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물체에 하중을 가할 경우 물체가 늘어나는 크기인 변형률(strain)과 물체 내부에 발생하는 저항성분인 응력(stress)과의 관계를 그래프로 나타낸 것을 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)이라고 부른다. 이 그래프는 관심이 되는 물체의 시편(specimen)을 만들어 인장시험기라고 부르는 실험장치를 이용하여 구할 수 있다.
만일 변형률과 응력이 선형적인 관계, 다시 말해 두 값이 일정한 기울기를 가지고 변한다면 그 물체는 선형적인 거동을 나타낸다고 말한다. 대부분의 물체에 있어서, 변형률이 미소한 경우에는 이러한 선형적 가정을 적용하여도 무방하다. 하지만 변형률이 커지게 되면 응력과 변형률은 더 이상 선형적인 관계를 나타내지 않는다. 참고로 고무와 같은 초탄성 재료(hyperelastic material)는 아주 작은 변형률에서도 현저한 비선형적 관계를 나타낸다.
이와 같이 변형률과 응력이 비선형적인 관계를 나타내는 물체를 재료 비선형이라고 부르고, 비선형 해석(nonlinear analysis)에 있어 상당부분을 차지하고 있다. 금속과 같은 전형적인 재료는 항복응력(yield stress)에 도달하기 이전까지를 선형 재료 그리고 이 지점 이후를 비선형 재료로 가정한다.
재료 비선형 물체의 응력-변형률 관계를 표현하기 위한 재료모델(material model)에는 다양한 종류가 소개되어 있다. 고무와 같은 재료를 위한 문리-리브린 모델(Moonley-Rivlin model), 소성변형(plastic deformation)을 나타내는 재료를 위한 멱법칙(power law) 모델 등이 대표적인 예이다.
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연성은 재료가 연하다는 의미이며 연하다는 것은 과장되게 표현하자면 딱딱하지 않고 말랑말랑하다는 뜻이다. 연성이 강한 재료는 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 쉽게 늘어나거나 압축된다. 뿐만 아니라 재료가 파괴될 때까지 현저한 잔류변형 즉 소성변형(plastic deformation)을 일으킨다. 연성재료의 이러한 성질은 물체를 구부리거나 눌러 임의의 형상으로 만들 수 있도록 한다.
대표적인 예가 얇은 금속판을 스탬핑 성형(stamping forming)이라 불리는 성형가공으로 만든 각종 주방기기가 될 수 있다. 연성재료는 취성재료(brittle material)와는 달리 인장과 압축하중에 대해 동일한 강성을 나타낸다. 연성재료로 만든 제품의 파괴예측에는 주로 최대 수직응력 이론(maximum normal stress theory), 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory 혹은 Tresca theory)이론 그리고 최대 비틀림에너지 이론(maximum torsional energy theory 혹은 von Mises-Henky theory)이 주로 사용된다.
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금속과 같은 연성재료(brittle material)의 항복(yielding)에 의한 파괴를 예측하기 이론으로서 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory 혹은 Tresca 이론)과 더불어 가장 보편적으로 사용되고 있다.
물체가 힘을 받으면 그 내부에는 일종의 저항력인 응력(stress)이 발생하게 되고, 이 응력은 정수압과 비틀림 성분으로 분해할 수 있다. 전자는 물체의 형상을 전혀 찌그러뜨리지 않고 다만 전체 체적의 변화만 야기한다. 반면 후자는 물체 전체의 체적변화에는 영향을 끼치지 않고 형상만을 찌그러트린다. 그리고 물체의 항복과 그에 따른 파괴는 전적으로 후자에 의해 야기된다.
최대 비틀림 에너지 이론은 물체 내에서 등가응력이라 불리는 폰 미제스 응력(von Mises stress)의 최대값이 물체의 항복응력에 도달하였을 때 파괴가 시작된다고 예측하는 이론이다. 이 이론은 물체 내부에 축적된 비틀림 에너지로 파괴를 예측하는 것이라는 관점에서 최대 전단응력 이론과 차이가 있다. 그리고 실용적인 측면에서 최대 전단응력 이론보다 파괴를 판단하는 응력값이 다소 높은 것으로 알려져 있다.
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금속과 같이 상대적으로 연한 재료의 구조적인 파괴(structural failure)를 예측하기 위해서 폰 미제스 응력(von Mises stress)을 이용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory), 트레스카 이론(Tresca theory)라 불리는 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory) 그리고 최대 수직응력 이론(maximum normal stress theory) 등이 널리 사용되고 있다.
이러한 이론들은 연성재료(ductile material)의 파괴여부를 판단하기 위한 것들이고 연성 파괴이론으로 분류된다. 이들과 구분되는 파괴이론으로 취성 파괴이론들이 있으며, 콘크리트나 유리와 같은 취성재료(brittle material)의 파괴여부를 판단하기 위해 사용된다.
연성 파괴이론들 중에서 최대 수직응력 이론은 물체 내 임의 지점에서의 주 응력(principal stress)의 어느 하나가 물체의 항복응력(yield stress)에 도달하였을 때, 그 지점에서 소성변형(plastic deformation)에 따른 파괴가 발생한다는 것이다. 이 이론은 위에서 열거한 나머지 두 가지 연성 파괴이론들 보다는 잘 사용되지 않지만 매우 간단하게 파괴 여부를 판단할 수 있는 특징을 지니고 있다.
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외부로부터 하중을 받고 있는 임의 물체에 있어 그 내부에 발생하는 저항력인 응력(stress)은 방향별 성분을 지니고 있다. 따라서 물체내 임의 지점에서 응력의 절대적인 크기는 임의 응력 성분 하나만으로는 결정할 수 없다. 폰 미제스 응력(von Mises stress)으로 불리는 등가응력(equivalent stress)은 임의 지점에서의 응력의 절대적인 크기를 나타내기 위해 가장 많이 사용되고 있다.
응력과 마찬가지로 물체 변형의 크기를 나타내는 변형률(strain)도 방향별 성분을 지니고 있기 때문에 어느 한 성분만으로 변형률의 절대적인 크기를 나타낼 수 없다. 따라서 물체 내 임의 지점에서 변형률의 절대적인 크기를 나타내기 위한 척도가 필요하다. 등가 변형률은 이러한 변형률의 절대적인 크기를 나타내는 척도로 사용되고 있고 있으며, 물리적으로 등가응력과 짝을 이루는 물리량으로 생각할 수 있다.
보다 정확한 표현으로 등가 변형률은 편차응력(deviatoric stress)과 역학적으로 관계를 맺는다. 등가 변형률은 변형률 성분 각각의 제곱을 모두 합한 값에 2/3를 곱하여 제곱근을 취하여 계산되며, 금속성형(metal forming)과 같은 소성변형(plastic deformation) 거동을 표현하는 소성모델(plastic model)의 변수로 사용되고 있다.
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공간상에 두 점이 주어지면 하나의 직선은 직선을 그을 수 있다. 만약 일직선 상에 놓여있지 않는 세 점이 있다고 가정하자. 이 점들 가운데 멀리 떨어져 있는 두 점을 직선으로 연결하면 나머지 한 점은 직선으로부터 떨어져 있다. 그렇다면 세 점을 모두 연결할 수 있는 방법에는 두 가지가 있을 수 있다. 첫째는 두 개의 직선으로 세 점들을 연결하는 방법이고, 둘째는 직선이 아닌 하나의 곡선으로 세 점들을 연결하는 것이다. 여기서 전자의 경우보다 후자의 경우가 보다 유연한 형태를 나타낸다.
이처럼 공간상에서 일직선 상에 놓여있지 않은 점들을 하나의 곡선으로 연결하면 점들의 개수가 증가할수록 곡선은 보다 유연한 형태가 된다. 두 점을 연결한 직선은 1차 함수에 해당되고, n개의 점들을 연결한 곡선은 (n-1)차의 함수에 해당된다. 바꾸어 말하면 한 개의 n차 곡선을 정의하기 위해서는 (n+1)개의 점들이 주어져야 한다.
만일 일정한 간격 내에 한 개의 직선을 그은 경우와 한 개의 n차 곡선을 그은 경우를 비교해 보기로 하자. 전자의 경우는 양 끝점만 주어지면 그 사이의 점들은 자동적으로 결정된다. 하지만 후자의 경우는 (n+1)개의 점들이 주어져야지만 하나의 n차 곡선을 정의할 수 있다. 여기서 공간상의 일정한 간격은 유한요소법(finite element method)에서 하나의 유한요소(finite element)에 해당되고, 이 간격 내에서 정의되는 곡선은 보간함수(interpolation function)에 해당된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 흔히 부르는 요소 차수라는 것은 바로 보간함수 즉, 하나의 유한요소 내에서 표현하고자 하는 곡선의 차수를 말한다. 한 유한요소 내에서 높은 차수의 곡선을 사용하면 그 구간 내에서 보다 많은 점들에서의 거동값들을 표현할 수 있다. 따라서 직선으로 표현하는 것보다 보다 정확하게 대상이 되는 거동을 표현할 수 있다는 뜻이다.
유한요소 해석에 있어서 해석결과의 정확성은 요소 차수, 격자 크기(mesh size) 그리고 시간 간격(time step)에 의해 좌우된다.
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우리 주위에는 하나 이상의 물체들이 특정한 관계를 가지면서 운동하는 조립체들이 많이 존재한다. 자동차 본체, 현가장치 그리고 타이어로 구성된 동적 시스템에 있어서 각 구성요소의 운동은 결코 독립적이지 않고 서로 특정한 구속조건 하에서 운동하게 된다. 이와 같이 특정한 관계를 가지면서 운동하는 시스템에 대한 속도, 가속도, 힘 그리고 모멘트 등을 다루는 학문을 다물체 동역학(multibody dynamics)으로 분류하고 있다.
지금까지 다물체 동역학은 각 구성요소의 변형(deformation)을 무시하고 강체(rigid body)로 가정하였다. 그 주된 이유는 각 구성요소의 변형을 함께 고려하게 되면 이론적 분석이 매우 복잡해져 그 해답을 구하기가 매우 힘들어 지기 때문이다. 하지만 최근 들어 컴퓨터의 활용과 수치기법의 급격한 발달로 각 구성요소의 변형을 반영한 유연 다물체 동역학으로 발전하고 있다. 수치기법에서는 시스템의 동적 거동(dynamic behavior)을 행렬방정식으로 전환하여 해답을 구하기 때문에 아무리 복잡하고 대형인 경우라도 근사적인 답을 구할 수 있다.
엄밀한 의미에서 지구상의 모든 물체는 정도의 차이는 있을지라도 외부로부터 힘이나 가속도를 받게 되면 모두 변형을 일으키는 유연체(flexible body)이다. 따라서, 구성요소들의 변형을 반영하지 않고서는 각 구성요소의 동적 거동을 정확히 분석할 수가 없다. 유연 다물체 동역학에서는 각 구성요소 내 모든 점에서의 상대적인 운동을 묘사해야 하기 때문에 종래의 강체 기반의 다물체 동역학에 비해 엄청나게 많은 자유도(degree of freedom)를 가진다는 특징을 지니고 있다. 그리고 이러한 본질적인 특성 때문에 이론적인 방법보다는 유한요소법(finite element method)을 접목한 수치적 접근방식이 주류를 이루고 있다.
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자유도(degree of freedom)가 N개인 물체는 그 물체의 고유한 진동 형상인 고유모드(natural mode)를 N개 지니고 있다. 참고로, 지구상의 대부분의 물체는 무한 개의 자유도를 가지고 있으며, 그 결과 무한 개의 고유모드를 가지고 있는 셈이다. 하지만 무한 개의 고유모드는 실제적으로 수치해석(numerical analysis) 으로 구할 수 없기 때문에, 요소망(mesh)의 크기에 비례하여 유한 개의 고유모드로 한정된다.
한편, 물체가 외부로부터 동적인 하중을 받아 시간에 따라 변하는 물체의 동적 거동은 물체가 지니고 있는 모든 고유모드의 조합으로 표현된다. 이러한 물체의 동적 특성을 이용하여 외란을 받는 물체의 동적응답을 고유모드의 조합으로 구하는 수치기법이 바로 모드 응답해석(mode response analysis)이다. 동적 거동에 미치는 각 고유모드의 참여도는 외부 동하중(dynamic load)의 주파수, 물체에 부여된 구속조건 등에 따라 좌우되며, 대부분의 경우 가장 저차의 고유모드가 가장 큰 참여도를 나타낸다. 그리고 고차 고유모드로 갈수록 동적 거동에 미치는 고유모드의 참여도는 급속도로 줄어든다.
충돌에 따른 자동차의 동적 찌그러짐을 시뮬레이션하는 경우, 자동차 모델이 갖는 엄청난 량의 자유도에 기인하여 모든 고유모드를 반영하여 모드 응답해석을 수행한다는 것은 실로 엄청난 해석시간을 요구하게 된다. 따라서, 기여도를 무시할 수 있는 고차 고유모드를 배제하고 한정된 수의 저차 고유모드들의 조합으로 자동차의 충돌 응답을 시뮬레이션 하게 된다. 이와 같이 참여도가 미미한 고차모드를 배제하는 것을 모드차단이라고 부르고, 일반적으로 외부 동적 하중이 갖는 주파수의 2~3배 이내의 고유 주파수(natural frequency)에 해당하는 고유모드들만 반영하고 그 이상의 고차 고유모드들은 배제시킨다.
외부로부터 하중이나 모멘트를 받는 물체에 있어 물체의 변위나 회전(rotation)이 과도한 경우, 물체는 현저한 비선형성(nonlinearity)을 나타낸다. 보통 대변형 문제라고 부르는 것은 변위와 회전 그리고 변형률 모두가 큰 값인 경우를 의미한다. 하지만 대 변위 혹은 대 회전이라고 해서 반드시 변형률(strain)이 크다고는 단정지을 수 없다. 왜냐하면, 변위나 회전량은 클지라도 변형률 자체는 작을 수 있기 때문이다.
예를 들어, 한 쪽 끝 단이 벽에 고정되어 있는 얇은 금속판의 다른 끝 단에 집중하중을 가하는 경우를 생각해 보자. 하중이 증가하면 금속 판재는 마치 동그랗게 말리는 것과 같은 대 변위와 대 회전을 나타낸다. 하지만 금속 판재 내 각 점의 상대거리의 변화는 그다지 크지 않아 변형률은 크지 않다. 따라서 대 변위 혹은 대 회전 문제는 대 변형률과 미소 변형률 문제로 다시 세분화 할 수 있다. 어떠한 경우라 할지라도 대 변위 혹은 대 회전 문제는 기하학적 형상의 과도한 변화로 인하여 현저한 비선형성(nonlinearity)을 야기한다. 또한 물체에 가해지는 하중이나 모멘트의 크기는 일정하게 유지될지라도 그 방향이 형상에 따라 변할 수 있는, 다시 말해 종동력(follower force) 형태가 될 수도 있다.
이와 같이 물체의 기하학적 형상이 크게 변함에 따라 수반되는 비선형성을 기하 비선형이라고 정의하고 있다. 기하 비선형 문제의 유한요소 해석을 위해서는 토탈 라그랑지언(total Lagrangian) 혹은 업데이티드 라그랑지언(updated Lagrangian) 방식에 따라 문제를 정의할 수 있으며, 전자의 경우에는 코오시 응력(Cauchy stress) 대신 물체의 변형 전 초기형상으로 변환시킨 가상적인 응력인 피올라-킥컵응력(piola-Kirchhoff stress)이 사용된다.
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