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수학적 측면에서 조화함수는 2번까지 미분이 가능한 함수들을 지칭한다. 잘 아는 바와 같이 미분이 가능하기 위해서 함수는 연속적이어야 하고, 우리가 잘 알고 있는 사인(sine) 및 코사인(cosine) 함수는 끝없이 미분이 가능한 함수들이다. 이처럼 몇 번까지 미분이 가능하냐는 그 함수의 매끈함(smoothness)을 나타내는 척도로 사용된다.
한편, 매끈한 함수는 수학, 자연과학 및 공학분야에 있어 매우 유용하게 사용되고 있다. 왜냐하면 테일러 급수전개(Taylor series expansion)와 같은 주요한 수학적 도구들은 무한 차수까지 미분이 가능한 함수들을 사용하고 있기 때문이다. 사인 및 코사인 함수가 퓨리에 급수전개(Fourier series expansion)에 사용되는 이유가 바로 여기에 있다.
한편, 모든 자연현상이나 물체의 거동은 테일러나 퓨리에 급수로 표현이 가능하다. 예를 들어 물체에 가해지는 임의 동적하중(dynamic load)은 무한개의 주기가 서로 다른 사인과 코사인 파의 조합으로 표현이 가능하고, 이러한 외란을 받는 물체의 동적 거동 역시 주기가 서로 다른 무한개의 사인과 코사인 함수들의 조합으로 표현이 가능하다. 동적 시스템의 고유한 진동특성을 나타내는 고유진동수(natural frequency) 및 고유모드(natural mode)를 구하기 위해 물체의 동적 거동을 이들 함수로 가정하는 이유도 이러한 수학적 원리에 기초한다.
하나의 주기를 가진 순수한 조화가진은 거의 찾아보기가 힘들며, 거의 대부분 매우 복잡한 형태를 지닌 임의 가진(random excitation) 혹은 순간적으로 가해지는 극단적인 임펄스(impulse) 등이다. 하지만 이러한 가진들도 위에서 언급한 함수들의 조합으로 표현이 가능하다.
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어떠한 자연 현상을 수학적으로 표현하고, 이 수학적 표현을 수식으로 전환하여 계산기나 컴퓨터를 이용하여 계산한 결과는 숫자 형식의 데이터이다. 예를 들어 차량이 지나다니는 교량의 변위(displacement)를 계산하면 교량 각 지점에서의 변위값을 구할 수 있다. 요즘과 같이 컴퓨터 그래픽스(computer graphics) 기술이 발달하기 이전에는 숫자 형식의 방대한 변위값을 용지에 기록하여 교량의 위치와 그 지점에 해당하는 변위값을 일일이 확인하였다. 그리고 이 숫자 형식의 변위값을 토대로 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress) 등을 계산기를 이용하여 일일이 수작업으로 계산하였다.
이렇게 계산 결과를 분석하는 것도 좁은 의미에서 후처리 작업으로 볼 수 있다. 하지만 컴퓨터 그래픽스 기술이 보편화 되어 있는 지금에 있어서 후처리 작업의 정의는 보다 광범위하다. 수식을 계산하여 구한 숫자 형식의 변위값을 컴퓨터 화면상에 가시적으로 나타내면 교량 전체의 변형된 형상을 한 눈에 생생하게 볼 수 있다. 그리고 변위와 변형률 그리고 변형률과 응력과의 관계식을 이용하여 교량 전체에 대한 변형률, 응력 등의 분포를 가시화 시킬 수 있다.
그 뿐만 아니라 마우스를 이용하여 교량의 특정 위치를 선택하면 해당 지점에서의 변위, 변형률, 응력 등의 상세 수치값을 쉽게 확인할 수 있다. 또한 원하는 유형의 결과값을 그래프 형식으로 볼 수 있을 뿐만 아니라 결과값을 프린터를 통하여 출력하거나 저장 매체에 보관할 수도 있다. 또한 결과값을 토대로 교량의 안전성과 같은 설계 사양들을 분석할 수도 있다.
이렇게 수식을 계산한 후 그 계산 결과를 다양한 형태로 모니터 화면상에 가시화 혹은 조회하거나 목표로 하는 성능들을 분석하고, 프린터 혹은 저장매체를 통해 출력하는 제반 작업을 광의적인 의미에서 후처리라고 한다. 그리고 소프트웨어 내부에서 이 후처리 기능을 담당하는 부분을 후처리기라고 부른다.
물질 고유의 물성계수들이 물질 내 방향에 따라 그 값들이 변하는 경우를 이방성이라고 부른다. 예를 들어 금속 판재로부터 동일한 크기와 형상을 가진 두 개의 가느다란 띠 형상의 부재를 서로 다른 방향으로 잘라내었다고 가정하자. 그러면 이방성 금속이라면 부재를 길이방향으로 동일한 힘으로 잡아당겼을 때 늘어나는 길이는 두 부재에 있어 서로 다르다.
이방성 물질 중에서 목재와 같은 재질은 물성계수의 값이 대칭이 되는 서로 직교하는 세 면이 존재한다. 이와 같은 성질을 가지고 있는 경우를 특별히 직교 이방성 물질(orthotropic material)이라고 부른다. 즉, 세 개의 직교하는 축 방향으로만 물질의 물성계수의 값들이 서로 다른 경우이다.
그리고 수직하는 두 축이 이루는 평면상에서는 물질이 등방성이고 나머지 한 축 방향으로만 물성계수 값이 다른 경우를 특별히 횡등방성(transversely isotropic)이라고 부른다. 횡등방성 물질의 대표적인 예는 한 방향으로 보강재를 삽입한 섬유복합재이다.
참고로 3차원 재질의 기계적 구조강도와 관련된 물성계수를 비교하면, 등방성(isotropy)인 경우에는 총 2개의 독립적인 물성계수를 가진다(탄성계수(Young’s modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)). 하지만 직교 이방성 물질은 총 9개의 독립적인 물성계수(3개의 탄성계수, 3개의 프와송 비 그리고 3개의 전단 탄성계수), 그리고 횡등방성 물질은 총 5개의 독립적인 물성계수(2개의 탄성계수, 2개의 프와송 비 및 1개의 전단 탄성계수)를 가진다.
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공학 및 자연과학을 필두로 매우 광범위한 분야에서의 수치해석(numerical analysis)을 위해 가장 많이 사용되고 있는 유한요소해석 프로그램은 크게 범용과 전용 프로그램(special-purpose program)으로 구분된다. 전자는 각 분야에 있어 대표적인 문제들을 거의 대부분 처리할 수 있도록 해석 유형이 다양한 반면 각 해석유형에 대한 해석기능은 어느 정도 수준까지로 제한되어 있다. 이와는 대조적으로 후자는 특수한 해석문제만 다룰 수 있도록 되어 있는 반면, 매우 전문적인 수준까지 해석이 가능하도록 만들어져 있다.
대학이나 다양한 해석 업무를 수행해야 하는 업체라면 범용 해석 프로그램이 유리하지만, 매우 전문적인 해석업무 만을 다루는 경우라면 전용 해석 프로그램이 유리하다고 말할 수 있다. 예를 들어, 구조강도, 구조진동, 열전달 및 유동해석 등을 동시에 수행해야 하는 경우에 있어서는 범용 해석 프로그램을 사용하는 것이 효과적이다. 하지만 자동차 충돌 혹은 소음과 같이 특정분야에 국한된 해석만이 필요할 경우에는 이 해석업무에 가장 적합한 전용 해석 프로그램을 사용하는 것이 합리적이라 할 수 있다.
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유한요소 해석에서는 구하고자 하는 물체의 거동을 요소망(mesh)내 각 유한요소(finite element)의 절점(node)에서의 값을 구하여 표현한다. 이것은 거동을 근사화 시키기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성에 따라 달라질 수도 있는데, 보편적으로 사용되는 기저함수는 라그랑지(Lagrange) 형식으로 각각의 기저함수는 자신의 함수번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지고 나머지 절점에서는 모두 0이 된다.
하지만 계층적 기저함수(hierarchical basis function)에서는 이러한 특성이 만족되지 않는다. 따라서, 라그랑지 혹은 계층적 유형에 따라 요소 내 절점의 위치는 판이하게 달라진다. 보편적으로 사용되는 라그랑지 유형의 요소에 있어서 절점은 요소의 각 모서리(vertex), 변(side), 면(surface) 그리고 내부(internal)에 위치한다. 요소의 차수(element order)와 무관하게 각 모서리는 항상 절점을 가지지만 나머지 위치에서의 절점 유무는 요소차수에 의존한다.
각 절점에서 물체의 거동값을 절점 자유도라고 부르는데, 각 절점에서의 자유도 개수는 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 좌우된다. 예를 들어, 물체내 온도분포를 구하고자 하는 경우 각 절점에서의 자유도(degree of freedom) (즉, 미지수)는 하나이다. 하지만, 유속과 압력을 동시에 구하고자 하는 경우에는 각 절점에서의 자유도는 네 개가 된다 (2차원 문제의 경우에는 세 개).
따라서, 온도 분포를 구하는 해석문제에 있어서 총 자유도는 요소망내 총 절점수와 일치하지만, 거동값이 방향별 성분을 가지는 경우나 연계해석(coupled analysis)과 같이 여러 유형의 거동들을 동시에 구하는 경우는 총 자유도는 총 절점수보다 훨씬 많아지게 된다.
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수치해석(numerical analysis)을 통해 계산된 해석결과는 숫자 형식의 데이터이기 때문에, 해석자가 손쉽게 물체의 거동을 파악할 수 있도록 모니터 화면이나 프린터를 통해 가시화 시키게 된다. 가시화는 후처기 작업(post-processing)의 대부분을 차지하고 있으며, 가시화에는 애니메이션(animation), 프린지 출력, 벡터 출력(vector plot), 등고면 출력(iso-surface plot)과 같이 다양한 방법이 있다.
프린지 출력은 유한요소해석에서 가장 보편적으로 사용되는 가시화 방식이다. 프린지 출력을 위해, 후처리기는 선택한 데이터 유형을 해석자가 지정한 수만큼 출력값의 범위를 분할되고, 분할된 각 범위에는 특정한 색상이 지정된다. 따라서 모델은 변형 전 또는 변형 후 형상에, 색상범례(color spectrum)라 불리는 출력값에 해당하는 범위의 색상을 프린지로 표현한다.
해석프로그램은 관심영역을 잘 나타낼 수 있도록, 결과 창의 배율을 조정하는 기능을 제공한다. 일반적으로 중간 범위의 크기는 거의 동일하지만, 관심영역 범위 전체의 위 아래 값을 모두 뚜렷하게 표현하기 위해 최저와 최고 범위를 더 축소시킬 수도 있을뿐더러, 각 범위에 지정된 색상을 변경할 수도 있다. 일반적으로 파란색은 0에 가까운 값이고, 빨간색은 최고값에 사용된다. 값이 0에서부터 커질수록 옅은 색상에서 강한 색상으로 점진적으로 표현하는 것이 효과적이다.
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요소망(mesh)을 구성하는 각 유한요소(finite element)의 크기를 간단히 요소 크기(element size)라고 부르고 상징적인 기호로 보통 h를 사용한다. 요소의 크기는 그 형상에 따라 정의하는 방식에 다소의 차이가 있다.
1차원의 경우에는 요소의 형상이 직선이기 때문에 단순히 요소의 길이가 그 요소의 크기가 된다. 하지만 2차원의 경우에는 사각형과 삼각형의 두 가지 요소 형상이 있고, 사각형의 경우에는 두 대각선 중에서 긴 대각선의 길이로 그리고 삼각형의 경우에는 세 변 중에서 가장 긴 변의 길이를 요소 크기로 정의한다. 3차원의 경우에는 육면체, 오면체 그리고 사면체 형상이 있고, 육면체와 오면체의 경우에는 서로 마주보는 꼭지점을 연결하는 대각선들 중에서 가장 긴 대각선의 길이를 요소 크기로 정의한다. 그리고 사면체의 경우에는 6개의 변 중에서 가장 긴 변의 길이를 요소 크기로 정의한다.
한편 요소 크기는 요소망의 밀도(mesh density)와 요소의 개수에 밀접한 관계가 있다. 왜냐하면 정해진 임의 물체 형상을 작은 영역으로 나눈 하나 하나가 유한요소이기 때문에 요소 크기가 줄어든다는 것은 요소의 개수가 늘어남을 의미하게 되어 요소망의 밀도가 커지게 되는 것이다. 다시 말해, 요소 크기가 줄어들면 요소의 개수와 요소망의 밀도는 커지게 되고, 요소 크기가 커지게 되면 요소의 개수와 요소망의 밀도는 작아지게 된다. 요소 크기(h)는 유한요소 해석결과의 정확성에 영향을 미치는 매우 중요한 인자이다. 이론적으로 해석결과의 정확도는 요소 크기가 작아질수록 비례적으로 증가한다.
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스프링을 잡아당기거나 누르면 길이가 늘어나거나 줄어든다. 이러한 스프링의 길이 변화는 스프링의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)에 반비례하고 스프링에 가한 하중(load)에 비례한다.
우리 주위에서 흔히 볼 수 있는 임의 물체는 이러한 스프링이 무수히 많이 빽빽하게 차여있는 탄성체로 생각할 수 있다. 따라서 물체가 외부로부터 힘을 받아 늘어나거나 줄어드는 길이, 즉 변형(deformation)은 외력의 크기에 비례하고 물체의 강성에 반비례한다.
물체의 변형이 외력 및 강성에 비례적인 관계를 나타내는 경우를 선형(linear)이라고 한다. 선형적인 정적 거동(static behavior)을 나타내는 물체에 유한요소법(finite element method)을 적용하면 [K]{u}={F}라는 행렬방정식을 푸는 수치해석 문제로 변환된다. 여기서 행렬 [K]를 강성행렬(stiffness matrix), 행렬 {F}를 하중벡터(load vector), 그리고 행렬 {u}를 구하고자 하는 미지수, 즉 물체의 근사적인 변형 값이다.
행렬의 이름을 이처럼 부르게 된 것은 위에서 설명한 코일 스프링의 거동을 생각하면 쉽게 이해할 수 있다. 코일 스프링과 마찬가지로 하중벡터는 물체에 작용하는 힘의 크기를 나타내며, 요소망(mesh) 내 각 유한요소 별로 계산하여 모두 합쳐서 만들게 되는데, 각 요소별로 계산한 하중벡터를 특별히 요소 하중벡터(load vector)라고 부른다.
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가느다란 기둥을 축 방향으로 누르거나 얇은 판을 판과 평행한 방향으로 압축하면, 하중이 어느 크기에 도달하는 순간 갑자기 판이 횡 방향으로 과도하게 휘어지는 축방향 변위(lateral displacement)가 발생한다. 물체의 이러한 거동을 좌굴 혹은 붕괴라고 정의하며 구조물의 안전성에 치명적인 문제점을 야기시킨다.
좌굴이 발생하기 전까지 물체는 정적인 평형상태를 유지하지만, 일단 좌굴이 발생하면 평형상태가 깨어지고 횡 방향으로 큰 변형(deformation)이 발생하여 외부 하중을 더 이상 지탱할 수 없게 된다. 이러한 좌굴은 비단 가느다란 기둥이나 얇은 판의 휨 좌굴(flexural buckling)에만 국한되는 것은 아니다. 물체의 국부 영역에 지역적으로 발생하는 국부 좌굴(local buckling), 전단력에 의하여 야기되는 전단 좌굴(shear buckling) 그리고 비틀림에 의해 발생하는 비틀림 좌굴(torsion buckling) 등이 있다.
한편 좌굴에 의한 물체의 변형이 구조물이 이루는 평면 내에 있느냐 아니면 바깥에 있느냐에 따라 면내 좌굴(in-plane buckling) 그리고 면외 좌굴(out of plane buckling)로 구분하기도 한다. 좌굴은 거의 대부분 물체의 형상이나 하중 조건의 불완전성(imperfection)에 기인한다. 예를 들어, 기둥의 단면 중심에 정확히 축 방향으로 집중 압축력을 가한다고 생각하자. 이론적으로는 측면 방향으로 휨을 발생시킬 하중이나 모멘트 성분이 전혀 없기 때문에 좌굴이 발생하면 안 된다.
하지만 실제 기둥은 정확히 원형 단면이 아닐 뿐더러 압축력이 작용하는 지점도 정확히 축의 중심에 위치하지 않는다. 따라서, 기하학적인 불완전성과 축 중심에서 어느 정도 편심된 위치에 압축력이 작용함에 따른 불완전함에 따라 횡 방향으로의 변위가 발생하게 된다.
좌굴은 물체의 가느다란 정도를 나타내는 형상 종횡비(aspect ratio)가 클수록 보다 쉽게 발생한다. 다시 말해 길이가 긴 기둥이 짧은 기둥에 비해 좌굴이 보다 쉽게 발생한다. 그리고 좌굴은 동일한 재질, 형상 및 하중조건에서도 물체를 구속하는 경계조건(boundary condition)에 크게 영향을 받는다.
좌굴을 일으키는 하중의 크기를 임계하중(critical load)이라 부르고, 좌굴의 가능성을 나타내는 지수로 좌굴 하중계수(buckling load factor, BLF)가 주로 사용된다. > 좌굴 더 자세히 보기🔎
