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CFL수를 설명하기 위해서는 먼저 CFL 조건을 설명하여야 한다. CFL 조건은 편미분방정식을 수치적으로 수렴시키기 위한 필요조건으로서, 계산에 사용되는 시간간격이 특정 시간보다 작아야 하며, 그렇지 않을 경우 부정확한 해를 구하게 된다는 수치해석학적 조건이다.
1차원 문제의 CFL 조건은 다음과 같이 나타낼 수 있다.
: 유동속도 , : 계산시간간격 , : 메쉬 간격 , : CFL수
위 조건에서 는 이산화 방식에 따라 변하게 되는데 특히 외연적 또는 내연적 방법에 밀접하게 연관되어 있다. 외연적 시간진행 솔버(Explicit Time Marching Solver)의 경우 일반적으로 이 사용되며, 내연적 솔버의 경우 좀 더 큰 값이 사용되기도 한다.
위와 같이 CFL조건과 CFL수는 편미분방정식의 수치해석을 수행할 때 시간간격을 결정하거나 조정할 때 많이 활용되고 있다.
프란틀 수는 운동량과 열 경계층(boundary layer) 사이의 관계를 나타내는 파라미터이며 아래의 방정식으로 계산 되며, 유체의 점도와 열전도율을 이용해서 표현한다. 일반적으로 고체 온도에서 유체 포용 온도(bulk temperature)로 변하는 유체의 온도 구간을 열 경계층이라고 하며, 열 경계층과 운동량 경계층 사이에 상대적인 크기를 나타내는 것이 프란틀 수이다.
예를 들어 프란틀 수가 1일 경우 열과 운동량의 경계층 두께가 같다는 것을 의미하고, 일반적인 대기압에서 공기는 프란틀 수가 0.7이며, 섭씨 20도인 물의 경우 프란틀 수는 7정도이다. 프란틀 수는 층 흐름 내에서 운동량의 확산 상수가 열의 확산 상수의 몇 배인가 하는 것을 의미한다. 프란틀 수가 1보다 매우 작으면 열의 확산이 주로 일어나며, 1보다 크면 운동량의 확산이 지배적으로 일어나게 된다.
where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity),
μ: 점성(dynamic viscosity), k: 열전도율(thermal conductivity), cp: 비열(specific heat)
Prandtl number에 따른 열 경계층 변화 Pr<1(>왼쪽) Pr>1(오른쪽)
모든 유체는 점성을 가지고 있다. 유체가 흐를 때 점성 효과 때문에 물체 표면에서 흐름의 수직방향으로 속도가 변하는 얇은 층이 형성되는데 이를 경계층이라 한다. 경계층은 층류경계층(laminar boundary layer)와 난류경계층(turbulent boundary layer)이 있다. 층류경계층은 난류와동이 없는 매우 부드러운 경계층으로 주로 유체의 흐름이 시작되는 앞전(leading edge)에서 발생한다. 난류경계층은 불안정하여 그 상태를 지속하기 힘들며, 난류경계층으로 쉽게 천이(boundary layer transition) 된다. 난류경계층은 내에는 수많은 난류와동들이 발생하며 활발히 에너지를 교환하며 주변으로 확산시킨다.
얇은 박판 구조물(thin-walled structure)에 굽힘을 가하면 구조물내 응력이 경계(boundary) 근처에서 급격하게 증가하는 특이성(singularity)이 발생한다. 이러한 현상을 경계층 효과라고 불리며 구조물에만 한정되지 않고 유체 유동에서도 볼 수 있다. 즉 항공기 날개 주위의 공기 흐름에 있어 공기의 점성(viscosity)에 의하여 날개면에서 공기의 상대적인 속도는 0이 된다. 그리고 항공기 표면에서 매우 짧은 거리에 있는 공기속도는 급속히 증가하는 거동을 나타낸다.
이러한 경계층 효과를 수치해석(numerical analysis)적으로 모사하기 위해서는 많은 주의를 기울여야 한다. 박판 구조물이나 유동에 있어 경계층 효과는 경계면에 수직한 방향으로 거동의 급격한 변화이기 때문에, 경계에 폭이 가장 작은 요소를 배치시키고 경계에서 수직방향으로 편향 요소망(gradient mesh)을 적용하여야 한다. 이 요소망에 있어서 경계에 배치한 가장 작은 요소를 특별히 경계요소(boundary element)라고 부르며, 경계에 수직한 방향으로의 폭은 구조물의 두께보다는 작아야 할뿐더러, 그 크기가 작을수록 효과적이다. 한편 경계에 접선방향으로는 편향된 요소망을 적용할 필요가 없다. 왜냐하면 경계에 접선인 방향으로는 거동의 특이성이 발생하지 않기 때문이다.
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유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 위해서는 우선 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 유한요소(finite element)라 불리는 세부 영역들로 나누는 작업, 즉 요소망(mesh) 생성작업을 수행해야 한다. 요소망에 있어서 내부 요소들의 크기가 거의 같은 경우를 균일 요소망(uniform mesh)이라고 부르고 그렇지 않고 크기가 서로 다른 경우를 비균일 요소망(non-uniform mesh)이라고 한다.
비균일 요소망을 생성하는 가장 큰 이유는 최소의 요소개수를 이용하여 목표로 하는 정확도를 만족하는 해석결과를 얻고자 함이다. 유한요소 해석에 있어 수치해석 오차(numerical analysis error)는 요소크기(element size)에 반비례하고 보간함수(interpolation function)의 차수, 즉 요소차수(element order)에 비례한다. 일반적으로 물체가 특이한 거동(singular behavior)을 나타내는 부분에는 요소의 크기를 작게 하는 것이 효과적인 것으로 알려져 있다.
예를 들어, 균열(crack), 집중하중, 형상이나 재질이 급격하게 변하는 부분 등에는 요소를 조밀하게 생성하는 것이 효과적이다. 만일 이렇게 국부적으로 특이한 거동을 나타내는 문제에 대해 균일 요소망을 적용한다면 특이성을 나타내지 않는 영역을 기준으로 조밀한 요소망을 생성해야 하기 때문에 요소개수가 엄청나게 증가하게 된다.
따라서 특이성을 나타내는 영역으로 갈수록 요소의 크기를 점진적으로 감소시키는 요소망 기법을 적용하면 이러한 문제점을 해결할 수 있고, 이렇게 생성한 요소망을 편향 요소망이라고 부른다. 항공기 주위의 충격파(shock wave)를 효율적으로 모사하기 위해 충격파가 발생하는 영역 근처에 집중적으로 조밀한 요소망을 적용한 경우가 편향 요소망의 전형적인 예에 해당된다.
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아무리 작은 물체라고 하더라도 어느 정도의 체적을 갖는 3차원(three dimension) 형상으로 되어 있다. 하지만 물체가 길이에 비해 나머지 두 방향으로의 크기가 상대적으로 작은 경우에는 특징적인 물체 거동을 나타낸다. 예를 들어 축 방향으로의 길이에 비해 단면적이 상대적으로 작은 가느다란 막대를 굽히는 경우를 생각해 보자. 굽힘(bending)에 따른 막대의 전체적인 변형 형상(deformed shape)은 막대 중심축의 변형 형상과 거의 일치한다.
다시 말해, 변형 후 막대의 곡률반경은 중심축에서나 막대의 안 그리고 바깥 면에서 거의 동일하다. 그리고 중심축과 막대 테두리에서의 변형, 변형률(strain) 그리고 응력(stress)의 차이는 선형적으로 가정할 수 있다. 이러한 기하학적 그리고 거동적 특징을 나타내는 물체는 박판 구조물(thin-walled structure)의 일종으로 취급된다. 그리고, 유한요소 해석(finite element analysis)을 위한 요소망(mesh) 생성에 있어 3차원 요소를 사용하지 않고 단지 중심축을 유한 개의 선 요소를 사용하여 세분화 시킨다.
그 결과 물체의 기하학적 형상은 3차원일지라도 요소망 자체는 1차원으로 표현된다. 그리고 막대의 두께, 단면정보 그리고 두께 방향으로의 선형적 변위(displacement)는 미리 계산되어 강성행렬(stiffness matrix)과 질량행렬(mass matrix)에 반영된다. 그리고 계산결과를 토대로 두께 방향으로의 거동의 변화는 중심축의 거동 값과 선형적 가정을 이용하여 구할 수 있다.
선 요소에는 형상적인 측면에서 직선과 곡선 요소로 나눌 수 있고, 절점의 자유도에 따라 보 요소(beam element), 봉 요소(rod element), 링크요소(link element), 강체 요소(rigid element)로 구분된다.
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항공기 날개를 위에서 바라보면 폭이 좁고 길이가 긴 마름모꼴에 가까운 형상을 지니고 있다. 이 경우 길이를 폭으로 나눈 비율을 항공기 날개의 형상 종횡비라고 부른다. 정사각형은 형상 종횡비가 1인 특수한 경우에 해당되는 단면이라 할 수 있다.
형상 종횡비는 다만 사각형 모양의 단면에만 국한되지 않고, 보다 광범위한 의미로 사용되고 있다. 원이나 타원형의 경우에는 이 것들을 둘러싸는 사각형으로 형상 종횡비를 계산한다. 따라서 원의 형상 종횡비는 1인 반면, 타원형의 경우는 1보다 큰 값이 된다. 임의의 단면을 지닌 막대기나 봉의 경우에는 단면의 직경이나 대각선을 길이로 나눈 값을 형상 종횡비로 정의한다. 따라서 형상 종횡비는 물체의 길쭉한 정도를 나타낸다고 말할 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)의 형상 종횡비는 대단히 중요한 의미를 지니고 있다. 일반적으로 유한요소는 형상 종횡비가 1인 경우가 가장 이상적이다. 왜냐하면 형상 종횡비가 커지게 되면 유한요소 해석에 있어 오차(error)가 커지거나 심한 경우에는 해석을 불가능하게 만들 수도 있기 때문이다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)는 물체의 형상을 유한 개로 나누어 세분화 시킨 작은 기하학적 영역 하나 하나를 일컫는다. 유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분된다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3-, 4-, 8- 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점을 나타낸다.
절점의 개수는 요소의 차수와 관련이 있을 뿐더러 해당 요소가 가지는 자유도(degree of freedom) 혹은 미지수의 개수와도 연관이 있다. 예를 들어 1차원에 있어 1차 함수 즉 직선은 양 끝 점의 위치가 결정되면 공간 상에서 그 위치가 고정된다. 이 경우 양 끝 점의 위치는 두 개의 미지수 혹은 자유도에 해당된다.
요소에 있어 절점이란 이러한 개념으로 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 4-절점 요소라면 각 절점에 하나의 미지수를 가지므로 총 4개의 미지수를 가지는 요소라고 생각할 수 있다(하지만 물체의 거동이 스칼라가 아닌 벡터의 경우에는 성분들을 지니고 있기 때문에 한 절점에서 벡터의 성분개수 만큼의 미지수를 가질 수 있음에 유의).
예를 들어, 4-절점 요소로 온도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에 하나의 온도 값을 미지수로 하기 때문에 이 요소는 총 4개의 미지수를 갖는다. 하지만 4-절점 요소로 2차원 속도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에서 x 및 y방향 속도 성분을 미지수로 가지므로 이 요소는 총 8개의 미지수를 가진다.
요소망 내 인접한 요소들은 같은 위치에 있는 절점들을 서로 공유한다. 이를 통해서 요소망 내 모든 요소들은 서로 연결되어 하나의 유기적인 네트워크를 형성하게 된다. > 절점 더 자세히 보기🔎
영어 원문의 트레이드 오프는 다양한 의미로 사용되고 있기 때문에 국문으로의 번역도 획일적이지 않다. 취사선택이라는 번역이 적절할지는 모르지만, 여기서는 몇 가지 선택사항들 중에서 중요도가 높은 선택사항을 취하기 위해 중요도가 낮은 선택사항을 어느 정도 희생시킨다는 의미를 나타낸다.
제품이나 시스템의 총체적인 성능을 결정짓는 인자는 단순히 하나만 있는 것이 아니라 하나 이상의 인자들로 구성되어 있는 것이 일반적이다. 그리고 각각의 인자들은 보편적으로 제품 설계변수(design variable)에 대해서 서로 상반되는 경향을 나타낸다. 다시 말해 하나의 성능을 향상시키는 방향으로 설계변수를 조정하면 오히려 나빠지는 다른 성능들이 나타나게 마련이다.
이러한 상황을 보다 전문적인 용어로 다목적 최적설계(multi-objective optimization) 문제라고 부른다. 이러한 상황에서 설계자가 취할 수 있는 최종 설계안은 유일하게 결정되는 것이 아니라 설계자의 주관적인 판단에 따라 좌우된다. 여기서 설계자의 주관적인 판단이란 여러 성능들 중에서 향상 혹은 희생시킬 것들을 결정하는 것과, 각 성능에 대해 향상 혹은 희생시킬 상대적인 우선 순위를 결정하는 작업을 말한다.
하지만 아무리 설계자의 주관에 따라 취사선택한다고 할지라도, 궁극적으로 해당 제품 혹은 시스템이 지향하는 방향에 따라 각 성능의 정성적인 우선 순위는 정해지기 마련이다. 단지 각 성능의 중요도에 대한 구체적이고 정량적인 비중치는 설계자의 주관적인 판단에 따른 수 밖에 없다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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