1. 열유체 문제 해석의 시작
인간이 사물의 현상을 파악하고, 이를 분석하고자 하는 노력은 인류의 역사와 더불어 잠시도 멈춘 적이 없다. 그러나 이러한 인류의 욕구를 폭발적으로 충족시키면서 이루어진 문명의 발전으로 인류의 생활을 혁명적으로 바꾼 시기는 18세기에부터 시작된 산업혁명이 아닌가 생각된다.
특히, 물리학의 기초가 되는 역학의 체계적인 접근이 이 시기에 집중적으로 이루어졌으며, 많은 과학자에 의해 이를 기계장치 개발 등에 적용하면서 인류의 문명을 획기적으로 발전시켰다.
이전의 과학이 주로 논리와 숫자 분석 등을 중심으로 이루어졌다면 산업혁명을 통해 물체에 작용하는 힘과 물체운동의 관계를 정립하는 역학 중심으로 이루어지면서 많은 새로운 기계 등이 발명되고 발전되는 계기가 되었다. 이러한 역학들은 이후의 많은 과학자에 의해 다양한 형태로 정립되어 왔으며, 급기야는 역학해석이 가장 어렵다는 유체역학 분야로까지 발전하게 되었다.
고체로 이루어진 물체는 외력에 의해 자체 운동 및 내력을 유발시키는데, 이를 뉴톤의 기본법칙에 기초하여 물체 중심의 관점에서 라그랑지언(Lagrangian) 접근법으로 역학을 해석하는 기법이다.
그러나, 유체역학은 고체역학과 달리 해석대상이 흐르기 때문에 기존의 라그랑지언 접근법으로 해석하기에는 너무 어렵고 복잡하기 때문에, 18세기의 유명한 수학자인 오일러가 제안한 관찰할 지점은 고정해 놓고, 그곳을 지나는 유체에 대해 질량, 운동량, 에너지 보존을 해석하는, 즉 오일러 관점을 이용한다.
따라서, 오일러 관점을 이용하여 기존의 보존 법칙들을 다시 전개하게 되고, 기본이 되는 에너지 보존법칙들이 연속방정식, 나비에-스토크스 (Navier-Stokes) 방정식, 에너지 방정식 등으로 구체화되어서 나타나게 된다
2. 유체역학의 해석적 어려움
나비에-스토크스(Navier-Stokes) 방정식은 운동량 보존의 법칙을 오일러 관점으로 유체에 적용하면서 나타나는 것으로서, 프랑스 물리학자 클로드-루이 나비에와 영국 수학자 조지 스토크스가 뉴턴의 운동 제2법칙을 유체역학에서 사용하기 쉽게 운동량을 기준으로 세운 보존식이다.
따라서, 물리학적 관점으로 보면 단순히 유체에 작용하는 모든 운동량 전달을 나열해 놓은 것으로 그렇게 어렵지 않다. 즉, 유체에 전달되는 운동량은 유체의 흐름에 의한 대류 전달, 유체 또는 관 벽면의 입자 간 전달(전단 응력)(shear stress), 압력에 의한 전달, 중력에 의한 전달(유체의 무게)로 이루어져 있고, 각 항의 벡터식을 좌표계에 맞게 쪼갠 것뿐이다.
그러나, 문제는 이 방정식이 지금까지 알려진 것 중에 (해석적인) 해를 구하기 가장 어려운 비선형 편미분방정식 중 하나라는 것이다.
여기서, u는 유체의 속도, g는 중력가속도, ρ는 밀도, p는 압력, τ는 전단응력계수, I는 단위행렬,
는 텐서곱을 나타낸다. 이 방정식을 해석적으로 풀기 어렵게 만드는 주 요인은 위의 방정식에서 좌변의 두 번째 항
때문이며, 유체의 흐름에 의한 대류 전달을 표현하고 있는 것으로서 대표적인 비선형 항이다.
수학적인 관점에서 보면, 이 방정식이 3차원(또는 시간을 포함한 4차원 시공간) 상에 해가 항상 존재하는지, 존재한다면 해를 어떻게 구하는지, 특이점은 없는지, 매끄러운지 등이 아직 증명되지 않았다. 결국, 이 방정식의 일반 해를 구할 수 있는가 없는가는 밀레니엄 문제로 아직까지도 증명되지 않고 있다.
그러나, 이 방정식은 공학 및 물리학의 수많은 물리현상을 해석하는 문제에서 나타났으며, 이 방정식의 해를 구하고자 하는 노력이 그동안 꾸준히 이루어져 왔다. 특히 유체를 사용하는 기계장치를 설계하고 문제점을 분석해야 하는 공학분야에서는 실험과 병행하여 해석적으로 접근하는 경우에 이 방정식의 해를 구하는 것이 절실했다.
따라서, 이러한 노력의 일환 가운데 전산유체역학이 방정식의 해를 구하는 대안으로 떠오르는 계기가 되었다.
3. 열유체 수치해석이 왜 필요한가?
이 나비에-스토크스 (Navier-Stokes)방정식은 1820년대에 만들어졌으나 이의 해법을 추구하는 과정은 그동안 매우 험난했다.
1970년대 들어, 컴퓨터 산업의 눈부신 발전에 힘입어, 컴퓨터에 의한 유체역학(CFD: Computational Fluid Dynamics)의 해석이 시작되었고, Flow Solver라고 불리는 유동해석 기법은 유한차분법(Finite Difference Method), 유한요소법(Finite Element Method) 그리고 유한체적법(Finite Volume Method) 중에서 한 가지 방법을 선택하게 되었다.
이것에 의해 Navier Stokes 방정식을 풀게 된 것은 1980년대이며, Navier-Stokes 방정식에 대한 수치해석은 이전에 알 수 없었던 많은 유동 현상을 이해할 수 있게 했고, 물체의 기하학적 형상이나 유동의 매개변수 영향을 빠른 시간 내에 분석할 수 있게 함으로써 컴퓨터를 사용하여 공학적 설계를 용이하게 하였다.
전산열유체 수치해석에 대한 접근도 초기에는 스킴이나 알고리듬 등 계산기법의 연구개발이 중심을 이루었으나, 오늘날에는 상용 소프트웨어를 포함하여 이미 검증된 기법을 어떤 대상에 어떻게 사용하는 것이 유익한 결과를 도출할 수 있는 가에 대한 연구가 주류를 이루고 있다.
많은 공학적 응용분야의 요구에 따라 소수의 공학자들은 Navier-Stokes방정식의 수치해석을 위한 컴퓨터 프로그램을 개발하여 상용화하였고, 결과적으로 많은 분야에서 시간적, 경제적 그리고 기술적 파급 효과를 거두게 되었다.
이러한 상용 코드들은 위에서 언급한 유동 해석 기법을 이용하는 과정에서 크게 유한차분법을 사용하는 것과, 유한요소법을 사용하는 상용코드 그리고 유한체적법을 사용하는 것으로 분류할 수 있으며, 현재로서는 유동해석에 유한체적법을 이용하는 경우가 상당수를 차지하고 있다.
과거 열 및 유체운동에 대한 해석을 실험에 기초한 방법밖에 없던 것을 컴퓨터의 발달과 수치해석 기법 및 상용코드의 발달로 단시간에 효과적으로 수치해석으로 재현함으로써 시간적, 비용적으로 많은 절감을 가져오게 되었다.
유동해석의 영역이 날로 발달하여, 비압축성 및 압축성 유체의 유동해석, 단상 및 다상유동(Single/Multi Phase)해석, 유체 및 고체의 열전달해석, 물질확산해석, 자유수면 해석, 이질물질 간의 상호작용해석(유체유체, 고체-고체, 유체-고체) 등으로 다양한 종류의 해석을 할 수 있게 되었다.
응용분야로서는 날씨, 해류의 유체흐름 등 자연계에 존재하는 대부분의 흐름을 해석할 수 있으며, 동시에 항공기나 자동차 또는 선박의 설계, 혈관 내의 혈류, 오염물질의 확산, 구조물의 내풍설계 등의 분야에 적용되고 있다.
4. 열유체분야 해석적 접근법
열유체분야의 수치해석은 일반적으로 열전도 방정식에 기초한 에너지 보존식과 운동량 보존식인 Navier-Stokes 방정식 그리고 질량 보존식인 연속방정식을 이산화하여 동시에 풀기 때문에 유한체적법을 가장 많이 사용한다.
운동량 및 질량보존의 법칙을 만족하기 용이하도록 미분방정식을 격자점을 중심으로 한 미소 영역 즉, 검사체적(Control Volume)내에서 방정식을 적분한 후 이산화하기 때문에 항상 검사체적 내의 보존법칙을 잘 만족시킬 수 있으며, 물리적인 의미가 비교적 확실하여 많은 연구자가 사용하고 있다. 따라서, 열유체분야의 수치해석시 이러한 장점을 잘 살리 수 있도록 격자를 구성하고, 여러 가지 조건을 부여하는 것이 매우 중요하다고 하겠다.
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