유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 작은 영역들로 나누는 요소망 생성 작업(즉, meshing 작업)은 크게 프로그램이 자동으로 처리하는 방식과 해석자가 직접 처리하는 방식으로 나뉩니다. 전자에 의해 생성된 요소망을 자동 요소망(auto mesh) 그리고 후자에 의해 생성된 요소망을 수동 요소망(manual mesh)이라고 부릅니다.
자동 요소망은 해석자가 요소망 생성을 위해 필요한 기본적인 사항만 입력하면 되는 반면, 수동 요소망은 해석자가 요소 분할 개수, 분할 간격 등의 모든 사항들을 일일이 입력해야 합니다. 수동 요소망의 장점은 형상종횡비(aspect ratio)가 크거나 과도하게 찌그러진 요소(distorted element)를 방지할 수 있어 보다 정확한 해석결과를 얻을 수 있다는 점입니다.
그리고 물체가 특이성(singularity)을 나타내는 국부적인 영역에 크기가 보다 작은 요소를 가지는 편향 요소망(gradient mesh)을 쉽게 생성할 수도 있는 장점을 지니고 있습니다. 하지만 수동 요소망은 형상이 간단한 경우에만 적용이 가능하기 때문에 매우 제한적인 단점을 지니고 있습니다. 한편, 하나의 물체에 대한 요소망을 생성하기 위해서 자동 요소망과 수동 요소망을 혼합할 수도 있습니다. 이 경우, 특별히 신경을 써야 하는 국부영역에는 수동 요소망을 적용하고 나머지 부분에는 자동 요소망을 적용하는 것이 효과적입니다.
물체의 형상이 복잡한 경우, 해석자가 직접 요소망을 생성하는 것은 엄청난 시간과 노력이 요구되기 때문에 비현실적 일뿐더러 대부분의 경우 구현이 불가능합니다. 따라서 실무에 있어 대부분의 유한요소 해석은 자동 요소망을 채택하고 있습니다. 하나의 요소망은 물체의 외곽에서부터 내부로 요소를 채워나가는 방식으로 생성됩니다.
그리고 최근 요소망 생성기법의 발달로 형상종횡비나 찌그러짐으로 문제가 되는 경우는 거의 없을뿐더러, 해석자가 임의로 요소망 밀도(mesh density, 혹은 요소 크기)를 조절할 수도 있고 또한 국부적으로 요소망을 조밀하게 생성할 수도 있습니다. 하지만 해석자가 간과해서는 안될 사항은 해석결과의 신뢰성은 요소망의 품질과 직결된다는 점과 해석하고자 하는 문제에 대해 어떠한 요소망이 최적인지를 판별할 수 있는 능력을 갖추고 있어야 한다는 점입니다.
1. 요소의 변위 결과 기준
유한요소법에서는 요소가 조밀해 질수록 (요소의 크기가 줄어들어 요소수가 증가할수록) 결과 정확도가 향상됩니다. 단, 요소망이 조밀할수록 결과의 정확도가 향상되는 것은 사실이지만 무한대로 증가되지 않고 특정 값에 수렴하는 경향을 보입니다.
임의 자연현상을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 시뮬레이션을 통하여 해답을 구하게 되면 이 해답은 정답이 아니라 근사해(approximate solution)이다. 따라서 반드시 정답과의 차이, 즉 오차(error)가 발생하게 됩니다.
대부분의 경우, 목표로 하는 정확도를 가지는 근사해를 구하기 위해 필요한 요소의 개수나 기저함수(basis function)의 차수는 해석결과를 구하기 전에는 알 수 없습니다. 따라서 해석을 수행하기 전에 문제영역 전체를 동일한 보간함수 차수를 가진 유한요소들로 균일하게 세분화 합니다. 그런 다음 필요에 따라 오차평가(error estimate)를 수행하고 이 오차정보에 따라 필요한 영역에 유한요소 개수를 증가시키거나 기저함수의 차수를 높이게 됩니다.
이렇게 근사해의 정확도를 향상시키기 위하여 유한요소의 개수를 증가시키는 것을 요소망 세밀화라고 부릅니다. 요소망 세밀화(mesh refinement)는 문제 영역 전체에 걸쳐 수행할 수도 있고, 오차가 높은 국부 영역에만 한정하여 수행할 수도 있습니다. 하지만 효율성 측면에서 후자의 방식이 일반적으로 사용되고 있습니다. 다른 한편, 초기 적용한 요소망이 너무 조밀하여 유한요소의 개수를 감소시키는 경우도 있는데, 이러한 경우를 요소망 비세밀화(mesh unrefinement)라고 부릅니다.
<요소크기에 따른 해석시간과 결과의 정확성 비교>
B지점은 A지점에 비해 요소의 수가 많지만 결과의 정확도는 크게 증가 되지 않습니다. 해석시간은 약 2배 정도 더 소요된다. 엔지니어 입장에서 B 지점보다 A지점이 유용하지만 A점의 상태를 찾기란 매우 어렵습니다. 요소망의 조밀도를 높인다는 것은 근사해의 정확도를 향상시키기 위해 요소의 개수를 증가시키는 것과 같습니다. 요소망의 조밀도는 해석 결과의 정확도와 해석의 경제성을 모두 고려하여 선택합니다.
요소망이 조밀해질수록 해석 결과의 정확도는 향상되지만, (절점/요소의 증가로 인해) 해석 시간이 증가하는 단점이 있어 양날의 검과 같습니다. 유한요소 모델링을 수행할 경우 형상의 변화가 심한 부분, 응력 집중이 예상되는 부분과 재질 및 하중이 변하는 부분에는 보다 조밀한 요소망을 작성합니다.
그리고 결과가 중요하지 않은 부분, 기하 형상의 변화가 거의 없는 부분에는 상대적으로 큰 요소를 사용하여 해석시간이 불필요하게 증가되는 것을 예방해야 합니다. 또한 인접한 요소간의 크기 차이가 지나치게 크지 않도록 해야 합니다. 가급적 요소 크기가 선형으로 매끄럽게 변할 수 있도록 요소망을 작성합니다.
다음의 그림은 요소망의 조밀도 차이에 따른 해석 결과를 비교한 것입니다. 동일 모델, 하중 조건, 경계 조건, 재질을 이용한 선형 정적 해석 실행시 요소망 크기에 따른 변형량과 그때의 응력을 나타내었습니다. 요소망의 크기가 줄어들 경우 변형량의 차이도 줄어드는 반면 응력의 크기는 선형적으로 줄어드는 경향을 보입니다. 적절한 요소의 크기에 대한 기준은 요소망 조밀도에 따른 변형량 차이의 범위를 바탕으로 산출하게 되면 찾을 수 있습니다.
<요소 개수에 따른 변형량과 응력 비교>
<요소 개수에 따른 최대 변형>
<요소 개수에 따른 최대 응력>
2. 요소의 수렴 오차 기준
해석 실행 후 결과확인 시에 그 결과값에 대해 많은 의문이 드는 것이 사실입니다. 해석에 경험이 없는 설계자를 비롯하여 해석 경험이 많은 해석자도 이 부분에 대해 스스로 도출한 결과값에 대해 신뢰성을 판단하기에는 어려운 점이 있습니다. 이 경우에는 해석 S/W에서 제공하는 요소망 수렴오차(mesh convergence error)를 기준으로 해석 모델에 대한 신뢰성을 검증하는 방법이 있습니다. 요소망 수렴오차는 절점평균응력과 요소응력의 차이를 기준으로 다음과 같이 계산됩니다. 오차를 줄이기 위해서는 문제 영역을 세분화 시킨 유한요소(finite element)의 개수를 증가시키거나 보간함수(interpolation function)의 차수를 증가시켜야 합니다. 해가 특이성(singularity)을 나타내는 영역에는 전자가 효과적이며, 그렇지 않고 해가 완만한 변화를 보이는 영역에는 후자가 효과적인 것으로 알려져 있습니다.
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