1. 소개
연속계의 진동과 관련된 문제에서 수학적 엄밀해를 구할 수 있는 경우는 그렇게 많지 않다. 그러나 이 문제들도 상당한 양의 수학 지식을 필요로 한다. 편미분 방정식으로 표현되는 운동 방정식이 유도되었다 하더라도 더 이상 수학으로 그 해를 구할 수 없는 형태라고 하면 어떻게 해야 할까?
다행히 컴퓨터를 활용하면서 수학으로 해를 구할 수 없었던 문제들의 해를 근사적으로 구할 수 있는 길이 열리게 되었다. 원래는편미분방정식으로 표현되는 연속계의 진동 문제에 근사방법을 적용하면 편미분 방정식이 다자유도 진동계로 변환된다. 이렇게 하는 것을 이산화(Discretization)라고 부른다.
다양한 이산화 방법 중 유명한 방법으로는Rayleigh-Ritz 방법, 가정모드법(Assumed-Modes Method), Galerkin법, 유한요소법(Finite Element Method) 등이 있다. 여기서는 진동해석에서 가장 많이 사용되는 가정모드법과 유한요소법을 소개한다.
먼저 다음 그림과 같은 비균일봉의 종진동 문제를 고려해보자.
여기서 m(x)는 봉의 단위길이당 질량, E는 영의 계수, A(x)는 단면적, L은 봉의 길이, k는 스프링 상수이다. 이 진동계에 대한 운동에너지와 탄성에너지는 다음과 같이 표현된다.
(1)과 Euler-Lagrange 방정식을 사용하면 다음과 같은 운동 방정식과 경계 조건이 유도된다.
균일봉(Uniform rod)이 아니면 식 (2)로 표현되는 편미분 방정식의 엄밀해를 구할 수 없다. 오른쪽 단에 붙어있는 스프링도 수학적인 엄밀해를 유도하는데 걸림돌이 된다. 가정모드법(AMM) 과 Rayleigh-Ritz 방법(RRM)의 차이는 AMM이 변분법(Variational Method)에 기반을 두고 있고 RRM은 Rayleigh 지수(Quotient)에 기반을 두고 있다는 것이다.
두 방법을Self-adjoint 시스템에 대해 적용하면 동일한 형태의 질량행렬과 강성행렬이 유도된다. 그러나 강제 진동 응답 계산까지 고려한다면 AMM이 유리하다. AMM이나 RRM을 적용하는데 있어 허용 함수의 선택이 정확도에 영향을 준다. 허용 함수를 잘 선택해야 한다는 것이 AMM이나 RRM의 적용을 어렵게 만드는 요인이다.
FEM은 이 허용함수의 선택을 단순화하여 사용자의 선택을 용이하게 만든 방법이라고 말할 수 있다. 그러나 AMM이나 RRM이 중요한 이유는 이 방법들이 수학을 사용하는 정성적인 방법에 가깝기 때문이다.
AMM이나 RRM, 심지어 FEM도 실제 변위 u(x,t)를 여러 개의 허용함수를 이용해 급수 전개하는 방법이라고 말할 수 있다.
여기서 Φ(x) = [ϕ1(x) ϕ2(x) ...ϕn(x)]이고 q(t) = [q1(t) q2(t) ...qn(t)]T 이다.ϕi(x)는 허용함수, qi(t)는 시간에 관한 일반 좌표계를 나타낸다. FEM에서 이 일반 좌표계는 노드에서의 변위가 된다. ϕi(x)가 전역함수(Global function)이 되면 AMM이 되고 ϕi (x)가 국부함수(Local function)이 되면 FEM이 된다.
다음과 같은 예제를 토대로 설명해보자. 봉의 길이 L=1m라고 하고 무차원 변수 = x/L을 도입해 물성치를 다음과 같이 표현해서 사용해보자.
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