구조해석을 잘 하기 위해 알아야 할 것들

1. 들어가기 

구조 해석을 처음 접하는 사용자는 빠르게 구조 해석 전문가가 되기를 희망합니다. 희망한 꿈을 이루기 위해서는 구조 해석 프로그램에서 적용하고 있는 주요 수치해석 기법인 유한요소법에 대한 이해가 다소 필요합니다.

유한요소법은 그림 1과 같은 물리적 모델을 유한개의 요소를 이용하여 나타낸 수치해석 모델을 해석하는 방법입니다. 그러므로 유한요소 해석을 잘하기 위해서는 요소에 대한 이해가 필수적이며, 어떠한 요소를 선택해야 하는지(모델 이상화 문제), 그리고 유한개의 요소를 어떻게 효과적으로 구성해야 하는지가(해석 모델 규모) 상당히 중요합니다. 이러한 요소를 사용자가 자유롭게 이용할 수 있다면, 신뢰성 있는 결과를 얻을 수 있고 빠르게 구조 해석 전문가가 될 수 있을 것입니다.

[그림 1. 물리적 모델과 유한요소 모델의 차이

하지만, 현재 사용자는 3D CAD 기반으로 작성된 모델을 불러오기 때문에 아무런 의심 없이 3차원 솔리드 요소를 사용하고 있습니다. 또한 3차원 솔리드 요소는 해석 과정 중에 사용법이 타 요소에 비해 상당히 간단하다는 이유로 인해 대부분 3차원 솔리드 요소에 국한하여 활용하고 있습니다.

본 포스팅에서는 유한요소해석에서 가장 기본이 되는 요소에 대해 알아보고, 요소 생성 시 필요한 필수 자료에 대해 알아보기로 하겠습니다.

2. 요소 분류

유한요소는 크게 기하학적 형상과 보간함수의 차수에 따라 크게 2가지로 구분할 수 있습니다.

2.1 기하하적 형상에 따른 분류

요소의 차원 및 기하학적 형상에 의한 분류는 1차원 요소(선), 2차원 요소(삼각형/사각형), 3차원 요소(사면체/오면체/육면체/피라미드)로 구분 할 수 있으며, 주요 형상은 다음 그림 2와 같습니다.

[그림 2. 요소형상에 따른 분류]

2.2 요소차수에 의한 분류 

보간함수 차수에 의한 분류는 절점 개수에 따라 분류할 수 있습니다.

여기서, 보간함수는 일반적으로 형상 함수라고도 정의합니다. 일반적으로 유한요소 해석에 의해 구해지는 변위는 사용자가 정의한 절점에서만 계산됩니다. 그러므로 절점이 생성되지 않은 곳에서는 변위가 계산되지 않습니다. 이를 보완하기 위해 유한요소 해석에서는 각 요소가 보간함수 또는 형상함수라는 것을 가지고 있으며, 이 함수를 기준으로 각각의 절점에서 구해진 변위 값을 보간하여 절점 사이의 변위를 추정하는 방식을 사용하고 있습니다. 그림 3에는 보간함수에 대한 기본적인 개념을 나타내었습니다.

그림 3. 보간함수 개념

그림 3에 나타낸 것과 같이 생성된 요소가 1차원 요소라고 가정한 경우, 일반적으로 1개의 요소에 절점이 양 끝에 2개가 생성이 되며, 해석을 수행하면 각각의 절점에서 변위가 계산됩니다. 이러한 요소를 저차요소라고 정의하며, 저차요소의 경우 두 절점 사이에 발생하는 변위는 그림 3과 같이 두 절점 사이를 보간하여 계산합니다.

고차요소 또한 보간함수를 사용하여 절점 사이의 내부 변위를 산정하는 방식은 유사하나, 고차요소는 저차요소와는 달리 두 절점 사이에 내부 절점이라고 정의하는 절점이 더 발생하게 되며, 이 내부 절점에서 변위가 계산됩니다. 그러므로 고차요소 사용 시에는 저차요소보다 절점 수가 늘어나는 반면 신뢰성 있는 결과를 도출할 수 있습니다.

그림 4. 보간함수에 따른 분류

2.3 스칼라요소 및 보간요소

스칼라 요소는 요소의 형상을 가지지 않고 값만 가지는 요소로 정의하며, 0차원 요소라고도 합니다. 대표적인 0차원 요소로는 스프링(Spring) 요소와 질량(Mass) 요소가 있습니다. 

스프링 요소는 인장/압축을 받거나, 회전력을 받을 때에 스프링 강성을 입력하여 사용할 수 있으며 병진 변위(Translational displacement)와 회전 변위(Rotational displacement)를 계산할 수 있습니다. 스프링 요소는 해석 모델을 수치적으로 단순화 시킬 수 있으며 장점이 있어, 모델을 단순화 시킴과 동시에 실제 거동과 유사한 신뢰성 있는 결과를 도출할 수 있습니다. 다음 그림은 인장을 받는 부재를 스프링 요소로 이상화한 예입니다. 단면적, 길이, 그리고 탄성계수를 알고 있다면, 강성을 산정할 수 있고 이를 스프링 강성에 입력하여 사용할 수 있습니다. 

그림 5. 스프링 요소

질량 요소는 강성이 매우 크거나, 요소망으로 표현하기에 너무 복잡한 부품의 질량을 이상화하기 위해 주로 사용합니다. 또한, 구조물에서 강성 효과를 가지지 않는 부분의 모델링 시에도 사용 가능합니다.

강체 및 보간 요소는 절점 간의 강체운동(Rigid Body Motion)을 하는 조건을 모사할 때 사용하거나 상대적인 운동을 보간(Interpolation)하여 정의할 수 있는 요소입니다. 다중점 구속(Multi-Point Constraint)과 유사한 특성을 가집니다.
다음 표는 유한요소법에서 사용하는 일반적인 요소의 종류를 나타내었습니다.

표 1. 요소특성에 따른 분류

3. 요소 생성을 위한 필수 자료

일반적인 해석 대상 구조물은 모두 3차원 형상을 하고 있습니다. 하지만, 실제 해석을 수행할 때에는 이러한 3차원 형상을 구현해서 해석을 수행하기에는 상당한 노력과 시간이 필요합니다. 그러므로 효율적인 해석을 수행하기 위해서는 실제 모델을 이상화하여 그에 적합한 요소 모델을 사용하는 것이 효율적입니다. 

그림 6. 모델 이상화

그림6과 같은 보 형상은 크게 3가지로 이상화하여 해석을 수행할 수 있습니다.

첫 번째 방법은 3D CAD를 이용하여 3차원으로 모델링 할 수 있습니다. 이때 3차원 모델은 대상 모델에 대한 길이 정보와 단면정보를 모두 가지고 있으므로, 대상 보에 대한 재료 물성값이 무엇인지만 정의하면 해석을 수행할 수 있습니다. 일반적으로 모델을 이상화할 필요 없이 가장 간편하게 해석을 수행할 수 있는 경우입니다.

두 번째 방법으로는 2차원 형상 요소를 이용하는 방법입니다. 2차원 Shell 요소를 이용할 때 전체 길이에 대한 정보는 모델상에서 충분히 알 수 있으나, 단면의 정보는 누락이 됩니다. 그러므로 2차원 요소를 사용할 때 요소 특성치에서 단면의 두께 정보를 사용자가 입력하여야만 단면정보를 인식할 수 있습니다. 또한 재료에 대한 정의도 동반되어야 합니다.

세 번째 방법으로는 1차원 형상 요소를 이용하는 방법입니다. 1차원 요소는 선형 형상으로 모델링을 하게 되면 길이에 대한 정보만 알 수 있으며, 단면에 대한 정보는 모델링 상에서 알 수가 없습니다. 그러므로 사용자는 1차원 요소에 대한 요소 특성치를 입력하여 3차원 형상과 같은 단면정보를 가지는 값을 입력하여야 합니다.

상기 예제와 같이, 사용자는 해석 전에 대상 모델에 적합한 요소를 먼저 선정할 수 있어야 하며, 그에 따라 요소의 특성을 자유롭게 정의할 수 있어야 합니다.

표 2. 요소별 주요 특성치

4. 요 약

유한요소 해석에 있어 요소의 선택은 해석의 신뢰성과 해석 시간을 감소하는 데 있어 상당히 중요한 역할을 담당합니다. 사용자는 해석 수행 전에 모델 이상화를 통하여 대상 모델에 적합한 요소를 선택하여야 할 필요가 있으며, 각 요소를 정의할시 필요한 자료를 충분히 숙지하여 물리적 모델을 수치모델로 구성할 수 있도록 하여야 합니다. 각 요소에 대한 상세 설명은 다음 포스팅을 통하여 소개하도록 하겠습니다.

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