유한요소해석에서 가장 중요한 것이 경계 조건이라 해도 과언은 아닙니다. 경계 조건은 부품이나 조립품이 사용 환경 속에서 외부로부터 받는 하중과 구속 조건을 의미합니다. 바꾸어 말하면, 경계 조건이란 실제로 모델링되지 않은 것들을 반영하기 위해 모델에 부여해야 하는 조건들입니다.
예를 들어 오토바이 바퀴에 대해 정교하게 유한요소 모델을 생성하였다면, 그것에 색상을 부여할 수도 있고, 화면상에서 회전시킬 수도 있고, 워크스테이션에서 만든 이미지로 감동을 줄 수도 있습니다. 허브를 구속하면서, 바퀴 외륜(rim)의 아랫부분을 손으로 잡고하중을 작용시킬 수도 있습니다.
또한 유한요소해석을 실행하여 구한 멋진 응력 결과를 보여줄 수도 있습니다. 해석 초보자에게 있어 이러한 시나리오의 문제점은 무엇인가? 오늘날 화려한 애니메이션 기술들은 매혹적일 수도 있습니다. 하지만, 이것은 매우 유용하지만 오해를 불러일으킬 수도 있습니다.
하중은 어떻게 구했는가? 타이어와 휠(wheel)의 경계면은 고려했는가? 타이어를 그 접촉면에서 힘과 모멘트를 생성하는 요소 대신, 차량 운동을 단순하게 구속하는 요소로 취급했는가? 허브를 완전히 구속하거나, 베어링의 하중 전달 특성을 적용시켰는가? 부착된 로터에 전달되는 제동 하중(braking load)은 고려했는가? 스프로킷(sprocket, 체인 톱니바퀴)에 의한 구동 하중은 고려했는가? 로터와 스프로킷과 허브간의 경계면은 고려했는가?
일반적인 경우와 마찬가지로 유한요소해석에서도 ‘쓰레기를 넣으면, 쓰레기가 나온다’는 격언은 통용됩니다. 그러나 유한요소해석은 쓰레기 같은 결과를 매우 멋지고 설득력 있게 보이게 한다는 차이점이 있습니다. 따라서 경계 조건을 정확하게 이해하고 제대로 반영하지 못한다면, 이 매력적인 결과들은 실제로는 아무런 의미가 없다는 것입니다.
그러므로 모델에 적용된 경계 조건을 가능한 철저하고 설득력 있게 정당화할 수 있어야 합니다. 선정한 하중과 구속 조건의 적합성을 동료들에게 이해시키지 못하면, 모델의 해석결과도 인정받기 어렵습니다. 물론 과정에 대한 설명 없이 단순히 결과만을 보고하는 방법을 선택할 수도 있습니다. 그러나 개발 단계에서 적용된 경계 조건에 대한 논의 없이, 단지 결과만을 설계 업무에 적용하는 것은 위험한 일이며 결코 바람직하지 않습니다.
때로는 경계 조건에 대한 심도 깊은 연구가 해석 결과보다 더 인상적일 때가 자주 있습니다. 사용 환경에 영향을 받는 해석 모델의 거동을 효과적으로 정의하는 방법을 강구하는 것은 매우 의미있는 일입니다.
1. 경계 조건이란?
앞에서 언급한 것처럼, 경계 조건에는 실제 운영 환경 속에 있는 해석 모델에 명시적으로 모델링하지 않은 모든 것들이 반영되어야 합니다. 또한 모델링되지 않은 부품에 의해 제한 혹은 허용되지 않는 변형들을 경계 조건에 의해서 제한 혹은 허용해서는 안 됩니다.
이러한 매우 중요한 개념들을 잘 이해할 수 있도록 경계 조건에 대해 상세히 설명합니다. 경계 조건을 완전히 이해하는 것은 매우 어렵기 때문에 모든 절들을 정독해야 합니다.
☑️ 단순한 예
의자의 중앙에 하중이 작용하는 단순한 해석을 고려해 보겠습니다. 이 하중은 단단한 자동차 부품상자이거나 의자에 앉은 사람일 수도 있습니다. 상자와 사람의 폭이 비슷하다고 가정하면,하중이 동일한 영역에 작용할 것입니다.
이 연구의 첫 단계로 균일 분포 하중을 3차원 쉘좌석 모델에 작용시키고, 의자 밑면과 다리가 만나는 영역은 단단하게 고정시킵니다. 의자에 대한 입력값과 구속은 경계 조건으로 모델링 합니다.
즉, 상자 또는 사람의 무게는 하중으로 입력하고, 다리와 좌석이 만나는 경계면은 구속 조건으로 처리합니다. 이 단순한 모델의 해석 결과는 아래의 그림과 같습니다. 이 경계 조건 설정에 적용된 고유한 가정들은 다음과 같이 요약될 수 있습니다.
· 의자 다리는 압축에 대해 강체로서 수직 변형이 전혀 발생하지 않습니다.
· 의자 다리는 굽힘에 대해 강체로서, 다리와 접하는 의자 밑면의 국부 경계면은 완전히 수평을 유지합니다.
· 좌석의 굽힘에 따른 측면 하중 성분에 의해 다리가 마룻바닥에서 미끄러지는 것은무시할 수 있습니다.
즉, 다리는 마룻바닥에 고·정되어 있거나 혹은 마찰력이 측면 하중을 지탱하기에 충분합니다.
·하중은 작용 시점뿐만 아니라 그 이후 계속해서 균일한 분포 상태로 모델링할 수 있습니다.
<좌석 중앙부에 하중을 받는 의자 좌석의 유한요소해석>
의자에 대한 개인적인 경험이나 일반적인 공학적 판단으로는 이 가정 중 일부를 수용하기 어려울 것입니다. 첫째, 그림처럼 다리와 접하는 좌석의 국부 영역이 평면인 경우보다 의자 좌석 전체가 일정한 곡률로 변형되는 것이 직관적으로 보다 현실적입니다.
둘째, 단순히 전단 효과에 의해 각 다리의 상단에서 수평 변위를 예상할 수 있습니다. 셋째, 좌석의 굽힘으로 인한 좌석의 수평 방향으로의 변위는 중요합니다. 마지막으로, 압축과 굽힘 상태에서 다리의 약한 강성은 최종 변형 형상에 상당한 영향을 미칠 것입니다.
이러한 이유로 다음 해석 단계에서는 다리 형상을 실제 모델링하고 의자 좌석 밑면에 부여하였던 구속을 다리 하단으로 옮깁니다. 이 단계에서 경계 조건은 이전과 동일하지만, 마룻바닥에 의한 구속이 새로이 추가되어야 합니다.
마룻바닥에서의 응력 또는 마찰 효과가 반드시 고려되어야 할 경우나 혹은 다리 형상을 실제 반영할 경우 발생하는 하중 분포에 대해 보다 상세한 정보를 필요할 경우, 이것을 위해 보다 상세한 세 번째 단계의 연구가 필요할 수 있습니다. 이 세 번째 단계에서는 좌석과 다리의 상단부, 그리고 다리의 하단부와 마룻바닥 사이에 접촉 경계면(contact interface)을 반영해야 합니다.
이 세 번째 유한요소 모델에서 보다 복잡하고 새로운 경계 조건은 마룻바닥 아래 기초(foundation)와 중력에 의한 가속력(acceleration force)이 될 수 있습니다. 두 번째 또는 세 번째 해석 단계에서의 보다 구체화된 구속 조건에 따라 변형은 첫 번째 해석에서 구한 값보다 약 10배 정도로 커질 것입니다.
이러한 큰 차이는 첫 번째 해석 단계에서 과잉 구속에 따른 의자 모델의 가상강성(fictitious rigidity) 때문에 발생합니다. 이 중요한 개념에 대해 매우 유의해야 합니다.
앞에서 언급한 오토바이 바퀴와 의자 해석의 예를 통해서 알 수 있듯이, 모델링을 어디까지 해야 할지를 결정짓는 것은 해석 목표와 모델링에서 제외된 부분을 경계 조건으로 정확히 처리할 수 있는 능력에 달려 있습니다. 대부분의 유한요소해석 프로그램들은 변위에 기반을 두고 있습니다. 그러므로 관심이 되는 모든 결과들은 변위나 변형률로부터 계산됩니다.
유한요소해석의 정확성을 평가하기 위해 가장 좋은 방안은 실제 변위 값과 비교 검토하는 것입니다. 이 방법을 사용했을 때 모델이 타당하지 않으면, 나머지 다른 해석 결과도 의심해야 합니다.
☑️ 경계 조건의 유형
경계 조건은 구속(constraint)과 하중(load)으로 구분된다. 일반적으로 하중은 대상 구조물에 대한 외부 입력을 적용하기 위해 사용됩니다. 그것은 힘 또는 모멘트, 압력, 온도,가속도의 형태가 될 수 있습니다. 반면에 구속은 일반적으로 구조물이 받고 있는 하중에 대한 반작용 역할을 합니다.
사용할 요소의 유형에 따라 다르겠지만, 구속은 구조물의 병진과 회전 운동에 대해 저항할 수 있습니다. 그러나 미리 알고 있는 변위를 직접 적용하는 것과 같이, 때로는 구속 조건을 사용하여 모델에 하중을 부과하는 것이 편리할 때도 있습니다.
또 다른 경우는 구속에 의해 유발되는 국부 강성(local rigidity) 증가를 최소화시켜 구조물을 평형 상태로 만들기 위해 하중이 사용될 수도 있습니다. 핸드폰과 같은 휴대용 기기의 자유 낙하 해석에서는 실제 지상 기준점(ground point)이나 고정면이 없습니다. 따라서 자유 물체도를 활용하고 단지 모델을 평형 상태에 있게 하기 위해 구속을 적용하는 것이 보다 현실적일 수 있습니다.
경계 조건 적용을 위한 기준 좌표계로 전역 좌표계(global coordinate system) 외에 다른 좌표계를 사용할 수 있습니다. 보통 직교 좌표계가 사용되지만, 원통 좌표계 또는 구 좌표계가 원하는 하중과 구속을 보다 정확하고 쉽게 정의할 수 있는 경우에는 이들 좌표계를 사용할 수도 있습니다.
선형 정적 해석에서는 경계 조건이 적용 시점부터 구조물의 최종 변형시까지 일정하다고 가정합니다. 반면에 동해석에서는 경계 조건이 시간에 따라 변하고,비선형 해석에서는 경계 조건의 방향과 크기가 구조물의 변위에 따라 변할 수 있습니다.
☑️ 공간 자유도와 요소 자유
경계 조건 방안을 평가할 때 필수적인 사항은 해석 모델을 위해 사용된 요소 또는 국부적으로 사용된 요소를 고려한 하중이나 구속의 선정입니다. 이 선정은 이들 요소가 지원하는 자유도에 의해 항상 지배를 받습니다. 유한요소 모델링에서 자유도의 개념은 두 가지 방식으로 사용됩니다.
첫 번째로 공간 자유도(spatial DOF)는 3차원 공간에서 어떤 요소나 물체가 세 개의 병진과 세 개의 회전이 가능함을 의미합니다. 해석이 가능하기 위해서는 구속 계획(constraint scheme)을 통해 6개의 자유도가 모두 구속되어야 합니다. 이것은 병진 또는 회전 구속의 다양한 조합으로 가능합니다. 구속되지 않고 남겨진 공간 자유도는 해석을 불가능하게 만들기 때문에 해를 구할 수 없게 합니다.
자유도의 두 번째 개념은 요소 자유도(elemental DOF)로, 각각의 요소가 하중을 전달하거나 반응하는 능력을 의미합니다. 경계조건이 적용된 요소의 자유도와 맞지 않는 하중을 가하거나 변위를 구속할 수 없습니다. 비록 특정한 전처리기가 요소 자유도와 맞지 않는 경계 조건을 적용할 수 있다고 하더라도, 솔버는 그것을 인식하지 못합니다. 즉, 솔버는 하중과 구속이 전혀 존재하지 않는 것으로 간주하여 해석을 수행할 것입니다. 따라서 혼란과 오해를 피하기 위해, 요소 자유도와 맞지 않는 경계 조건을 부여하지 않는 것이 바람직합니다.
☑️ 경계 조건과 정확성
앞의 예에서 설명한 바와 같이, 경계 조건의 선정은 전체 구조물의 정확성에 직접적인 영향을 미칩니다. 전체 구조물의 강성이 정확하게 모델링되어야 국부적인 거동도 정확하게 계산됩니다. 경계 조건 정의에서 주의해야 할 두 가지 바람직하지 않은 영향은 경계 조건으로 인해 모델이 과대 강성(overstiffening) 또는 과소 강성이 되는 것입니다.
일반적으로 과대 강성이 많이 발생하는데, 그 이유는 실제와는 다르게 유한요소해석의구속은 완벽하기 때문입니다. 그러므로 구속 영역 주위에서 강성의 부가적인 발생을 피하는 것은 매우 어렵습니다.
부적절하게 적용한 구속으로 인하여 발생한 과대 강성을 과다 구속(overconstrained)이라고 합니다. 과다 구속 모델은 불필요한 과잉 구속(redundant constraint) 또는 과도 구속(excessive constraint)에 의해 발생하거나, 2차원 또는 3차원 모델에서 변형률 연성화(strain coupling)에 주의하지 못하여 발생할 수 있습니다.
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