내부에 열응력(thermal stress)이 발생하곤 한다. 열은 크게 세가지 경로를 통하여 전달되는데, 하나는 금속과 같은 고체(solid)를 통하여 전달되는 전도(heat conduction), 공기나 물과 같이 기체 및 유체를 통해 전달되는 대류 열전달(heat convection), 그리고 나머지 하나는 진공상태를 통한 복사 열전달(heat radiation)이다.
이와 같은 열전달에 따른 물체의 온도변화, 그리고 온도변화에 따른 물체의 열변형 그리고 열응력을 수치해석(numerical analysis)적으로 계산하는 작업을 통상적으로 열해석이라고 부른다. 열해석은 위에 언급한 거동들이 시간에 따라 변하는 경우를 다루는 비정상상태(unsteady state) 열해석과 시간에 따른 변동이 없는 정상상태(steady state) 열해석으로 대별된다.
또한 위 거동들이 선형(linear)적인 경우를 선형 열해석이라고 부르고, 비선형성(nonlinearity)을 가지는 문제에 대한 해석을 비선형 열해석이라고 부른다. 열해석은 용접이나 금속성형을 필두로 하여 반도체와 같은 전기,전자산업분야에 이르기까지 매우 광범위한 분야에 적용되고 있다. > 열해석 더 자세히 보기🔎
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