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정지상태에 있거나 일정한 속도로 운동하고 있는 물체는 외부에서 아무런 힘이 가해지지 않으면 운동상태를 계속 유지한다. 이것이 잘 알려진 뉴튼(Newton)의 운동 제 1법칙에 해당된다. 이렇게 한 물체의 운동상태를 계속 유지하게끔 하는 원동력은 운동량이라고 불리는 물리량이다.
물리적으로 물체의 운동량은 물체의 질량과 물체 속도의 곱으로 정의된다. 총알은 질량은 작지만 속도가 매우 빠르기 때문에 엄청난 운동량을 지니고 있어 다른 물체와 부딪혔을 때 치명적인 충격하중(impact force)을 가한다. 한편 대형 선박은 속도는 상대적으로 낮지만 큰 질량에 의해 엄청난 운동량을 지니고 있어 역시 다른 물체에 엄청난 충격을 가할 수 있다. 속도는 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 운동량 역시 방향을 가지고 있다.
운동량에는 선형운동량(linear momentum)과 각운동량(angular momentum)으로 세분화 된다. 전자는 물체가 직선 운동을 하는 경우에, 후자는 물체가 공간 상에서 한 점을 중심으로 회전하는 경우에 있어서의 물체 운동량이다. 직선 도로를 일정한 속도로 달리는 자동차는 선형운동량에, 그리고 놀이공원의 회전목마는 각운동량에 해당된다.
만약 일정한 속도로 운동 중인 물체가 외부로부터 힘을 받으면 운동량은 힘을 받는 동안 지속적으로 증가 혹은 감소한다. 외부로부터 받는 힘의 방향이 물체의 운동방향이면 운동량이 증가하고 반대방향인 경우에는 운동량이 감소한다. 운동량이 변한다는 것은 속도가 변하기 때문이고, 이 속도의 변화가 바로 가속도(acceleration)에 해당된다. 따라서 운동량 변화량의 크기와 방향은, 즉 질량과 가속도의 곱은 외부로부터 받은 힘의 크기와 방향과 동일하다. 이것이 잘 알려진 뉴튼(Newton)의 운동 제 2법칙이다.
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외부로부터 힘이나 모멘트를 받는 물체의 내부에 발생하는 응력(stress)은 종종 물체 내 특정한 지점에서 매우 큰 값을 나타내는데, 이러한 현상을 응력집중(stress concentration)이라고 부른다. 이러한 응력집중 현상은 다양한 요인들에 기인하여 발생하는데, 가장 대표적인 요인들은 물체의 특징적인 형상, 물체를 구성하는 재료의 불연속, 점하중(point load)과 같은 특이한 하중 및 구속조건들이다.
특징적인 형상이란 균열(crack)과 같이 물체가 예리하게 두 부분으로 금이 가 있는 선단부나 물체 내부에 구멍이 존재하는 등의 형상의 급격한 변화를 말한다. 특히, 균열 선단부에서는 응력값이 기하급수적으로 증가하기 때문에 그 값을 정확하게 계산하기란 여간 어려운 일이 아니다.
적층 복합재와 같이 서로 다른 재료들로 층을 이루고 있는 물체는 인접한 층과의 경계면에서 재료 물성치(material properties)가 불연속적이다. 그 결과 물체 전체가 동일한 량의 온도 변화나 형상 변화를 겪는다고 하더라도 물성치가 불연속인 부분에서 응력이 집중되곤 한다. 그리고 하중이 매우 좁은 면적에 집중되어 가해지는 일명 점하중이 작용하는 지점에서도 응력이 집중된다.
응력집중계수는 이러한 특징영역에서의 매우 큰 집중응력을 특징적인 상황이 존재하지 않는 물체의 나머지 영역에서의 평균 응력값으로 나눈 상대적인 비로 정의된다.
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유한요소 해석을 위한 모델링(modeling)에는 형상, 요소망(mesh), 재료 물성치(material property) 그리고 경계조건(boundary condition)을 설정하게 된다. 그리고 이러한 제반 작업을 위해서는 기준 좌표계(reference coordinate)가 필요하게 되는데, 보통의 경우에는 하나의 좌표계만 지정하면 된다. 하지만 지정의 정확성과 편의성을 위하여 하나 이상의 좌표계를 필요로 하는 경우도 종종 발생한다.
예를 들어, 형상이나 요소망 생성을 위해 직교 좌표계를 사용하면서, 물체 내부에 존재하는 원형 구멍에 회전 슬라이딩(rotational sliding) 조건을 부여하기 위해 국부적으로 원통 좌표계를 사용할 수도 있다. 이렇게 되면 요구되는 경계조건을 정확하게 그리고 편리하게 지정할 수 있다. 또 다른 예로는 각기 방향이 다른 섬유(fiber)가 삽입되어 있는 복합재(composite material)의 재료 물성치를 지정하기 위해서는 좌표축이 섬유방향과 일치하도록 추가적으로 좌표계를 설정하면 편리하다.
이와 같이 위에서 언급한 제반 작업을 편리하게 그리고 정확하게 처리하기 위해 해석자가 국부적으로 설정한 추가적인 좌표계를 사용자 좌표계라고 부른다. 그리고 이러한 사용자 좌표계 가운데 재료 물성치 부여를 위해 추가적으로 설정한 사용자 좌표계를 재료 좌표계(material coordinate system)라고도 부른다.
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정확한 것과 정확하지 않은 것과의 차이를 통칭하여 오차(error)라고 부른다. 오차를 말하기 위해서는 정확한 것이 명확히 정의되어야 하고, 또한 정확하지 않은 것과의 차이를 정의하는 방법이 결정되어야 한다.
정확한 것의 정의와 정확하지 않은 것과의 차이를 정의하는 방법은 대상과 목적에 따라 각기 다르다. 예를 들어, 양궁 경기에 있어서 정확한 것은 과녁의 중앙 즉, 10점에 해당되는 가운데 영역을 맞히는 것이다. 그리고 정확하지 않은 것은 이 영역을 벗어난 과녁의 나머지 영역을 맞히는 것이다. 이 경우, 오차는 10점과 정확하지 않은 영역에 지정되어 있는 점수와의 차이로 계산된다.
한편, 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 정확한 것은 해당 문제에 대한 이론적인 정해(exact solution)를 의미하며, 정확하지 않은 것은 이론적으로 구한 것이 아닌 수치해석적으로 구한 근사해(approximate solution)를 의미한다. 그리고 오차는 정해와 근사해와의 차이로 일반적으로 좌표 혹은 시간의 함수로 표현된다. 하지만 이것은 개념적인 의미이고 보다 실제적인 의미에서의 오차는 그 차이를 어떻게 정의하는냐에 따라 다양하다.
예를 들어 물체의 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress)을 계산하는 경우를 생각해 보자. 물체 내 최대 변형값의 차이를 오차로 정의할 수도 있고, 최대 응력값의 차이를 오차로 정의할 수도 있다. 전자의 경우는 물체의 최대 변형이 관심이 되는 경우이고 후자는 물체의 강도가 관심이 되는 경우이다. 이처럼 유한요소 해석에서 오차의 정의는 유한요소 해석을 수행하는 목적에 따라 결정된다. 다시 말해 동일한 해석문제에 있어서도 해석의 목적이 달라지면 오차 정의도 그에 따라 달라질 수 있다.
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외부로부터 물체에 힘을 가하여 변형시키면 외력이 한 총 일은 물체의 변형 경로와는 무관하게 최종 변형 상태에만 의존하는 경우가 있다. 다시 말해 물체에 힘을 가하여 초기 상태로부터 일련의 변형 상태를 거쳐 다시 초기상태로 되돌아 오도록 한다면 외부 힘이 한 일은 없다.
이렇게 외력에 의한 일이 경로에 무관하게 되면 포텐셜 함수(potential function)가 존재하게 되고 이 포텐셜 함수의 변화율이 다름아닌 하중에 해당된다. 그리고 이러한 포텐셜 함수가 존재하는 물체의 변형을 가역적(reversible)이라고 부르고 포텐셜 함수의 변화율로 표현되는 힘을 보존력(conservative force)으로 정의한다.
탄성재료(elastic material)의 경우 포텐셜 함수는 물체의 변형에 따라 내부에 축적되는 단위 체적당 변형률 에너지로 불리는 변형률 에너지 밀도(strain energy density)이다. 그리고 탄성재료 중에서 응력(stress)을 변형률 에너지 밀도로부터 유도할 수 있는 재료를 특별히 초탄성 재료로 분류한다.
초탄성 재료의 가장 대표적인 예는 고무로서, 외부로부터 힘을 받으면 내부에 발생하는 저항력인 응력은 고무의 변형에 따라 내부에 축적되는 변형률 에너지 밀도를 이용하여 계산할 수 있다. 다시 말해 변형률 에너지 밀도의 변형률(strain)에 대한 상대적인 변화율이 응력에 해당된다.
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