1. 서론
컴퓨터 원용 전산 해석 기술 분야에 있어서 최근 가장 두드러진 변화 중 하나로는 유한요소 해석과 같이 연속체 가정을 근간으로 하던 전통적인 CAE 분야에 분자, 원자 그리고 그보다도 더 작은 양자 수준에서의 현상에 대한 이해를 필요로 하는 해석기법을 연계하고자 하는 멀티스케일 해석기법의 대두와 발전을 들 수 있다.
거시적인 시간/공간 스케일에서의 거동을 굳이 원자와 같은 미세 스케일에서의 구조적 변화까지 고려하면서 해석해야 할 필요성이 제기된 것은 나노 기술의 급격한 발달에 기인한 바가 크다. 특히 기계공학에서 다루어야 할 대상의 크기가 수 마이크로미터에서 더 내려가 수 나노미터 또는 그 이하의 영역에 도달하게 되면, 물질 구조의 공간적 불연속성에 기인한 특이한 거동과 물성의 특징이 나타나게 된다.
따라서 미세구조와 거시적 물성 간 상관관계의 규명과 이를 반영한 전산 해석의 수행을 위해서는 잘 정립되어 온 기존의 연속체 해석이론에 적절한 수정과 보완이 필요하다는 결론에 이르게 되었으며, 이러한 배경하에 ‘순차적 멀티스케일 해석기법(Sequential multi scale analysis)’이 제시되었다[그림 1].
[그림 1] 전자패키징에 사용되는 나노복합재료의 해석과
설계를 위한 순차적 멀티스케일 해석 방법론
2. 나노 전산역학과 순차적 멀티스케일 해석
나노 전산역학은 일반적으로 서론에 언급한 것과 같은 나노스케일 극 미세 구조에서 나타나는 현상을 반영하기 위해 적용되는 다양한 해석기법을 비롯하여, 각각의 해석기법의 동시적/순차적 연계를 위한 방법론 등을 포괄하는 개념이다. 그러나 그 적용 대상은 비단 나노스케일 구조물에만 국한되는 것은 아니며, 거시적 기계 시스템 해석에 있어 그 이론적 토대가 이미 잘 형성된 현상에 대해 원자/분자 수준에서의 고찰을 적용하고자 하는 경우에도 유용하게 적용될 수 있는 방법이다.
역학 분야에 있어서 가장 많은 관심을 받고 있는 것은 크게 ‘표면효과’와 ‘계면 효과’를 들 수 있는데, 전자의 경우 단결정 구조를 가진 금속, 반도체, 세라믹 소재로 제조된 나노박막이나 나노와이어, 나노입자와 같이 균질한 단위 구조체의 물성 변화에 있어 핵심적인 고려 대상이며, 후자의 경우에는 이종 소재 간 계면(interface)이 존재하는 적층형 나노구조 또는 나노 크기의 강화재가 첨가된 복합재료 등과 같이 비균질한 구조에서 그 중요성이 보다 높아진다.
표면효과와 계면 효과가 존재하는 재료의 가장 큰 특징은 기계적 강성과 같이 해석 대상의 차원과 무관하게 일정한 값을 가지는 것으로 간주하여 오던 물성이 해석 대상이 가진 크기에 따라 변화하게 되며, 이에 따라 정적/동적 거동이 달라진다는 점이다. 따라서 표면효과와 계면 효과에 대한 고려는 물성의 변화에 대한 정보의 획득과 이를 연속체 해석모델에서 재연하기 위한 정적 해석에서부터 시작된다.
먼저, 나노스케일에서 나타나는 특징을 원자 수준에서 엄밀히 고려할 수 있는 분자동역학 전산모사(Molecular dynamics simulation)와 같은 해석기법의 적용을 통해 크기 변화에 따른 재료의 물성 변화와 그 원인에 대한 정보를 획득하는 단계가 필요하며, 이를 보다 큰 스케일의 해석에 적합한 연속체 해석모델로부터 재연할 수 있도록 유한요소 해석이나 미시역학, 균질화 해석기법 등을 적절히 수정하고 검증한 후, 최종적으로는 다양한 미세구조 변화에 따른 설계가 가능한 등가 연속체 모델링 기법의 정립 단계가 이어진다.
따라서 물성 예측과 해석모델의 정립이 순차적으로 이어지며, 또한 하위 스케일에서의 결과가 상위 스케일의 해석기법과 연계되는 과정을 통해 보다 큰 스케일의 구조에 대한 물성 예측이 순차적으로 가능해진다는 점에서 상기한 일련의 방법론을 순차적 멀티스케일 해석기법이라 정의한다.
3. 표면효과를 고려하기 위한 멀티스케일 해석
표면효과가 두드러진 재료 중 가장 대표적인 것은 두께가 수십 나노미터 수준을 가진 2차원 구조물인 나노 박막이다. 나노 박막에서 표면효과가 지배적인 요소로 작용하는 원리는 박막 표면에 위치한 원자와 박막 내부에 위치한 원자들 간의 원자 간 결합이 다른 데서 나타난다(그림 2).
박막 내부에 위치한 원자의 경우 주위 원자와 대칭적인 상호작용을 하게 되지만 표면에 위치한 원자는 비대칭적인 상호작용을 주고받게 된다. 따라서 표면에 위치한 원자들끼리는 같은 종류의 반데르 발스 힘이라 할지라도 보다 강한 결합력으로 엮여 있게 된다.
표면효과는 박막의 두께와 무관하게 존재하는 것이지만, 두께가 충분히 두꺼운 경우에는 표면효과가 박막의 거시적 물성에 미치는 영향이 상대적으로 미미하여 고려할 필요가 없었을 뿐이다. 또한 표면효과는 등방성을 나타내는 다결정질 구조뿐만 아니라 이방성을 나타내는 단결정 구조에서도 특이한 물성 변화를 일으키는데, 예를 들어 표면효과에 의해 [100] 방향의 강성은 두께가 얇을수록 감소하는 반면, [110] 방향으로의 강성은 오히려 증가하는 결과를 보인다.
따라서 나노박막을 응용한 공진기의 양질 계수(Quality factor) 예측과 같은 동적 거동 해석을 위한 유한요소해석에 있어서는 기존의 판 이론(Plate theory)이 표면효과를 반영할 수 있도록 하는 유한요소 정식화 과정이 필요하다.
[그림 2] 원자결합 비대칭에 따른 표면효과와 박막의 두께 변화에 따른 탄성계수 변화
나노박막의 표면효과에 대한 정보는 면심입방 구조를 가진 전이 금속, 예를 들면 구리나 알루미늄과 같은 재료로 만들어진 단결정 박막 구조에서 나타나는 두께 변화에 따른 물성을 분자동역학 또는 분자 역학 방법을 써서 얻는다. 표면효과가 나타나는 영역과 격자 방향에 따른 물성 변화를 파악한 이후에는 박막의 물성을 재 연할 수 있는 등가의 유한요소 모델링을 수행하게 되는데, 이때 표면효과를 고려하기 위해 고전적 판 이론에 서 박막의 표면에너지를 별도로 고려한 수정된 가상 일의 원리를 유한요소 정식화에 반영한다.
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