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모든 물체는 열을 받으면 온도가 증가하고 이에 비례하여 체적이 늘어난다. 그리고 이와 반대로 외부로 열을 방출하게 되면 온도가 감소하고 그 결과 체적이 감소한다. 예를 들어 단일 재료로 만들어진 정육면체의 금속을 균일하게 온도를 증가시키면 정육면체는 모든 방향으로 일정한 량으로 늘어나게 되고 정육면체 모양을 그대로 유지한다.
하지만 정육면체가 단일의 금속으로 되어 있는 등방성 물체(isotropic material)가 아니고 복합재로 만들어진 이방성 물체(anisotropic material)라면 방향별로 늘어나는 량이 달라지고 이에 따라 더 이상 정육면체의 모양을 유지하지 않게 된다. 이러한 차이는 물질 고유의 열팽창계수가 전자의 경우에서는 모든 방향으로 일정하지만 후자의 경우에는 구성 재료에 따라 균일하지 않아서 방향별로 팽창되는 량이 달라진다.
열팽창계수는 물체의 온도가 1oC 증가하였을 때 특정한 방향으로 늘어난 길이로 정의된다. 등방성 물체에 있어서는 x, y 및 z 세 방향으로의 열팽창계수가 모두 동일하지만 이방성 물체에 있어서는 세 방향으로의 열팽창계수가 더 이상 동일하지 않다. 열팽창계수는 열전도도(thermal conductivity) 및 비열(specific heat)과 더불어 열전달 현상을 지배하는 주요한 재료 물성치(material property)이다. > 열팽창계수 더 자세히 보기🔎
고무줄에 힘을 가하여 잡아 당기면 길이 방향으로 늘어났다가 힘을 제거하면 초기 상태로 되돌아 간다. 하지만 진흙 덩어리와 같은 물체는 힘을 가하여 임의 형상으로 찌그러뜨리면 힘을 제거하여도 초기 형상으로 되돌아 가지 않는다. 전자와 같은 물체의 성질을 탄성(elastic)이라고 부르고 후자와 같은 성질을 소성(plastic)이라고 부른다.
위에서 설명한 것과는 달리 지구상의 대부분의 물질은 이 두 가지 성질을 모두 지니고 있고, 어느 성질이 더 우세한가는 물질의 종류, 외부 하중의 크기 그리고 변형(deformation) 형상에 좌우된다. 예를 들어, 가느다란 금속 판에 길이방향으로 서서히 힘을 가하여 잡아당긴다고 생각해 보자. 초기 변형량이 크지 않은 범위에서는 길이 방향으로 늘어나는 길이는 가하는 힘에 비례적으로 증가한다. 하지만 힘의 크기가 특정한 값을 초과하게 되면 늘어나는 길이와 힘은 더 이상 비례관계를 유지하지 않을뿐더러, 힘을 제거하여도 물체의 늘어난 량이 완전히 없어지지 않는다.
일반적으로 힘과 늘어난 길이가 비례관계에 있는 물체의 변형을 탄성변형(elastic deformation)이라고 부르고, 이 탄성영역을 초과하여 힘을 가하면 물체는 소성변형(plastic deformation)을 나타내기 시작한다. 물체의 늘어난 량에 대한 외부 힘의 상대적인 비를 탄성계수라고 부르고, 보다 정확한 공학적인 정의는 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)의 탄성범위 내에서의 기울기이다.
탄성계수(elastic modulus)는 영률(Young’s modulus)이라고도 많이 불린다. 탄성계수는 프와송 비(Poisson’s ratio)와 함께 물체 내부의 저항력인 응력과 물체의 변형된 정도를 나타내는 변형률을 연관시키는 주요한 재료 물성치(material property)이다.
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물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체의 모양과 위치가 변할 뿐만 아니라, 물체 내부에는 저항하려는 내력이 발생한다. 물체의 모양이 변하는 정도를 나타내는 단위 길이당의 변형 즉, 변형률(strain)과 저항력의 크기를 나타내는 단위 면적당의 내력, 즉 응력(stress)과의 사이에는 특정한 관계가 있다.
영국의 자연철학자인 로버트 후크(Robert Hooke, 1635~1703)는 용수철의 힘과 변형량과의 관계로부터 탄성체(elastic material)의 변형률과 응력 사이의 관계를 최초로 정립하였다. 용수철에 가해지는 힘과 늘어난 길이는 용수철의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)를 통해 상관관계를 가진다.
용수철을 잡아당기는 것은 1차원적인 변형으로 이러한 단순한 거동을 3차원 물체에 적용하기 위해서는 프와송 효과(Poisson’s effect)를 고려하여야 한다. 즉 3차원 물체를 한 방향으로 잡아당기면 서로 직교하는 다른 두 방향으로는 물체가 줄어드는 현상이 발생한다. 따라서, 한 방향으로의 힘(혹은 응력)은 세 방향으로의 변형과 서로 연관된다.
이 경우, 연관성을 지어주는 물체 고유의 재료 물성치(material properties)는 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)이다. 혹은 프와송 비 대신에 전단 탄성계수(shear elastic modulus)가 사용되기도 하는데, 이 계수는 탄성계수와 프와송 비로 표현되는 물성값이다.
이처럼 모든 물체에 있어 응력과 변형률과의 관계를 물체 고유의 재료 물성치를 이용하여 표현한 것을 총체적으로 후크의 법칙이라고 부른다.
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지면에 놓여있는 축구공의 윗면을 나무판으로 누르면 축구공이 타원형 모양으로 찌그러질 것이라는 것은 누구나 쉽게 상상할 수 있다. 나무판으로 누르는 방향으로 축구공의 반경은 줄어들지만, 이 방향과 수직하는 다른 방향으로는 축구공의 반경이 증가한다. 이처럼 지구상의 대부분의 물체는 한 방향으로 힘을 가하여 압축시키거나 혹은 늘어나게 하면 이 방향과 수직한 나머지 두 방향으로는 물체가 반대로 늘어나거나 혹은 압축된다. 이러한 거동을 프와송 효과(Poisson’s effect)라고 부르는데, 이 현상을 최초로 연구한 프랑스의 수학자 프와송(Poisson, 1781~1840)의 이름을 따서 불리게 된 것이다.
그리고 힘을 가하는 방향으로의 물체의 길이 변화량에 대한 다른 두 방향으로의 프와송 효과에 의한 길이 변화량의 상대적인 비율을 프와송 비(Poisson’s ratio)로 정의하고 있다. 대부분의 금속은 보통 0.3 근처의 값을 가지며 암석이나 콘크리트는 0.15~0.25 범위의 값을 가진다. 대표적인 비압축성 재료인 고무는 0.5의 값을 가진다.
용어에 대한 정의 그 자체로부터 알 수 있듯이 프와송 비가 높다는 것은 물체가 압축이나 인장에 대한 저항력이 낮음을 의미한다. 예를 들어 고무는 금속에 비해 압축이나 인장하중을 받으면 측면으로 쉽게 늘어나거나 오그라든다. 프와송 비는 탄성계수(elastic modulus) 및 전단 탄성계수(shear elastic modulus)와 더불어 물체의 변형률(strain)과 응력(stress)사이의 상관관계를 표현하는데 사용되는 물체의 고유한 재료 물성치(material properties)이다. >프와송 비 더 자세히 보기🔎
어떠한 물체의 거동을 컴퓨터를 이용하여 화면상에 재현(시뮬레이션)하기 위해서 여러 가지 작업들이 필요하다. 우선 대상이 되는 물체의 기하학적인 형상을 생성하고, 그 물체 고유의 재료 물성치(material property)와 그 물체가 외부로부터 받고 있는 각종 구속과 하중 등을 부여해야 한다. 또한 거동을 정확하고 효과적으로 계산하기 위하여 물체의 기하학적 형상을 다수의 작은 영역들로 분할하고 계산을 위해 필요한 수치적인 기능들을 지정해야 한다.
이와 같이 물체의 거동을 계산하기 위해 선행되어야 하는 모든 작업들을 담당하는 소프트웨어의 한 부분(모듈)을 전처리기라고 부른다. 물체의 기하학적인 형상은 물체의 공간 좌표값을 이용하여 근사적으로 모델링하는 것이 일반적이다.
필요한 물체의 특성치들은 시뮬레이션 하고자 하는 거동에 직접적으로 영향을 미치는 값들을 입력해야 한다. 구속과 하중 역시 시뮬레이션 하고자 하는 물체의 거동에 영향을 미치는 것들은 빠짐없이 반영시켜야 한다. 물체의 기하학적 형상을 세부영역들로 분할하는 것을 요소망 생성(mesh generation)이라고 부르고 수치해석과 관련된 사항들로는 요소의 유형, 계산방법 등이 있다.
전처리기는 일반적으로 크게 두 가지 형태로 분류할 수 있다. 하나는 CAD 시스템에서 지원하는 전처리 기능을 활용하여 전처리 데이터를 만드는 것이고, 다른 하나는 계산전용 유한요소해석 프로그램에 탑재되어 있는 전처리기를 그대로 사용하는 것이다.
일반적으로 하나의 CAE 프로그램은 전처리기를 포함하여 처리기(processor) 및 후처리기(post-processor)의 세 부분(모듈)으로 구성되어 있다.
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물체가 하중이나 온도와 같은 외부 자극에 대해 비선형적(nonlinear) 거동을 나타내는 경우, 이 거동을 수치해석(numerical analysis)을 통해 그 해답을 구하는 것을 말한다. 비선형적 거동은 외부 자극에 대하여 비례적인 관계를 보이지 않기 때문에 선형해석(linear analysis)에 비해 어렵고 긴 계산시간을 요구한다. 선형 거동을 나타내는 문제는 외부 자극과 물체의 거동이 직선적인 관계를 나타내기 때문에, 이 직선의 기울기만 안다면 이 직선과 외부 하중이 만나는 교점을 찾으면 물체의 거동을 구할 수 있다. 다시 말해 단 한번의 계산으로 수치결과를 구할 수 있다.
하지만 비선형적 거동을 나타내는 경우에는 물체의 거동이 외부 자극에 대하여 곡선적인 변화를 나타내기 때문에 곡선 상의 각 지점에서의 기울기는 각기 다르다. 따라서 물체의 초기 예상치(initial guess)에 해당하는 곡선 상의 기울기로 중간 단계의 해답을 구한 다음, 다시 이 중간 단계의 해답에 해당하는 기울기로 다음 중간 단계의 해답을 구하는 반복계산 방법(iterative method)을 적용하여야 한다. 다시 말해 선형해석에서와 같이 단 한번의 계산으로 정확한 해답을 구할 수 없다는 의미다.
비선형 해석을 위한 대표적인 반복계산 기법으로 뉴튼-랩슨 기법(Newton-Raphson method)이 있다. 물체가 비선형적 거동을 나타내는 대표적인 예로는 물체의 재료 물성치(material property)가 구하고자 하는 거동에 따라 변하는 경우, 물체의 거동에 따라 물체의 형상이나 하중이 변하는 경우, 그리고 물체의 거동에 따라 물체의 경계조건(boundary condition)이 변하는 경우이다.
비선형 해석에서 정확한 해답을 구하기 위해서는 무한 번의 반복계산이 필요하기 때문에, 허용가능한 오차(error) 범위를 미리 지정해 주어야 한다. 이것을 허용오차(allowable error)라고 부르고, 이 값의 설정은 해석의 목표에 따라 해석자가 주관적으로 결정하는 것이 일반적이다. > 비선형해석 더 자세히 보기🔎
물질의 고유한 재료 물성치(material property), 예를 들어 탄성계수(Young’s modulus), 프와송 비(Poisson’s ratio), 열전달계수(thermal conductivity) 등이 물질 내 모든 방향으로 그 값이 변하지 않는 경우를 등방성이라고 한다. 그리고 그렇지 못한 물질을 이방성 물질(anisotropic material)이라고 부른다.
실제로 지구상에서 등방성인 물질은 하나도 존재하지 않는다. 따라서 등방성 물질은 거시적(macroscopic)인 측면에서 방향에 따라 물성계수의 변화가 미미하여 등방성으로 가정한 이상적인 경우이다. 임의 물질의 물성계수들은 물질을 구성하는 미소 입자들의 크기, 형상, 배열 방향 그리고 분포 형태 등에 크게 영향을 받는다. 물질을 전자 현미경으로 확대해 보면 입자들의 이러한 특성들이 일정하지 않고 매우 불규칙적임을 확인할 수 있다. 다시 말해, 미시적(microscopic)인 관점에서는 거의 모든 재질은 이방성 재료에 해당된다.
물질을 정의하기 위해 등방성과 함께 자주 사용되는 용어에 균질성(homogeneity)이 있다. 물질이 균질하다는 것은 물성계수들이 재료 내 어떠한 점에서도 일정한 경우를 말한다. 그리고 그렇지 않은 경우를 비균질성(inhomogeneity)이라고 부른다. 이방성과 동일한 맥락으로 균질성도 물성계수의 변화가 물질 내 위치에 따라 미미하여 균질하다고 가정한 이상적인 경우이다. 단일 입자로 구성된 금속은 대표적인 균질 등방성 물질이고, 두 개 이상 서로 다른 종류의 입자로 구성된 복합재(composite material)는 대표적인 비균질 이방성 물질이다.
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자연계에서 발생하는 임의 현상을 실험이나 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 분석하는 경우, 분석결과와 실제 현상 사이에는 반드시 차이가 존재하며 이것을 총칭하여 오차(error)로 정의하고 있다. 이 오차에는 크게 실제 현상을 실험적인 모델이나 수학적인 표현으로 전환하는 과정에서 한계성과 불확실성 등에 기인한 모델링 오차(modeling error)와 수학적 표현을 계산하는 과정에서 발생하는 수치해석 오차로 나눌 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 수치해석 오차는 수학적인 표현을 급수형태의 함수를 도입하여 근사적으로 푸는 근본적인 원리에 기인한다. 급수형태의 함수에 있어 정확한 답을 계산하기 위해서는 급수의 무한차수 항까지 포함시켜야 하는데 이것은 현실적으로 불가능한 일이다. 예를 들어, 우리 생활과 아주 밀접한 전자계산기도 여러 가지 복잡한 함수들을 급수형태로 전개하여 근사적인 해답을 제공한다. 이 경우, 몇 차수까지 포함시키느냐에 따라 계산기의 정확도가 결정된다. 하지만 최근 컴퓨터 성능의 급속한 발전으로 이러한 한계성은 많이 극복되고 있다.
한편, 이러한 근사해법 자체 외에도 수치해석 오차에 영향을 미치는 인자들이 많이 존재한다. 예를 들어, 실제 현상에 관여하는 재료 물성치(material property)의 정확성, 거동과 관련된 각종 경계조건(boundary condition)과 구속조건, 그리고 수치해석 기법과 관련된 유한요소의 크기(element size)와 시간 간격(time step) 등과 같은 파라메터 등이다.
주어진 조건 속에서 유한요소 해석의 수치해석 오차를 줄이는 가장 일반적인 방법은 요소 크기(element size) (h)와 요소 차수(element order) (p) 그리고 시간간격(dt)을 줄이는 것이다. 그리고 이러한 파라메터를 적절히 조정하여 수치해석 오차를 줄여가는 기법으로 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)이 있다.
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스프링 상수가 K인 선형(linear) 코일스프링에 F라는 힘으로 잡아 당길 경우 늘어나는 길이가 d라고 하면, 2F의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 2d가 될 것이다. 그리고 반대로 F/2의 힘을 가하게 되면 늘어나는 길이는 그 절반이 될 것이다. 이 문제의 특징은 스프링에 가해지는 하중의 크기만 다를 뿐, 스프링의 크기 및 강성 그리고 늘어난 길이를 계산하는 방법에는 아무런 변화가 없다는 점이다.
이렇게 단순한 1 자유도(degree of freedom) 문제를 무한개의 스프링들이 밀집되어 있다고 생각할 수 있는 탄성체(continuum body)로 확장시켜 보자. 그리고 스프링에 가해졌던 하중이 달라졌던 것과 같이 이 탄성체에 가해지는 하중조건이 달라짐에 따라 변형이 어떻게 변할 것인지를 분석하는 문제를 생각해 보자. 이 문제에 대한 유한요소 근사화는 [K]{u}={F}라는 행렬 방정식을 푸는 문제로 귀착된다. 여기서 [K]는 물체의 기하학적 형상, 재료 물성치(material property), 요소망(mesh) 그리고 변위 경계조건(displacement boundary condition)에 의하여 결정되는 강성행렬(stiffness)이다. 그리고 {F}와 {u}는 각각 가해진 하중에 대한 하중벡터(load vector) 그리고 구하고자 하는 탄성체의 변위를 나타낸다.
앞서 코일 스프링의 늘어난 길이를 계산하는 것과 동일하게 이 경우에도 하중벡터만 달라지는 특징을 지니고 있다. 따라서, 하중벡터만 변화시키면서 탄성체의 변형을 구할 수 있는데, 이러한 수치기법을 다중 해석이라고 부른다. 그리고 각각의 하중벡터는 서로 다른 하중조건을 각기 하나의 하중 케이스로 정의하여 설정한 다중 하중 케이스(multi-load case)로부터 손쉽게 계산할 수 있다.
다중 해석은 하나의 해석문제를 계산하는 경우와 비교하여 그 방법과 절차가 동일하기 때문에 한 번의 전처리(preprocessing) 작업만으로 여러 하중조건을 다룰 수 있기 때문에, 해석을 위한 노력과 해석시간을 대폭적으로 줄일 수 있는 장점을 지니고 있다. 그리고 현재 시판되고 있는 대부분의 상용 유한요소해석 프로그램은 이 기능을 제공하고 있다.
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