변형률과 응력은 구조 역학에서 가장 중요한 요소들로써, 구조물의 평형과 재료의 파손 등을 결정하는데 중요한 역할을 한다. 미소 변형을 가정한 선형 해석에서는 공칭 변형률과 공칭 응력만을 사용하지만, 비선형 해석에서는 참조 준거 (frame of reference)를 정하기에 따라 서로 다른 변형률과 응력을 사용하여야 한다.
목차
1. 서론
2. 변형률
3. 응력
4. 변형률-응력 관계
5. 맺음말
1. 서론
여러가지 변형률과 응력들은 비선형 해석을 처음 접하는 사용자들을 혼돈스럽게 하고, 해석하고자 하는 비선형 문제에 대해서 적절한 변형률과 응력을 선택하기 어렵게 만들 수 있다. 또한 해석 결과로 출력되는 응력 값들을 잘못 이해함으로써 설계시에 오류를 범할 가능성을 제공할 수 있다.
이번 칼럼에서는 이러한 어려움과 문제점을 해소하기 위해서 비선형 해석에서 사용되는 변형률과 응력들을 비교적 쉽고 명확하게 설명하는 것을 목적으로 한다.
2. 변형률
선형 해석에서 사용되는 공칭 변형률(engineering strain)은 미소 변형을 가정하므로 변형 전 형상과 변형 후 형상을 구분할 필요가 없다. 하지만, 대변형을 수반하는 비선형 해석에서는 변형 전과 변형 후의 형상이 다르기 때문에 이들을 구분할 필요가 있다. 변형 전 길이가 L_0이던 부재가 변형 후 길이가 L 로 늘어난 1차원 변형을 고려하자. (그림 1 참조).
변형 전후의 길이 신장을 λ=L/L_0로 나타내면 가장 흔히 사용되는 네 가지 변형률을 다음과 같이 정의할 수 있다.
그림 1에 도시된 네 가지 변형률에서 알 수 있는 바와 같이 모든 변형률의 값이 λ=1에서 0이 되고 기울기가 1이 됨을 알 수 있다. 이것은 모든 변형률이 만족해야 하는 공통 특성이다. 그린 변형률이 2차 함수라는 것을 고려하면, 앞에서 언급한 두 가지 특성을 만족하는 더 높은 차수의 일반화된 변형률(generalized strain)을 정의할 수도 있다.
또한 그림 1에서, 변형률이 작은 경우, 즉 0.9<λ<1.1, 모든 변형률이 거의 유사한 값을 가짐을 알 수 있다. 그러므로, 미소 변형의 선형 해석에서는 어떠한 변형률을 사용하든지 큰 차이가 없다. 하지만 변형이 증가함에 따라 변형률 사이의 차이도 역시 증가함을 알 수 있다.
여기서 주의할 것은 어느 변형률이 더 정확한가에 대한 논의이다. 물리적인 의미에서는 대수 변형률이 실제 변형을 가장 잘 표현하기 때문에 흔히 참변형률(true strain)이라고 부른다. 하지만 변형률 자체로는 장단점을 논할 근거가 충분하지 못하다.
왜냐하면 이것들은 마치 길이를 표현할 때 다른 단위를 사용할 수 있는 것처럼 변형을 표현하는 서로 다른 방법들이기 때문이다. 변형률의 장단점은 응력과 조합하여 사용될 때 나타난다.
일반적으로 그린 변형률이 비선형 항을 포함하고 있기 때문에 비선형 해석에 더 적합하다고 알려져 있다. 하지만 실제적인 장점은 비선형이 아니라 강체 회전에 어떠한 영향을 받는가 하는 것이다. 변형을 수반하지 않는 강체 회전은 물리적인 응력을 발생시키지 않는다. 또한 응력은 변형률에 비례하므로, 변형율 역시 강체 회전에 영향을 받지 않아야 한다.
공칭 변형률과 코시 변형률은 강체 회전 시 0이 아닌 값을 가지는데 비해서, 그린 변형률은 강체 회전에 대해서 항상 0의 값을 가진다. 그러므로 강체 회전을 포함하는 대변형을 표현하는데는 그린 변형률이 적당하다고 할 수 있다.
강체 회전에 영향을 받지 않는 특성 때문에, 그린 변형률은 탄성 재료의 해석에 많이 사용된다. 하지만 탄소성 재료의 경우에는 비선형 특성으로 인해서 전체 변형을 탄성과 소성으로 나누는 것이 간단하지 않기 때문에 코시 변형률을 자주 사용한다.
이때 강체 회전에 대한 부분을 특별히 고려해 주어야 한다. 대수 변형률은 실제 변형을 가장 잘 표현한다는 장점이 있지만, 3차원 변형을 고유값과 고유 벡터로 표현해야 하는 불편함 때문에 해석 결과의 출력에 자주 쓰인다.
3. 응력
응력은 일반적으로 단위 면적에 작용하는 하중으로 정의된다. 변형이 작은 경우에는 변형 전과 후의 면적의 변화를 무시할 수 있지만, 대변형을 수반하는 비선형 해석에서는 사용되는 면적에 따라 서로 다른 응력이 정의될 수 있다. 가장 대표적인 것이 변형 전의 면적을 사용하는 Piola-Kirchhoff (PK) 응력과 변형 후의 면적을 사용하는 코시(Cauchy) 응력이다. 3차원 시스템에서 1차 PK 응력은 대칭(symmetric)이 아니기 때문에 이를 대칭으로 만든 것을 2차 PK 응력이라고 부른다. 그림 1에 나타난 1차원 구조물에 대해서 이 세가지 응력은 다음과 같이 정의된다.
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