CAE를 이용한 진동해석 ② 일자유도 진동계

1. 소개

진동학에서 가장 먼저 다루는 대상은 일자유도 진동계(Single-Degree-of-Freedom Vibration System)이다. 일반적으로 제일 단순한 형태인 스프링-질량-댐퍼로 이루어진 일자유도 진동계를 가지고 기초적인 진동이론을 설명한다.

일자유도 진동계는 수학을 이용해 해석이 용이하고 구조물의 진동을 단순화한다면 간단한 해석이 가능하기 때문에 진동학에서 아주 중요하게 다루는 모델이다. 실제로 기계 구조물 중에서 간단한 일자유도 진동계로 가정할 수 있는 경우가 많다.

스프링, 질량, 댐퍼로 이루어진 진동계를 살펴보자. 스프링은 강성은 있으나 질량이 없는 요소이다. 그리고 강성은 Hooke의 법칙을 따른다고 가정한다. 질량은 질량만 있는 블록이며 강성은 없는 요소이다. 댐퍼는 질량은 없고 속도에 저항하는 요소이다. 각 요소를 수학식으로 표현하면 다음과 같다.

댐핑력에 관한 식 (1c)를 만족하는 댐퍼를 점성 댐퍼 (Viscous Damper)라고 부른다. 이 댐퍼는 순전히 수학적인 댐퍼인데 식 (3.1c)로 표현되지 않으면 최종 운동 방정식이 선형 방정식이 되지 못한다. 선형계가 아닌 경우에 수학을 이용해 해를 구하기가 매우 어렵다. 그래서 공학 문제 해석을 위해 선형계로 가정하는 경우가 많다.이제 다음 그림과 같은 스프링, 질량, 댐퍼로 이루어진 일자유도 진동계를 고려해 보자.

Fig.2.1 SDOF 시스템

여기서 x는 질량 m의 변위를 나타내고 F는 이 질량에 작용하는 외력을 나타낸다. 소위 운동방정식을 유도해야 이 진동계의 변위가 어떻게 나오는지 계산할 수 있다. 운동방정식을 유도하기 위해서는 뉴톤 제2법칙이나 에너지 보존법칙을 적용한다. 뉴톤 제2법칙을 적용하기 위해서는 먼저 자유물체도를 그려야 하는데 Fig.2.1과 같다. Fig.2.1의 자유물체도에 뉴톤 제2법칙을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

Fig.2.2 FBD

식 (1)로부터 다음과 같은 운동방정식이 유도된다.

식(1)은 일자유도 진동계의 움직임을 표현하는 가장 기본적인 미분방정식이다. 앞에서 다양한 미분방정식을 어떻게 푸는지에 대해 소개한 이유가 식 (1)을 풀기 위해서이다. 앞에서 식 (1)을 Julia 프로그램을 이용해 해를 구할 수 있음을 설명했지만, 진동의 성질을 알기 위해서는 수학을 조금은 이용해야 한다.

진동학에서 가장 기본적인 비감쇠 자유진동을 고려해 보자. 비감쇠라는 것은 식 (1)에서 c=0 이라는 것을 의미하고 자유진동이라는 것은 외부 기진력, F(t)=0 이라는 것을 의미한다. 그렇게 되면 다음식을 얻게 된다.

즉, 질량과 스프링만 있는 진동계인 것인데 이 제차의 상미분방정식을 풀기 위해서는 초기조건,x(0)=x0, x.(0)=v0 가 필요하다. m, k, x0, v0 가 수치로 주어질 경우에는 앞에서 SymPy 패키지를 이용하는 Julia 프로그램을 이용해 쉽게 해를 구할 수 있다. 그렇지만 여기서 우리는 기호를 그대로 사용해 일종의 공식을 유도하여 일반화하고자 한다.

식 (3)을 m 으로 나누면 다음과 같이 쓸 수 있다.

여기서 다음과 같은 파라미터를 도입했다.

이 ωn을 보통 진동계의 고유진동수라고 부르는데 단위는 rad/s이다.
이 파라미터는 진동해석에서 가장 중요한 파라미터이다. 실제로는 Hz (cycle/s) 단위를 주로 사용한다.

고유진동수는 식 (4)가 보여주듯이 강성에는 비례하지만 질량에는 반비례한다. 식 (4)의 해는 진동계가 sin 또는 cos의 조화함수로 진동함을 보여준다.

자연계에서 에너지는 여러가지 방법으로 소산되기 때문에 시간이 흐를수록 진동 변위는 감소하게 된다. 이런 현상을 설명하기 위해서 점성 감쇠를 고려한 자유진동 문제를 해석한다. 점성 감쇠를 고려할 경우에 다음과 같은 파라미터가 하나 더 도입된다.

여기서 는 감쇠인자(damping factor)라고 부르는데 응답이 어떻게 감소 되는지를 알려주는 파라미터이다. 다양한 경우의 일자유도 진동계의 자유 진동문제에 대해 수학적인 엄밀해를 구할 수 있다. 그러나 앞편에서 소개한 Julia 프로그램을 사용하면 해를 구하는 것이 좀 더 수월하다.

m =1kg, c=0.5Ns/m, k=10N/m, x0=1m, v0=0m/s 일 경우의 자유 진동 응답을 구해보자. 이 문제를 푸는 Julia프로그램은 다음과 같다.

이 시스템의 고유진동수는 3.1622 rad/s이고 감쇠인자는 7.9% 이다. 그리고 감쇠 자유 진동 응답에 대한 엄밀해는 다음과 같이 출력된다.

x = e^-0.25t (cos 3.1523t + 0.0793 sin 3.1523t)

감쇠의 영향으로 감쇠 고유진동수(damped natural frequency)는 비감쇠 고유진동수보다 약간 작게 나타남을 알 수 있다. 이 식을 그리면 다음 그림과 같이 되는데 감쇠의 영향으로 시간이 지나면서 진폭이 감소하는 것을 알 수 있다.

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