선형 자연계의 모든 현상은 엄밀하게는 모두 비선형 현상이라고 볼 수 있으나, 미소 변형의 범위 내에서는 선형정적해석을 수행하는 것으로도 비선형정적해석과 거의 동일한 해석결과를 얻을 수 있는 경우가 많습니다. 구조물에 하중이 가해지면 그 구조물은 변형을 일으키게 되고, 외력과 평형을 이루는 내부응력이 발생합니다.
<구조물의 응력>
응력은 외부하중의 작용에 대해 구조물이 자신의 모양을 유지하는데 요구되는 힘으로써 단위면적당 작용하는 힘(σ=F/A)으로 나타냅니다. 구조물이 파괴되지 않고 최대로 견딜 수 있는 응력을 한계응력(극한응력)이라고 하며 외부하중에 의한 발생응력의 크기가 한계응력을 초과하게 되면 구조물이 파괴됩니다.
그러므로 구조물을 설계하는 단계에서는 한계응력을 넘지 않도록 설계하는 것이 중요하며 발생응력과 한계응력을 비교하여 안전율(안전율=극한응력/발생응력)을 구할 수 있습니다.
선형정적해석은 시간에 무관한 정적인 하중이 구조물에 작용하고 있는 상태에 대하여 모든 비선형성을 무시할 수 있다는 조건하에서 구조물의 변형 및 응력 등을 얻기 위한 해석입니다. 구조해석을 수행하기 위해서는 유한요소 모델이 필요하고, 이 유한요소 모델은 연속체인 구조물을 절점으로 구성된 요소로 분할하여 표현한 것입니다.
요소를 구성하는 각 절점은 x, y, z축 방향에 대한 3개의 병진자유도(translation)와 3개의 회전자유도(rotation)을 나타내는 6개의 자유도(DOF : degree of freedom)를 갖고 있습니다. 3개의 병진자유도는 x, y, z축에 대하여 각 축방향으로 이동할 수 있는 Tx, Ty, Tz 이며 3개의 회전 자유도는 각 축에 대하여 회전할 수 있는 Rx, Ry, Rz 입니다. 이 자유도는, 구조물의 변형을 나타낼 수 있는 기본 변수입니다.
- · 외부 하중에 대해 구조물의 변형을 검토하는 해석입니다.
· 재료가 Hooke’s Law에 따라 탄성범위에 있고, 미소변형이 있고, 정적 하중이 작용하는 경우에 적용됩니다.
<선형정적해석의 예>
☑️ 선형정적해석의 지배방정식
구조해석에 사용되는 일반적인 지배 방정식은 다음과 같습니다.
<단자유도계(single DOF system)의 운동방정식>
는 관성력(inertial force), 는 감쇠력(damping force), 는 복원력(spring force)입니다. 관성력과 감쇠력을 포함하고, 하중이 시간에 따라 변화할 수 있는 일반적인 동적 거동을 나타내는 운동방정식입니다. 그러나 선형정적해석은 하중이 시간에 따라 변화하지 않는 정적인 하중이 작용하는 경우로 한정되어 관성력과 감쇠력이 무시하여 다음과 같은 단순한 운동방정식을 이용하는 해석입니다.
☑️ 선형정적해석의 가정
선형 정적해석을 수행함에 있어서 몇 가지의 기본적인 가정이 적용되어야 합니다. 해석에 사용되는 재료 물성치가 선형탄성(Linear Elastic)이며 균일한 재질로 가정합니다. 따라서 해석 대상물은 아무런 결함이 없는 연속체로 가정되고, 응력과 변형률이 선형적으로 비례하고, 하중은 재료의 항복점을 넘지 않는 범위에 대하여 적용됩니다.
재료 물성치가 선형탄성 부분에 있게 되면 응력과 변형률의 관계가 비례관계에 있는 것을 의미합니다. 즉, 힘을 3배로 가하면 변형률도 3배가 되고, 힘을 10배로 하면 변형률도 10배가 되는 것입니다. 예를 들어 1ton의 하중을 가했을 때 변위 5mm가 발생한다면 10ton의 하중을 가해보지 않아도 50mm의 변위가 생기는 것을 예측할 수 있는 것입니다.
<구조해석에서의 선형성>
하중을 가하지 않은 구조물은 초기 또는 잔류응력이 존재 하지 않은 것으로 가정됩니다. 또한 선형 정적해석의 변형은 미소한 것으로 가정하기 때문에 변위가 판 두께의 20% 이내, 요소의 작은 변 길이의 약 2% 이내의 미소변위가 일어나는 경우에 적용하는 것이 타당합니다. 그림은 일반 부재에 하중이 작용할 때 발생하는 응력과 변형율의 관계를 나타낸 것입니다.
<응력-변형률 곡선>
구조물이 항복응력을 넘어서면 응력의 증가가 없더라도 변형이 많이 발생하게 됩니다. 이런 현상을 “소성”이라고 하며 이런 현상은 연성재료에서 확인할 수 있습니다. 소성 구간에서는 힘을 제거하더라도 소성변형(영구변형)이 발생하게 됩니다.
연성재료는 항복응력을 기준으로 재료의 성질이 탄성에서 소성으로 선형정적해석에서는 재료 물성치가 선형탄성 구간에 있다고 가정하므로 응력-변형률 곡선에서 탄성구간의 기울기(탄성계수, E)만을 입력하면 되며 비선형 해석에서는 응력-변형률 곡선 데이터를 모두 입력하여 해석을 해야만 소성 변형에 의한 결과값까지 확인할 수 있습니다.
선형 해석에서 구조물은 정적인 평형상태를 이루어야 하므로 하중은 동적인 효과를 유발하지 않게 아주 천천히 가하는 것으로 가정됩니다. 선형 해석에서 각 요소는 실제 구조물의 물리적인 거동을 수학적인 방법으로 근사 시킬 수 있도록 탄성 연결하는 것과 같이 구성됩니다. 궁극적인 목표는 실제 구조물의 거동과 요소들의 거동이 동일할 수 있도록 만드는 것이며, 이를 위해서는 구조물의 성질을 잘 이해해야 하고 적절한 요소크기를 선택할 필요가 있습니다.
☑️ 선형정적해석의 모델
구조물의 분할 과정은, 실제 구조물과 이에 작용하는 하중 등을 근사적으로 해석하기 위한 수치해석 모델을 구성하는 과정입니다. 유한 요소법의 정확도는 연속체의 역학문제를 표현하는 미분방정식에서 얻어지는 변형에너지와 유한 요소법에서 이를 행렬식으로 표현했을 때 얻어지는 변형에너지 사이의 오차에 의해 좌우됩니다.
행렬식에서 얻어진 변형에너지를 원래의 정확한 변형에너지와 동일한 크기를 갖게 할 수만 있다면 이론적으로 유한 요소법에서도 정확한 해를 얻을 수 있습니다. 전체 구조물을 유한 개의 요소로 분할하는 과정에서 사용되는 요소의 종류, 형상 및 그 수를 결정하고, 절점의 위치를 정의 하는 것이 유한 요소법을 이용하여 정확한 해를 구함에 있어 매우 중요합니다. 이 분할 과정은 1차적으로 많은 경험을 거쳐서 얻은 공학적인 지식에 바탕을 둔 통찰력에 의한다고 할 수 있습니다.
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