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수치해석(numerical analysis)은 풀고자 하는 문제의 정확한 해답을 구하는 것이 아니라 근사적인 답을 구하는 기법이다. 따라서 수치해석으로 구한 답은 항상 정답과의 차이 즉, 오차(error)를 수반한다. 일반적으로 이 오차는 수치해석에서 대상 물체가 차지하는 공간상의 영역과 풀고자 하는 시간 영역을 얼마나 조밀하게 쪼개느냐 그리고 근사해를 구하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function)의 차수에 영향을 받는다.
앞의 인자들 중에서 첫번째를 격자크기(mesh size) 그리고 두번째를 시간간격(time step)의 크기라고 부른다. 근사해는 이론적으로 격자크기를 줄이거나 혹은 보간함수 차수를 증가시키면 정답에 가까워 진다. 한편, 시간에 따라서 변하는 물체의 거동을 분석하는 경우에는 이 들 두 인자들 외에 시간간격에 따라서도 오차가 영향을 받는다. 일반적으로 시간간격을 줄이면 오차는 점진적으로 감소한다.
이렇게 수치해석과 연관된 인자들을 변화시킴에 따라 근사해가 정답에 가까워 지는 것을 근사해가 정답에 수렴한다고 말한다. 그리고 인자들의 변화에 따라 오차가 감소하는 기울기를 특별히 수렴률로 정의하고 있다. 수렴률이 높다는 것은 수치해석에 연관된 인자들을 조금만 변화시켜도 오차가 크게 줄어듬을 의미한다.
균일한 요소크기와 보간함수 차수를 적용하는 요소망은 요소 크기와 보감함수의 차수 변화에 대해 선형적인 수렴률을 나타낸다. 하지만 요소망 내에서 오차가 많은 국부 영역의 요소크기와 보간함수의 차수를 변화시키는 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)은 기하급수적인 수렴률을 나타낸다.
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자연계에서 발생하는 현상을 재현하는 방법으로 크게 실험적인 방법과 수치해석(numerical analysis)적인 방법으로 분류할 수 있다. 전자의 경우에는 축소모형과 실험장치를 만들어야 하고 후자의 경우에는 그 현상을 지배하는 수학적인 표현과 관련 조건들을 유도하여야 한다. 이러한 과정을 총칭하여 모델링(modeling)이라고 부른다. 흔히 컴퓨터 화면상에 물체의 형상을 가시화 하는 것을 모델링의 전부라고 생각하는데 이것은 모델링의 단편적인 일부에 해당된다.
모델링 오차라 함은 자연계의 실제 현상과 실험모델 혹은 수학적으로 표현되는 모델 사이의 차이로 정의된다. 예를 들어, 비행중인 항공기 주위의 공기흐름을 재현하기 위해 풍동실험을 하는 경우, 실제상의 무한한 공기 영역을 실험적으로 구현을 할 수 없는 한계를 포함하여 갖가지 제약조건들이 수반된다. 한편 수학적인 표현에 있어서는 공기의 흐름을 지배하는 미분방정식과 조건들을 유도하는 과정에서 갖가지 가정(assumption)과 불확실성이 수반되기 마련이다. 이러한 한계성, 가정 그리고 불확실성 등이 모델링 오차의 원인이 된다.
유한요소 해석에서 흔히 말하는 오차(error)는 위에서 말한 모델을 수치해석적으로 푸는 과정에서 컴퓨터 성능의 한계와 수치해석 기법상의 한계에 기인한 수치해석 오차(numerical error)로서 모델링 오차와 구분되어야 한다. 그리고 가장 중요한 사항은 엄밀한 의미에서 오차는 모델링 오차와 수치해석 오차를 합한 값이라는 점이다. 또한 수치해석의 궁극적인 목표는 수치해석 오차만을 최소화 시키는 것이 아니라 실제 자연 현상을 얼마나 정확하게 재현하느냐에 초점이 맞혀져야 한다. 다시 말해, 수치해석 오차뿐만 아니라 모델링 오차도 동일하게 최소화 되어야 한다는 말이다.
아무리 좋은 컴퓨터와 소프트웨어를 사용하여 유한요소 해석을 수행하더라도 수치해석을 위한 모델이 적합하지 않으면 실제 자연현상과는 전형 다른 엉뚱한 문제를 푸는 것에 불과하기 때문이다.
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돌을 세게 던지면 보다 멀리 날아간다는 사실은 누구나 익히 알고 있는 사실이다. 그리고 일정한 질량을 가지고 있는 돌을 던졌을 때 날아가는 거리를 계산하기 위해서는 돌의 운동을 표현하는 운동방정식을 풀어야 한다.
물체의 운동방정식은 물체의 공간상의 위치에 대한 2차 시간 미분으로 표현되며, 시간에 대해 2번 적분해야 한다. 수학적인 정의로부터 2차 미분방정식을 2번 적분하게 되면 2개의 적분상수가 나오게 되며, 이 적분상수를 결정하여야 하나의 해답을 구할 수 있다.
이 경우, 적분상수를 결정하기 위해 사용되는 조건이 바로 초기조건에 해당된다. 위 문제의 경우, 2개의 초기조건은 각각 돌의 초기위치와 초기속도가 된다. 일반적으로 n차 미분방정식인 경우 초기조건은 n개가 되며 (n-1)차 미분까지 변수들의 초기 시점에서의 값으로 정의된다.
참고로 이와 같이 물체의 거동이 시간에 따라 변화하고 초기조건에 의해 하나의 해답이 결정되는 문제를 초기치 문제(initial value problem)라고 부른다. 초기치 문제와 구분되는 문제로 경계치 문제(boundary value problem)가 있으며, 이 문제의 해답은 물체 경계(boundary)에서의 경계조건(boundary condition)이라 불리는 구속조건에 의해 결정된다.
그리고 물체의 거동이 시간과 공간 좌표 모두에 의해 표현되며, 초기 및 경계조건에 의해 하나의 해답이 결정되는 문제를 초기치-경계치 문제(initial and boundary value problem)라고 부르며, 거의 대부분의 동해석(dynamic analysis) 문제들은 이 유형에 속한다.
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고무와 같은 재료는 조그마한 하중에도 매우 큰 변형을 나타낸다. 따라서 고무와 같은 재료의 구조적 상실을 판단하기 위해서는 응력(stress)이 아닌 변형률(strain)이 주로 사용된다. 특히, 반복하중을 받는 고무제품의 피로에 의한 구조적 파괴를 예측하기 위해서는 응력을 기준으로 한 S-N 선도(S-N diagram)가 아닌 변형률을 기준으로 한 실험 데이터인 E-N 선도가 사용된다.
한편, 변형률도 응력과 같이 공간상에서 설정한 좌표축에 따라 성분을 가지기 때문에 물체내 한 지점에서의 변형률의 절대적인 크기를 계산하기 위한 잣대가 필요하다. 등가 변형률(equivalent strain)은 이러한 목적으로 정의된 물리량으로써 등가응력(effective stress, 혹은 폰 미제스 응력(von-Mises stress)) 과 짝을 이루는 량이다.
E-N 선도란 고무와 같이 극심한 대변형을 나타내는 재료의 피로수명(fatigue life)을 나타내는 선도로써, 해당 재료의 시편을 이용하여 실험적으로 구한 등가 변형률 대 피로수명 회수를 평가하기 위한 선도이다. 한편, S-N 선도를 이용하든지 아니면 E-N 선도를 이용하든지 간에 피로해석(fatigue analysis)의 방법과 절차는 동일하다.
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자유도는 모든 분야에서 광범위하게 사용되는 용어이기 때문에 어떤 특정한 분야에 한정하여 이 용어를 일률적으로 정의할 수는 없다. 다만 이 용어의 개략적인 의미는 ‘주어진 대상(집단)의 특정한 특성을 완전히 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 선택의 개수’ 정도이다.
예를 들어 열 명의 사람들 중에서 현재 네 명은 주말에 스케줄이 잡혀있는 반면 나머지 여섯 명은 스케줄이 잡혀있지 않다고 생각하자. 그러면 열 명을 주어진 대상으로 생각하고 스케줄을 특성이라고 한정할 때, 이 집단의 주말 스케줄에 대한 자유도는 6이 된다. 하지만 몇 일이 지나 추가로 두 명의 스케줄이 정해졌다면 자유도는 4로 줄어든다.
다른 예를 들면, 비행 중인 항공기의 위치는 위도, 경도 그리고 고도에 의하여 결정된다. 이 경우 한 대의 항공기는 주어진 대상에 해당되고 그 위치는 특성에 해당된다. 그리고 이 특성을 결정하기 위해 필요한 최소한의 독립적인 변수는 세 개이므로 자유도는 3이 된다. 이처럼 자유도는 대상과 그 대상의 특성이 무엇인가에 따라 달라진다. 만약 항공기의 위치뿐만 아니라 비행 자세까지도 특성에 포함시키면 자유도는 6으로 늘어난다. 왜냐하면 이 특성은 항공기 특정 부위의 위도, 경도 및 고도상의 위치뿐만 아니라, 특정 부위를 중심으로 한 세 축 방향으로의 항공기의 회전 각도에 의하여 완전히 결정되기 때문이다.
Ax=b라는 행렬식에 있어서 A행렬이 NxN의 크기라면 x는 N개의 자유도를 가진다. 하지만 만약 이 행렬방정식이 두 개의 구속조건을 가진다면 x는 N-2개의 자유도를 가지게 된다. 왜냐하면 N개의 미지수 중에서 두 개는 나머지 미지수들과의 구속 관계에 의해 자동적으로 결정되기 때문이다.
마지막 예로는 로봇과 인체 골격의 동작상태이다. 로봇은 유한개의 관절과 구동 모터로 구성되어 있기 때문에 로봇 전체의 동작은 유한개의 자유도로 표현된다. 반면 인체는 자유자재로 움직일 수 있기 때문에 무한대의 자유도를 가진다.
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물체의 운동을 저지시키려는 단위 속도당의 힘으로 정의되는 감쇠의 크기, 즉 감쇠계수(damping coefficient)를 해당 물체의 임계감쇠(critical damping)로 나눈 상대적인 비를 감쇠비로 정의하고 있다. 임계감쇠는 그 물체가 외부로부터 외란을 받았을 때 진동을 전혀 일으키지 않고 곧바로 정지상태로 진동을 억지시킬 수 있는 감쇠의 크기로 정의된다. 따라서, 부품이나 조립품의 감쇠비가 1이나 그 이상이 되면 외부로부터 외란을 받더라도 전혀 진동을 일으키지 않고 정지상태로 안정화 된다.
감쇠비가 1인 경우를 임계감쇠 그리고 1이상인 경우를 과도감쇠라고 부른다. 그리고 감쇠비가 1보다 작은 경우를 과소감쇠라고 하고, 실제 대부분의 감쇠 진동은 과소감쇠에 해당된다. 과소감쇠의 경우에는 물체가 진동하는 폭이 시간과 더불어 점진적으로 감소하여 진동이 소멸된다. 건물이나 기계부품과 같은 대부분의 물체의 감쇠비는 0.05 이하의 값이며, 자동차 완충기와 같은 감쇠장치라 하더라도 0.3 정도의 감쇠비를 나타낸다.
컴퓨터를 이용하여 어떠한 프로그램을 실행하다 보면 오류 메시지를 경험하게 된다. 그리고 일단 오류 메시지가 발생하게 되면 프로그램은 중단되어 수행하던 작업은 실패로 끝나고 만다. 오류(error)와 유사한 메시지로 경고(warning)가 발생하는 경우도 있는데, 오류메시지와는 달리 프로그램은 중단되지 않고 수행하던 작업은 성공적으로 마무리 된다.
오류는 컴퓨터 상에서 각종 논리(logic) 혹은 계산(calculation)과정에서 연산이 불가능한 상태가 발생하였을 때 프로그램이 내보내는 메시지이다. 하지만, 경고는 연산작업에는 아무런 이상이 없지만 원하는 해답을 구하는데 있어 예상되는 문제점을 지적해 주는 메시지이다.
경고 메시지는 프로그램을 만드는 과정에서 프로그램에 적용된 각종 이론들이나 경험을 토대로 준비된 메시지이기 때문에 때로는 무시하여도 무방하다. 왜냐하면 프로그램을 작성할 당시에는 문제시 되었던 사항들이 최근에 와서는 문제가 되지 않는 경우들이 연구결과를 통해 밝혀지기도 하기 때문이다.
유한요소해석(finite element analysis)에 있어 한 예로 요소의 뒤틀림이 심하면 오류 메시지를 경험하게 되고 프로그램은 중단하게 된다. 하지만 요소의 형상 종횡비(geometry aspect ratio)가 일정한 값을 초과할 경우에 경고 메시지가 발생하지만 해석수행에는 큰 문제가 되지 않는다. 더구나 최근의 연구결과에 따르면 형상종횡비가 커지게 되면 오차(error)는 다소 증가하지만 해의 특이성(singularity)을 보다 정확하게 계산할 수 있다는 사실이 밝혀졌다. 오류 메시지가 발생하면 반드시 이 오류를 해결하여야 하지만, 경고 메시지에 대해서는 꼼꼼히 따져보고 반드시 해결해야 할 것들과 무시해도 될 것들을 구분할 수 있어야 한다.
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고무, 중합체(polymer) 그리고 인체의 조직(tissue) 등은 하중을 받아 변형하게 되면 내부에 축적되는 변형률 에너지(strain energy)는 이동경로와 무관한 특성은 나타낸다. 그 결과 변형률 에너지는 포텐셜 함수(potential function)로 표현이 가능하며, 이러한 재질을 초탄성체(hyperelastic material)로 불린다. 초탄성체의 변형률에 대한 응력의 변화, 즉 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)는 현저한 비선형성(nonlinearity)을 나타내기 때문에 수학적인 표현을 위해 많은 연구가 진행되었다.
지금까지 소개된 많은 표현식들 중에서 Ogden모델, 문리-리브린 모델(Moonley-Rivlin model), Neo-Hookean 모델, 그리고 Yeoh 모델이 많이 사용되고 있다. 이들은 공통적으로 변형률 에너지 밀도 함수로 재료의 거동을 표현하고 있지만, 수학적인 표현식과 이 표현식 속에 포함되어 있는 계수들은 각기 다르다. 문리-리브린 모델은 주 변형률(principal strain)을 매개변수로 하며 문리-리브린 상수를 도입하며 다항식으로 표현되는 반면, Ogden 모델은 주 신장률(principal stretch)을 매개변수로 하며 두 종류의 Ogden 상수들을 도입하여 다항식으로 표현된다.
문리-리브린의 경우에는 다항식의 차수가 정수인 반면, Ogden모델에서는 보다 포괄적인 실수 형태이다. 일반적으로 Ogden 모델이 초탄성체의 재료 거동을 보다 정확하게 표현한다고 알려져 있다. 한편, 문리-리브린과 Neo-Hookean 모델은 Ogden 모델의 특수한 경우에 해당된다.
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