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돌을 세게 던지면 보다 멀리 날아간다는 사실은 누구나 익히 알고 있는 사실이다. 그리고 일정한 질량을 가지고 있는 돌을 던졌을 때 날아가는 거리를 계산하기 위해서는 돌의 운동을 표현하는 운동방정식을 풀어야 한다.
물체의 운동방정식은 물체의 공간상의 위치에 대한 2차 시간 미분으로 표현되며, 시간에 대해 2번 적분해야 한다. 수학적인 정의로부터 2차 미분방정식을 2번 적분하게 되면 2개의 적분상수가 나오게 되며, 이 적분상수를 결정하여야 하나의 해답을 구할 수 있다.
이 경우, 적분상수를 결정하기 위해 사용되는 조건이 바로 초기조건에 해당된다. 위 문제의 경우, 2개의 초기조건은 각각 돌의 초기위치와 초기속도가 된다. 일반적으로 n차 미분방정식인 경우 초기조건은 n개가 되며 (n-1)차 미분까지 변수들의 초기 시점에서의 값으로 정의된다.
참고로 이와 같이 물체의 거동이 시간에 따라 변화하고 초기조건에 의해 하나의 해답이 결정되는 문제를 초기치 문제(initial value problem)라고 부른다. 초기치 문제와 구분되는 문제로 경계치 문제(boundary value problem)가 있으며, 이 문제의 해답은 물체 경계(boundary)에서의 경계조건(boundary condition)이라 불리는 구속조건에 의해 결정된다.
그리고 물체의 거동이 시간과 공간 좌표 모두에 의해 표현되며, 초기 및 경계조건에 의해 하나의 해답이 결정되는 문제를 초기치-경계치 문제(initial and boundary value problem)라고 부르며, 거의 대부분의 동해석(dynamic analysis) 문제들은 이 유형에 속한다.
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고무와 같은 재료는 조그마한 하중에도 매우 큰 변형을 나타낸다. 따라서 고무와 같은 재료의 구조적 상실을 판단하기 위해서는 응력(stress)이 아닌 변형률(strain)이 주로 사용된다. 특히, 반복하중을 받는 고무제품의 피로에 의한 구조적 파괴를 예측하기 위해서는 응력을 기준으로 한 S-N 선도(S-N diagram)가 아닌 변형률을 기준으로 한 실험 데이터인 E-N 선도가 사용된다.
한편, 변형률도 응력과 같이 공간상에서 설정한 좌표축에 따라 성분을 가지기 때문에 물체내 한 지점에서의 변형률의 절대적인 크기를 계산하기 위한 잣대가 필요하다. 등가 변형률(equivalent strain)은 이러한 목적으로 정의된 물리량으로써 등가응력(effective stress, 혹은 폰 미제스 응력(von-Mises stress)) 과 짝을 이루는 량이다.
E-N 선도란 고무와 같이 극심한 대변형을 나타내는 재료의 피로수명(fatigue life)을 나타내는 선도로써, 해당 재료의 시편을 이용하여 실험적으로 구한 등가 변형률 대 피로수명 회수를 평가하기 위한 선도이다. 한편, S-N 선도를 이용하든지 아니면 E-N 선도를 이용하든지 간에 피로해석(fatigue analysis)의 방법과 절차는 동일하다.
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자유도는 모든 분야에서 광범위하게 사용되는 용어이기 때문에 어떤 특정한 분야에 한정하여 이 용어를 일률적으로 정의할 수는 없다. 다만 이 용어의 개략적인 의미는 ‘주어진 대상(집단)의 특정한 특성을 완전히 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 선택의 개수’ 정도이다.
예를 들어 열 명의 사람들 중에서 현재 네 명은 주말에 스케줄이 잡혀있는 반면 나머지 여섯 명은 스케줄이 잡혀있지 않다고 생각하자. 그러면 열 명을 주어진 대상으로 생각하고 스케줄을 특성이라고 한정할 때, 이 집단의 주말 스케줄에 대한 자유도는 6이 된다. 하지만 몇 일이 지나 추가로 두 명의 스케줄이 정해졌다면 자유도는 4로 줄어든다.
다른 예를 들면, 비행 중인 항공기의 위치는 위도, 경도 그리고 고도에 의하여 결정된다. 이 경우 한 대의 항공기는 주어진 대상에 해당되고 그 위치는 특성에 해당된다. 그리고 이 특성을 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 변수는 세 개이므로 자유도는 3이 된다. 이처럼 자유도는 대상과 그 대상의 특성이 무엇인가에 따라 달라진다. 만약 항공기의 위치뿐만 아니라 비행 자세까지도 특성에 포함시키면 자유도는 6으로 늘어난다. 왜냐하면 이 특성은 항공기 특정 부위의 위도, 경도 및 고도상의 위치뿐만 아니라, 특정 부위를 중심으로 한 세 축 방향으로의 항공기의 회전 각도에 의하여 완전히 결정되기 때문이다.
Ax=b라는 행렬식에 있어서 A행렬이 NxN의 크기라면 x는 N개의 자유도를 가진다. 하지만 만약 이 행렬방정식이 두 개의 구속조건을 가진다면 x는 N-2개의 자유도를 가지게 된다. 왜냐하면 N개의 미지수 중에서 두 개는 나머지 미지수들과의 구속 관계에 의해 자동적으로 결정되기 때문이다.
마지막 예로는 로봇과 인체 골격의 동작상태이다. 로봇은 유한개의 관절과 구동 모터로 구성되어 있기 때문에 로봇 전체의 동작은 유한개의 자유도로 표현된다. 반면 인체는 자유자재로 움직일 수 있기 때문에 무한대의 자유도를 가진다.
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물체의 운동을 저지시키려는 단위 속도당의 힘으로 정의되는 감쇠의 크기, 즉 감쇠계수(damping coefficient)를 해당 물체의 임계감쇠(critical damping)로 나눈 상대적인 비를 감쇠비로 정의하고 있다. 임계감쇠는 그 물체가 외부로부터 외란을 받았을 때 진동을 전혀 일으키지 않고 곧바로 정지상태로 진동을 억지시킬 수 있는 감쇠의 크기로 정의된다. 따라서, 부품이나 조립품의 감쇠비가 1이나 그 이상이 되면 외부로부터 외란을 받더라도 전혀 진동을 일으키지 않고 정지상태로 안정화 된다.
감쇠비가 1인 경우를 임계감쇠 그리고 1이상인 경우를 과도감쇠라고 부른다. 그리고 감쇠비가 1보다 작은 경우를 과소감쇠라고 하고, 실제 대부분의 감쇠 진동은 과소감쇠에 해당된다. 과소감쇠의 경우에는 물체가 진동하는 폭이 시간과 더불어 점진적으로 감소하여 진동이 소멸된다. 건물이나 기계부품과 같은 대부분의 물체의 감쇠비는 0.05 이하의 값이며, 자동차 완충기와 같은 감쇠장치라 하더라도 0.3 정도의 감쇠비를 나타낸다.
컴퓨터를 이용하여 어떠한 프로그램을 실행하다 보면 오류 메시지를 경험하게 된다. 그리고 일단 오류 메시지가 발생하게 되면 프로그램은 중단되어 수행하던 작업은 실패로 끝나고 만다. 오류(error)와 유사한 메시지로 경고(warning)가 발생하는 경우도 있는데, 오류메시지와는 달리 프로그램은 중단되지 않고 수행하던 작업은 성공적으로 마무리 된다.
오류는 컴퓨터 상에서 각종 논리(logic) 혹은 계산(calculation)과정에서 연산이 불가능한 상태가 발생하였을 때 프로그램이 내보내는 메시지이다. 하지만, 경고는 연산작업에는 아무런 이상이 없지만 원하는 해답을 구하는데 있어 예상되는 문제점을 지적해 주는 메시지이다.
경고 메시지는 프로그램을 만드는 과정에서 프로그램에 적용된 각종 이론들이나 경험을 토대로 준비된 메시지이기 때문에 때로는 무시하여도 무방하다. 왜냐하면 프로그램을 작성할 당시에는 문제시 되었던 사항들이 최근에 와서는 문제가 되지 않는 경우들이 연구결과를 통해 밝혀지기도 하기 때문이다.
유한요소해석(finite element analysis)에 있어 한 예로 요소의 뒤틀림이 심하면 오류 메시지를 경험하게 되고 프로그램은 중단하게 된다. 하지만 요소의 형상 종횡비(geometry aspect ratio)가 일정한 값을 초과할 경우에 경고 메시지가 발생하지만 해석수행에는 큰 문제가 되지 않는다. 더구나 최근의 연구결과에 따르면 형상종횡비가 커지게 되면 오차(error)는 다소 증가하지만 해의 특이성(singularity)을 보다 정확하게 계산할 수 있다는 사실이 밝혀졌다. 오류 메시지가 발생하면 반드시 이 오류를 해결하여야 하지만, 경고 메시지에 대해서는 꼼꼼히 따져보고 반드시 해결해야 할 것들과 무시해도 될 것들을 구분할 수 있어야 한다.
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고무, 중합체(polymer) 그리고 인체의 조직(tissue) 등은 하중을 받아 변형하게 되면 내부에 축적되는 변형률 에너지(strain energy)는 이동경로와 무관한 특성은 나타낸다. 그 결과 변형률 에너지는 포텐셜 함수(potential function)로 표현이 가능하며, 이러한 재질을 초탄성체(hyperelastic material)로 불린다. 초탄성체의 변형률에 대한 응력의 변화, 즉 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 현저한 비선형성(nonlinearity)을 나타내기 때문에 수학적인 표현을 위해 많은 연구가 진행되었다.
지금까지 소개된 많은 표현식들 중에서 Ogden모델, 문리-리브린 모델(Moonley-Rivlin model), Neo-Hookean 모델, 그리고 Yeoh 모델이 많이 사용되고 있다. 이들은 공통적으로 변형률 에너지 밀도 함수로 재료의 거동을 표현하고 있지만, 수학적인 표현식과 이 표현식 속에 포함되어 있는 계수들은 각기 다르다. 문리-리브린 모델은 주 변형률(principal strain)을 매개변수로 하며 문리-리브린 상수를 도입하며 다항식으로 표현되는 반면, Ogden 모델은 주 신장률(principal stretch)을 매개변수로 하며 두 종류의 Ogden 상수들을 도입하여 다항식으로 표현된다.
문리-리브린의 경우에는 다항식의 차수가 정수인 반면, Ogden모델에서는 보다 포괄적인 실수 형태이다. 일반적으로 Ogden 모델이 초탄성체의 재료 거동을 보다 정확하게 표현한다고 알려져 있다. 한편, 문리-리브린과 Neo-Hookean 모델은 Ogden 모델의 특수한 경우에 해당된다.
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정지상태에 있거나 일정한 속도로 운동하고 있는 물체는 외부에서 아무런 힘이 가해지지 않으면 운동상태를 계속 유지한다. 이것이 잘 알려진 뉴튼(Newton)의 운동 제 1법칙에 해당된다. 이렇게 한 물체의 운동상태를 계속 유지하게끔 하는 원동력은 운동량이라고 불리는 물리량이다.
물리적으로 물체의 운동량은 물체의 질량과 물체 속도의 곱으로 정의된다. 총알은 질량은 작지만 속도가 매우 빠르기 때문에 엄청난 운동량을 지니고 있어 다른 물체와 부딪혔을 때 치명적인 충격하중(impact force)을 가한다. 한편 대형 선박은 속도는 상대적으로 낮지만 큰 질량에 의해 엄청난 운동량을 지니고 있어 역시 다른 물체에 엄청난 충격을 가할 수 있다. 속도는 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 운동량 역시 방향을 가지고 있다.
운동량에는 선형운동량(linear momentum)과 각운동량(angular momentum)으로 세분화 된다. 전자는 물체가 직선 운동을 하는 경우에, 후자는 물체가 공간 상에서 한 점을 중심으로 회전하는 경우에 있어서의 물체 운동량이다. 직선 도로를 일정한 속도로 달리는 자동차는 선형운동량에, 그리고 놀이공원의 회전목마는 각운동량에 해당된다.
만약 일정한 속도로 운동 중인 물체가 외부로부터 힘을 받으면 운동량은 힘을 받는 동안 지속적으로 증가 혹은 감소한다. 외부로부터 받는 힘의 방향이 물체의 운동방향이면 운동량이 증가하고 반대방향인 경우에는 운동량이 감소한다. 운동량이 변한다는 것은 속도가 변하기 때문이고, 이 속도의 변화가 바로 가속도(acceleration)에 해당된다. 따라서 운동량 변화량의 크기와 방향은, 즉 질량과 가속도의 곱은 외부로부터 받은 힘의 크기와 방향과 동일하다. 이것이 잘 알려진 뉴튼(Newton)의 운동 제 2법칙이다.
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외부로부터 힘이나 모멘트를 받는 물체의 내부에 발생하는 응력(stress)은 종종 물체 내 특정한 지점에서 매우 큰 값을 나타내는데, 이러한 현상을 응력집중(stress concentration)이라고 부른다. 이러한 응력집중 현상은 다양한 요인들에 기인하여 발생하는데, 가장 대표적인 요인들은 물체의 특징적인 형상, 물체를 구성하는 재료의 불연속, 점하중(point load)과 같은 특이한 하중 및 구속조건들이다.
특징적인 형상이란 균열(crack)과 같이 물체가 예리하게 두 부분으로 금이 가 있는 선단부나 물체 내부에 구멍이 존재하는 등의 형상의 급격한 변화를 말한다. 특히, 균열 선단부에서는 응력값이 기하급수적으로 증가하기 때문에 그 값을 정확하게 계산하기란 여간 어려운 일이 아니다.
적층 복합재와 같이 서로 다른 재료들로 층을 이루고 있는 물체는 인접한 층과의 경계면에서 재료 물성치(material properties)가 불연속적이다. 그 결과 물체 전체가 동일한 량의 온도 변화나 형상 변화를 겪는다고 하더라도 물성치가 불연속인 부분에서 응력이 집중되곤 한다. 그리고 하중이 매우 좁은 면적에 집중되어 가해지는 일명 점하중이 작용하는 지점에서도 응력이 집중된다.
응력집중계수는 이러한 특징영역에서의 매우 큰 집중응력을 특징적인 상황이 존재하지 않는 물체의 나머지 영역에서의 평균 응력값으로 나눈 상대적인 비로 정의된다.
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유한요소 해석을 위한 모델링(modeling)에는 형상, 요소망(mesh), 재료 물성치(material property) 그리고 경계조건(boundary condition)을 설정하게 된다. 그리고 이러한 제반 작업을 위해서는 기준 좌표계(reference coordinate)가 필요하게 되는데, 보통의 경우에는 하나의 좌표계만 지정하면 된다. 하지만 지정의 정확성과 편의성을 위하여 하나 이상의 좌표계를 필요로 하는 경우도 종종 발생한다.
예를 들어, 형상이나 요소망 생성을 위해 직교 좌표계를 사용하면서, 물체 내부에 존재하는 원형 구멍에 회전 슬라이딩(rotational sliding) 조건을 부여하기 위해 국부적으로 원통 좌표계를 사용할 수도 있다. 이렇게 되면 요구되는 경계조건을 정확하게 그리고 편리하게 지정할 수 있다. 또 다른 예로는 각기 방향이 다른 섬유(fiber)가 삽입되어 있는 복합재(composite material)의 재료 물성치를 지정하기 위해서는 좌표축이 섬유방향과 일치하도록 추가적으로 좌표계를 설정하면 편리하다.
이와 같이 위에서 언급한 제반 작업을 편리하게 그리고 정확하게 처리하기 위해 해석자가 국부적으로 설정한 추가적인 좌표계를 사용자 좌표계라고 부른다. 그리고 이러한 사용자 좌표계 가운데 재료 물성치 부여를 위해 추가적으로 설정한 사용자 좌표계를 재료 좌표계(material coordinate system)라고도 부른다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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