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지구상에는 홀로 존재하는 물체는 거의 없으며, 항상 다른 물체와 다양한 형태의 접촉 상태(contact state)를 유지하고 있다. 그리고 접촉 상태는 움직이지 않는 정적(static)인 접촉과 시간과 더불어 변하는 동적인 접촉으로 크게 구분할 수 있다. 동적인 접촉에는 미끄럼(sliding)이 수반되며 그 결과 마찰력(frictional force)과 마모(wear)가 발생하게 된다.
한편, 두 물체가 접촉하는 경우에 있어 두 물체는 접촉하고 있는 상대편 물체의 경계면을 파고 들어갈 수 없다. 두 물체가 접촉하는 경우에는 기하학적 조건뿐만 아니라 역학적인 거동을 분석해야 할 경우가 종종 발생하는데, 이처럼 접촉과 연관된 거동을 분석하는 것을 접촉해석이라고 부른다. 접촉해석에서는 접촉 경계영역(contact boundary), 접촉하중(contact force), 마찰력이 관심의 주된 대상이 된다.
접촉 문제를 유한요소 해석(finite element analysis)을 통하여 풀기 위해서는 접촉영역의 탐색, 상대편 물체로의 비침투, 접촉력 및 마찰력 계산 등과 같은 핵심 사항들을 처리할 수 있는 수치기법(numerical technique)이 필요하다. 특히, 비침투 조건을 수치해석(numerical analysis)적으로 만족시키기 위해서는 벌칙기법(penalty method)과 같은 수치 알고리듬을 적용한 반복계산이 요구된다. 따라서 접촉해석은 본질적으로 비선형 해석 문제에 해당된다.
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한 물체가 다른 물체와 접촉하게 되면 접촉하는 영역에서는 두 가지 물리적 조건이 수반된다. 첫째는 두 물체의 공통 접촉 경계(common contact interface)에서 상대방 물체의 내부로 침투해 들어갈 수 없는 비침투 조건(non-penetration condition)이고, 둘째는 접촉 경계에서 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 주고 받는다는 사실이다. 후자의 경우는 우리가 잘 알고있는 뉴튼의 제3법칙인 작용 반작용의 원리에 해당된다. 보다 전문적인 용어로 전자를 운동학적 구속조건(kinematic constraint) 그리고 후자를 접촉응력 구속조건(contact stress constraint)이라고 부른다.
이러한 접촉현상을 수치해석(numerical analysis)적으로 시뮬레이션하는 작업을 접촉해석(contact analysis)이라고 부르고 대부분의 조립체 해석을 위해 필수적으로 수반된다. 하지만 접촉해석에 있어 두 물체가 접촉하는지 그리고 접촉하게 되면 어느 부위가 얼마만큼 접촉하는지를 파악하는 것이 선행되어야 한다. 이러한 작업을 접촉탐색이라고 부르며, 크게 절점-대-면 접촉탐색(node-to-surface contact search) 방식과 면-대-면 접촉탐색(surface-to-surface contact search) 방식에 의하여 수행된다.
전자는 한 물체의 경계 상에 위치한 각 절점(node) 단위로 상대방과 접촉하는지 여부를 판단하는 방식인 반면, 후자는 한 물체의 경계 영역 단위로 상대방과의 접촉여부를 판단하는 방식이다. 두 가지 방식은 나름대로 장단점을 지니고 있지만, 후자의 방식이 많이 사용되고 있는 추세이다.
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건물이나 현수교와 같은 건축물은 지진파를 받으면 심하게 흔들리는 동적인 응답(dynamic response)을 나타낸다. 이와 같이 모든 물체는 외란을 받으면 정도의 차이는 있지만 동적인 요동을 나타내고, 이렇게 외부로부터 동적인 힘을 받아 진동하는 현상을 강제진동(forced vibration)이라고 부른다.
이와는 별도로 물체는 외란을 받지 않더라도 각기 고유한 진동 특성을 지니고 있고, 이 고유한 진동 특성을 고유진동 혹은 자유진동(free vibration)이라고 부른다. 현실적으로 동적인 힘이 외부로부터 가해지지 않으면 물체는 진동을 일으키지 않는다. 따라서, 고유진동은 그 물체가 지니고 있는 고유한 동적인 본성을 의미한다. 예를 들어, 한쪽 끝이 벽에 고정되어 있는 얇은 금속판은 외부로부터 아무런 동적인 힘을 받지 않으면 진동할 수 없다. 하지만 이 금속판은 자신이 지니고 있는 형상, 구속조건 및 재질에 의해 결정되는 고유진동 특성을 지니게 된다. 그리고 고유진동 특성은 고유진동수(natural frequency), 고유모드(natural mode) 및 감쇠비(damping ratio)로 표현된다.
이러한 고유진동 특성은 실험, 이론 및 수치해석적인 방법으로 분석할 수 있으며, 실험의 경우에는 외란을 가하는 가진장치와 오실로스코프와 같은 측정장비로 공진(resonance) 현상을 이용하여 측정한다. 이론 및 수치해석(numerical analysis) 기법은 고유진동 현상을 지배하는 수학적인 표현을 손으로 직접 풀거나 아니면 유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석 기법으로 근사해(approximate solution)를 구하는 방법이다.
참고로 물체가 강제진동을 할 경우, 외란의 주파수와 물체의 고유진동수가 일치하거나 매우 근접하게 되면 동적 응답이 무한히 커지는 공진현상을 나타낸다. 또한, 강제로 물체를 진동시킨 후 외란을 제거한 후 어느 정도 시간이 지나면 물체는 1차 고유진동수로 자유진동 하게 된다. 1차 고유진동은 그 물체가 가장 변형되기 쉬운 모양을 의미하고, 강제진동에 따른 물체의 동적 응답은 그 물체의 모든 고유진동 모드의 조합으로 표현된다.
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어떤 물체나 거동이 어떤 면(plane)에 대하여 대칭이 된다는 말은 이 면에 대하여 좌우의 형상 혹은 거동이 동일하다는 의미다. 예를 들어 가느다란 직사각형 물체에서의 열전달 거동이 물체의 중앙면을 중심으로 대칭이라면 좌우의 온도분포는 동일할 것이다. 이렇게 대칭성을 지니는 문제를 대칭문제(symmetric problem)라고 부르고, 대칭성 덕분으로 좌우 어느 한 영역만을 이용하여 문제를 풀 수가 있다. 그리고 물체의 거동을 분석하기 위해 좌우 어느 한 영역만을 수치해석 모델로 한정한 것을 대칭모델(symmetric model)이라고 부른다.
축소된 대칭모델이 원래 전체 물체의 대칭된 거동을 정확히 모사하기 위해서는 반드시 만족되어야 할 조건들이 있다. 이 조건들을 총칭하여 대칭 경계조건이라 정의하고 있다. 대칭 경계조건은 전체 물체의 형상에서 축소된 대칭모델을 만들기 위해 절단된 대칭면에 부과되는 하중 및 변위 경계조건(boundary condition)의 일종이다. 우선 변위 경계조건으로는 대칭면에 수직한 변위성분(혹은 열흐름(heat flux))이 없어야 한다. 하중 경계조건으로는 대칭면에서 전단응력(shear stress)이 0이 되어야 한다.
구조역학 문제에 있어 전자는 비침투(non-penetration) 조건으로 불리고 후자는 대칭이 되는 좌우 영역이 대칭면에서 접선방향으로 작용/반작용력이 없어야 함을 의미한다.
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CFD는 Computational Fluid Dynamics의 약어로서 한국어로 번역하면 전산유체역학이 된다. CFD는 고전적 유체역학을 기반으로 수치해석과 컴퓨터공학이 접목되어 탄생한 공학 분야이다. 간단히 정의하면 “자연과학 분야의 여러 현상을 규명하기 위하여 다양한 물리적 조건 하에 유체의 흐름을 전산적으로 계산하는 분야”로 정의할 수 있다.
유체의 흐름을 기술하는 지배방정식으로는 비선형 편미분 방정식인 Navier-Stokes Equation이 사용되며, 이 식을 여러 이산화 기법1을 사용하여 대수 방정식으로 변환하고, 이에 수치적 알고리듬을 적용하여 유체의 현상을 근사적인 수치해로 구하게 된다. 해석에 사용되는 해석모델은 실제와 가까울수록 정확한 해를 구할 수 있으나, 계산에 많은 시간이 소요된다.
CFD에서 가장 기본적인 고려사항은 유체를 입자가 아닌 연속체(Continuum Fluids)로 가정하는 것이며, 이러한 유체가 가득 찬 공간(Spatial Domain)을 유한개의 작은 요소(Finite Element)로 이산화(Discretization) 한다. 이산화된 각각의 요소에서 수치적 계산을 하여 유체의 현상을 규명하게 된다.
다음은 CFD의 해석절차를 간단히 도식화 한 것이다. > 전산유체역학 더 자세히 보기🔎
임의 물체를 특정한 속도로 발사하였을 경우, 이 물체의 시간에 따른 궤적, 날아간 거리 그리고 목표지점에 도달하기까지 걸린 시간을 풀어본 경험이 있을 것이다. 이와 같이 시간에 따른 물체의 거동을 구하는 것을 초기치 문제를 푼다고 한다.
초기치란 이름이 붙게 된 이유는 시간에 따른 물체의 거동이 초기 발사지점, 발사각도 및 발사속도와 같은 초기조건(initial condition)에 절대적으로 영향을 받기 때문이다. 경계치 문제(boundary value problem)의 거동이 외부와 직접 접촉하는 물체의 경계(boundary)에서의 구속 및 하중조건에 의해 결정되는 것과 동일한 맥락이다.
또한 경계치 문제의 수학적 표현 속에 물체 거동의 위치에 따른 변화율을 포함하는 반면, 초기치 문제의 수학적 표현 속에는 거동의 시간에 따른 변화율을 포함하고 있다. 예를 들어 발사된 물체의 위치에 대한 시간 변화율은 물체의 속도가 되고, 이 속도의 시간에 대한 변화율은 가속도가 된다. 경계치 문제에 있어 거동의 위치에 따른 변화율은 거동을 근사화 시키는 보간함수(interpolation function)를 위치에 대해 미분하면 된다.
하지만 초기치 문제에 있어 거동의 시간에 대한 변화율은 보간함수의 직접적인 미분이 아닌 특별한 수치적 미분을 적용해야 한다. 시간에 대한 변화율을 계산하는 가장 간단한 방법은 인접한 두 시점에서의 거동의 차이를 두 시점 사이의 시간 간격(time step)으로 나눈 기울기로 대체하는 것이다.
이러한 방식으로 거동의 시간에 대한 변화율은 전 후 시점에서의 거동값들로 대체되어 표현된다. 그리고 초기시점에서 부터 원하는 시점까지의 물체 거동은 이렇게 대체 표현된 수학적 표현을 초기값을 이용하여 반복계산을 통해 계산된다. 이렇게 초기치 문제의 거동을 시간에 따른 반복계산을 통하여 구하는 수치적 방법을 특별히 시간적분(time integration)이라고 부른다.
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강성과 열전달률과 같은 물체의 고유한 특성치가 물체 내 임의 방향으로 동일한 값을 가지면 등방성(isotropic)이라고 부르고 그렇지 않은 경우를 통틀어 이방성(anisotropic)이라고 정의한다. 하지만 이방성을 나타내는 재료들 중에서도 특별히 그 특성치들이 서로 대칭이 되는 직교하는 세 면이 존재하는 경우가 있다. 가장 대표적인 재료가 우리가 흔히 볼 수 있는 나무로서, 이러한 재료를 특별히 직교 이방성 재료라고 부른다.
이러한 재료의 구조 변형을 지배하는 특성치로 각 방향으로의 3개의 탄성계수(elastic modulus), 3개의 프와송 비(Poisson’s ratio) 그리고 3개의 전단탄성계수(shear elastic modulus)가 존재한다. 그리고 열전달을 지배하는 특성치로는 세 직교방향으로 3개의 열팽창계수(thermal expansion coefficient), 3개의 비열(specific heat) 그리고 3개의 열전달계수(thermal conductivity)가 있다.
직교 이방성의 특수한 경우로 횡등방성(transversely isotropic)이 있다. 이것은 직교 이방성이면서 재료의 특성치가 어떤 한 면상에서 등방성을 나타내는 경우로, 가장 대표적인 재료가 일축 방향으로 보강재가 삽입된 섬유 복합재(unidirectional composite)이다. 횡등방성 재료의 구조적 거동은 2개의 탄성계수, 2개의 프와송 비 그리고 1개의 전단 탄성계수에 의하여 지배된다. 그리고 열전달 거동은 2개의 열팽창계수, 2개의 비열 그리고 2개의 열전달계수에 의해 지배된다.
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그네를 계속 밀어주지 않으면 멈추게 되는 것이 대표적인 감쇠현상으로, 이 현상은 총체적으로 물체가 지니고 있는 에너지의 손실을 수반한다. 감쇠가 너무 크면 물체는 외란을 받아도 진동을 일으키지 않는데, 진동을 발생시키지 않는 최소한의 감쇠 크기를 임계감쇠(critical damping)라고 한다. 임계감쇠보다 더 큰 감쇠를 과도감쇠(overdamped)라고 부르며, 문을 천천히 열고 닫기 위해 부착하는 댐퍼(damper)는 이러한 과다감쇠의 한 예이다. 반대로 인계감쇠보다 낮은 감쇠를 갖는 물체의 진동은 천천히 정지하게 된다.
감쇠를 야기시키는 원인에는 여러 가지가 있다. 그 중 하나인 마찰(friction)은 건조상태에서 발생하는 쿨롱 마찰력(Coulomb frictional force)에 의한 감쇠효과로서 미끄러지는 두 면 사이의 정전기력 때문에 생기며 운동에너지를 열로 소모시킨다. 윤활유나 자동차의 충격흡수 장치에 주입되는 유체에서 발생하는 에너지 감쇠현상을 점성감쇠(viscous damping)라고 한다. 이러한 감쇠는 유체의 유동과 수직방향으로의 유동의 상대적인 속도차이에 비례한다. 외부의 감쇠작용이 없어도 움직이는 구조물 내부에는 에너지 손실이 발생할 수 있는데, 이것을 히스테리 감쇠(hysteretic damping) 또는 구조 감쇠(structural damping)라고 부른다. 히스테리 감쇠는 물체가 변형되었다가 다시 원래 상태로 돌아가는 과정을 반복하면 고체 내의 결정 격자가 제멋대로 진동하거나 유체 내의 분자가 마음대로 움직이면서 운동에너지를 흡수하기 때문에 발생한다.
또 다른 종류의 감쇠현상도 있다. 라디오와 같은 전파 수신기 내의 공명 전기회로에 교류가 들어왔다 나갔다 하면 전기저항이 생겨서 에너지가 감소한다. 복사감쇠(radiation damping)의 경우는 전자와 같이 전기를 띠고 움직이는 입자의 진동에너지가 일단 전자기 에너지로 변환된 후 전파·적외선·가시광선의 형태로 방출된다. 자기감쇠(magnetic damping)는 코일이나 진동체에 붙어 있는 알루미늄판에서 발생한 와전류(eddy current)가 자석의 두 극 사이를 흐를 때 운동에너지가 열로 소모되기 때문에 발생한다.
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물체가 하중이나 온도와 같은 외부 자극에 대해 비선형적(nonlinear) 거동을 나타내는 경우, 이 거동을 수치해석(numerical analysis)을 통해 그 해답을 구하는 것을 말한다. 비선형적 거동은 외부 자극에 대하여 비례적인 관계를 보이지 않기 때문에 선형해석(linear analysis)에 비해 어렵고 긴 계산시간을 요구한다. 선형 거동을 나타내는 문제는 외부 자극과 물체의 거동이 직선적인 관계를 나타내기 때문에, 이 직선의 기울기만 안다면 이 직선과 외부 하중이 만나는 교점을 찾으면 물체의 거동을 구할 수 있다. 다시 말해 단 한번의 계산으로 수치결과를 구할 수 있다.
하지만 비선형적 거동을 나타내는 경우에는 물체의 거동이 외부 자극에 대하여 곡선적인 변화를 나타내기 때문에 곡선 상의 각 지점에서의 기울기는 각기 다르다. 따라서 물체의 초기 예상치(initial guess)에 해당하는 곡선 상의 기울기로 중간 단계의 해답을 구한 다음, 다시 이 중간 단계의 해답에 해당하는 기울기로 다음 중간 단계의 해답을 구하는 반복계산 방법(iterative method)을 적용하여야 한다. 다시 말해 선형해석에서와 같이 단 한번의 계산으로 정확한 해답을 구할 수 없다는 의미다.
비선형 해석을 위한 대표적인 반복계산 기법으로 뉴튼-랩슨 기법(Newton-Raphson method)이 있다. 물체가 비선형적 거동을 나타내는 대표적인 예로는 물체의 재료 물성치(material property)가 구하고자 하는 거동에 따라 변하는 경우, 물체의 거동에 따라 물체의 형상이나 하중이 변하는 경우, 그리고 물체의 거동에 따라 물체의 경계조건(boundary condition)이 변하는 경우이다.
비선형 해석에서 정확한 해답을 구하기 위해서는 무한 번의 반복계산이 필요하기 때문에, 허용가능한 오차(error) 범위를 미리 지정해 주어야 한다. 이것을 허용오차(allowable error)라고 부르고, 이 값의 설정은 해석의 목표에 따라 해석자가 주관적으로 결정하는 것이 일반적이다. > 비선형해석 더 자세히 보기🔎
