1. 소개
다자유진동계(Multi-Degree-of-Freedom System)는 독자적으로 움직일 수 있는 물체가 여러 개 있다는 것을 의미한다. 진동하는 구조물을 해석할 때 좀 더 정확하게 예측하고자 한다면 당연히 다자유도계로 모델링 하게 된다. 그러나 다자유도계가 되면 수학을 이용한 해석적인 방법을 적용하기가 어려워진다.
다자유도계의 진동을 해석하기 위해서는 선형대수학에서 소개하는 행렬의 사용이 필수적이다. 먼저 2자유도계로 시작해보자.그리고 일자유도계에 대한 해석과 마찬가지로 비감쇠 자유진동, 감쇠 자유진동, 조화 기진력에 대한 강제 진동, 일반 기진력에 대한 강제진동의 순으로 해석을 진행한다.
다음 그림과 같이 2자유도 스프링-질량-감쇠계를 고려해보자. 그리고 각 질량에 외부 기진력, F1과 F2가 작용 한다고 가정해보자.
Fig. 1. Two DOF Systems with Forces
그러면 이 시스템에 대한 운동 방정식이 다음과 같이 유도된다.
여기서 M, C, K는 질량, 감쇠, 강성 행렬로 불린다. 그리고 x = [ x1 x2 ]^T 이고 F = [ F1 F2 ]^T이다.
그리고 일자유도 진동계와 달리 행렬과 벡터로 이루어져 있으며 각 질량의 변위가 연성된 운동 방정식임을 알 수 있다. 일자유진동계의 운동 방정식과 비교해보면 행렬식으로 바뀌었을 뿐 2차의 선형 상미분방정식 형태와 동일함을 알 수 있다.
2. 자유진동과 고유치 문제
식 (1)에 대해 처음 수행하는 작업은 일자유도 진동계일 때와 동일한다. 즉 비감쇠 자유진동문제를 첫 번째로 풀게 된다. 이 경우 운동방정식은 다음과 같이 표현된다
일자유도 진동계에 대한 경험을 바탕으로 식 (3)의 일반해를 다음과 같이 설정할 수 있다.
식 (4)를 식 (3)에 대입하면 다음과 같은 식이 유도된다.
e^iωt는 0이 되면 안 되기 때문에 다음과 같은 식이 만족 되어야 한다.
여기서 λ = ω2 이다. 식 (6)은 선형대수학에서 고유치 문제 (Eigenvalue Problem)로 불린다. 이전에는 고유치 문제의 모든 해를 구할 수 있는 경우가 2자유도 진동계에 국한되었고, 3자유도가 넘는 진동계의 경우에 대해서는 근사적인 방법을 사용했다.
그러나 Julia 에서는 아주 쉽게 그 해를 구할 수 있다. 간단한 예로 m1=m2=1 kg, k1=k2=k3=1 N/m라고 하자. 그러면 질량행렬과 강성 행렬이 다음과 같이 얻어진다
이 경우에 대한 고유치 해석 Julia 프로그램은 다음과 같다.
그러면 다음과 같은 결과가 출력된다.
이로부터 우리는 고유 진동수와 고유 벡터가 다음과 같이 됨을 알 수 있다.
첫 번째 고유진동모드는 두 질량이 동일한 진폭으로 같이 움직이고, 두 번째 고유진동모드는 동일한 진폭으로 서로 반대로 움직이는 것을 알 수 있다. 이와 같이 M, K 를 결정하면 다자유도 진동계의 고유진동수와 고유벡터를 Julia를 이용해 쉽게 구할 수 있다.
일자유도 진동계에 대해서 자유진동 문제를 해석하고 난 후에는 자유진동 응답을 유도하는 과정을 다루었다. 그러면 다자유도 진동계, 예를 들어 2자유도 진동계가 다음과 같은 초기 조건, x1(0)= x10, ẋ1(0)= v10, x2(0)= x20, ẋ2(0)= v20를 가지고 있을 경우에 쉽게 그 응답을 구할 수 있을까? 특히 수치값이 아닌 공식 형태로 해를 유도할 수 있을까?
이 임무는 2자유도계 문제일지라도 정말 복잡한 수학 연산을 요구한다. 이를 위해 옛날 엔지니어, 수학자들은 모달 해석(Modal Analysis)이라는 방법을 개발해 적용했는데 모달변환 (Modal Transform)을 이용하면 연성되어 있는 다자유도계를 독립된 일자유도 모달좌표계 문제로 변환할 수 있다. 각 모달 좌표계에 대한 응답을 구한 후에는 이를 다시 역변환해 실제 변위를 유도했다. 물론 그 과정이 간단하지는 않다.
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