랜덤응답해석 (Random Response Analysis)
랜덤 진동은 시간에 따른 진동의 특성이 진동수나 혹은 시간의 표현할 수 없는 불규칙하게 나타나는 경우를 말합니다. 랜덤 하중을 받는 물체는 각 시간대 별로 진동의 진폭이 서로 독립적이기 때문에 시간에 따라 매우 복잡한 응답을 나타내며, 확률과 통계적인 특성값을 통해서 설명됩니다.
대표적인 랜덤 하중으로는 공기 중을 날고 있는 비행기, 도로를 달리는 자동차, 파도가 치는 배, 그리고 지진의 영향을 받고 있는 건물 등이 있습니다. 랜덤 응답 문제는 해석의 목적이나 입력 형태에 따라 2가지 관점에서 접근할 수 있습니다. 하나는 시간 이력이며, 다른 하나는 파워 스펙트럼 밀도(PSD, Power Spectral Density)입니다.
실제 응답을 결정하기 위해 과도 해석에서 동적 시스템에 시간 이력을 적용하는 것이 가능하지만, 이 방법은 지속 시간과 최고값 계산에 필요한 시간 스텝으로 인해 해석이 매우 소모적일 수 있기 때문에 랜덤 하중을 다양한 진동수에 대해 스펙트럼으로 근사화하여 입력하는 것이 더 효율적입니다.
스펙트럼 밀도 곡선은 변위나 속도, 가속도로 표현될 수 있지만, 일반적으로 사용되는 형식은 파워 스펙트럼 밀도 곡선입니다. PSD 곡선은 가진 또는 응답값(변위, 속도, 가속도 등)의 제곱을 진동수로 나눈 값이며, PSD 곡선의 아래 면적은 단위 시간당 평균 파워를 나타냅니다. 랜덤 응답해석은 주파수 응답해석의 결과를 후처리하는 과정입니다. 입력에 대한 출력의 비율인 전달 함수(Transfer Function)를 단위 하중 조건에 대한 주파수 응답으로서 계산하고 여기에 가진원의 파워 스펙트럼 밀도를 곱하여 응답의 파워 스펙트럼 밀도를 얻습니다.
하중 조건이 여러 개인 경우에는 이들의 주파수 응답을 공통의 주파수 영역에서 동시에 해석합니다. 주파수 응답 해석에 사용되는 각각의 하중은 서로 구별되는 랜덤 가진원을 나타내며, 여러 절점 또는 요소에 작용할 수 있습니다. 랜덤 응답해석의 결과는 항상 양수(+)이며, 관심 진동수에서 최고값을 나타냅니다. 랜덤 응답해석의 주요 결과로는 응답의 파워 스펙트럼 밀도 외에 RMS(Root Mean Square)와 제로크로싱(Number of Positive Zero Crossing)이 있습니다
<시간에 따라 측정된 랜덤 하중>
<파워 스펙트럼 밀도 함수>
랜덤응답해석은 경계조건을 결정하고 적용하는 방법에 있어서 주파수 응답 해석과 유사하다.
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· 파워 스펙트럼 밀도 함수가 적용이 되는 경우 응답이 어떤 범위 내에서 발생할 것인가를 예측하는 확률적 해석입니다.
<랜덤응답해석의 예>
☑️ 지배 방정식
랜덤응답해석의 해석방법에는 직접법(Direct Integration Method)과 모드법(Modal Superposition Method), 두 가지가 있습니다.
(1) 직접법(Direct Intergration Method)
직접 랜덤 응답해석은 구조물의 운동 방정식을 결과를 얻기 원하는 주파수 대역에서 직접 수치적 복소수연산을 하여 해를 얻습니다.
(2) 모드법(Mode Superposition Method)
일반적으로 고유 모드형상의 선형조합으로 구조물의 변형 형상을 표현할 수 있습니다. 이러한 방법으로 구조물의 운동 방정식을 직접 수치 적분하지 않고, 모드형상의 조합으로 근사적인 주파수응답 결과를 계산하는 방식이 모드 중첩법입니다.
모드 랜덤 응답해석을 수행하면 내부적으로 모드해석을 수행하여 랜덤 응답해석에 필요한 모드형상을 계산하므로 별도의 모드해석을 수행할 필요는 없습니다. 전체 모드를 해석에 사용하면 가장 정확한 해석결과를 얻을 수 있지만 효율적인 해석에는 적합하지 않습니다. 일반적으로 일정 진동수 범위를 벗어난 모드형상은 해석결과에 큰 영향을 주지 않으면서 해석시간만 증가시킵니다. 그러므로 해석에 사용되는 진동수의 범위를 지정하는 것이 권장됩니다.
적용할 진동수 범위의 결정은 많은 해석을 통한 경험이 바탕이 되어야 하지만, 최소한 하중 작동 주파수의 1/2배에서 2배에 이르는 크기의 모든 진동수(모드)들을 사용하는 것이 권장되며, 경우에 따라서는 1/3배에서 3배에 달하는 범위를 사용하기도 합니다. 해석결과가 좋지 않은 경우에는 사용할 진동수의 범위를 늘리면서 해석을 반복적으로 수행합니다
☑️ 직접법과 모드법의 비교
일반적으로 직접법이 모드법에 비해 해석 시간이 깁니다. 그러므로 많은 수의 시간스텝이 필요하거나, 모델의 규모가 큰 경우에는 모드법을 이용하는 것이 효과적입니다. 해석 하중의 주파수 근처에서 많은 고유진동수가 계산되는 경우(예로, 고주파 가진과 같이 활동 진동수가 많은 문제들)에는 직접법을 이용하는 것이 보다 정확한 결과를 얻을 수 있습니다.
☑️ 하중조건
랜덤 응답해석은 주파수 응답해석의 결과를 후처리하는 과정입니다. 먼저 입력에 대한 출력의 비율인 전달 함수(Transfer Function)를 단위 하중 조건에 대한 주파수 응답으로서 계산하고 여기에 가진 원의 파워 스펙트럼 밀도를 곱하여 응답의 파워 스펙트럼 밀도를 얻습니다.
하중 조건이 여러 개이면 이들의 주파수 응답을 공통의 주파수 영역에서 동시에 해석합니다. 주파수 응답 해석에 사용되는 각각의 하중은 서로 구별되는 랜덤 가진원을 나타내며 여러 절점 또는 요소에 작용할 수 있습니다.
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