2D 요소를 이용한 빠르고 정확한 FEM 해석 방법

2023년 02월 03일

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해석지식통 기술 자료

캔 음료수, 항공기 날개 그리고 올림픽 경기장의 지붕 등은 대표적인 쉘 구조물(shell-like structure)입니다. 쉘 구조물의 기하학적 특징은 평판(plate-like structure)과 달리 유한한 곡률반경(radius of curvature)을 가진 곡면으로 되어 있다는 점입니다. 예를 들어, 음료수의 캔은 수직방향으로는 곡률반경이 무한대인 직선형상이지만 원주방향으로는 유한한 반경을 가진 곡면으로 되어 있습니다. 

 

1. 2차원 요소의 사용

  

2차원 요소를 사용한 요소망 생성

 

<2차원 요소를 사용한 요소망 생성>

 

쉘 구조물의 또 다른 주요한 특징은 두께가 구조물 전체 크기에 비해 상대적으로 매우 얇은 박판 구조물(thin-walled structure)로서, 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress)이 두께 방향으로 극히 미소한 변화를 나타냅니다. 이러한 특성 때문에 구조물의 변형을 두께 방향으로 일정하거나 아니면 직선으로 변한다고 가정하여도 큰 문제가 되지 않습니다. 쉘 구조물의 두께 방향으로의 변형은 미리 가정되었기 때문에 구조물의 중립면(neutral surface)에서의 변형만 구하게 되면 구조물 전체의 변형은 자연스럽게 계산됩니다.

 

쉘 요소의 각 절점(node)에서는 3방향으로의 병진 자유도(translation degree of freedom)와 2개의 회전 자유도(rotation degree of freedom)를 가지고 있습니다. 그리고 쉘 요소에서는 두께 방향으로의 변형률과 응력 성분들은 모두 0의 값을 나타냅니다. 

 

다시 말해, 구조물은 대부분 평면응력 상태(plane stress state)로 가정되고, 쉘 요소로 구한 변형은 이러한 가정을 만족하도록 정의되어 있습니다. 한편, 평판 요소(plate element)는 곡률반경이 무한대인 쉘 요소의 특수한 요소 유형입니다.

 

두께가 상대적으로 작은 보(beam)나 평판(plate) 그리고 쉘(shell) 형상의 박판 구조물은 그렇지 않은 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 쉽게 생각합니다. 두께가 얇으므로 두께 방향으로의 거동 변화를 무시할 수 있으므로 2차원 요소망을 적용할 수 있으므로 상대적으로 적은 양의 요소수로 효과적으로 해석을 수행할 수 있는 장점을 제공하는 것은 분명한 사실입니다.

 

하지만, 실제로는 신뢰성 있는 해석 결과를 도출하기 위해서 박판 구조물이 더 어려우며 주의를 기울이지 않으면 오차가 매우 높은 해석 결과에 도달할 수 있습니다.

 

2차원 요소를 사용 가능/불가능한 형상

 

•  상대적으로 얇은 두께를 가지는 평면/곡면을 표현하는 데 유용합니다.
•  솔리드 요소에 비해 요소 및 절점 수가 몇 배 이상 적어지므로, 솔리드 요소보다 쉘요소가 효율적입니다.
•  쉘요소는 솔리드 요소에 비해 굽힘 거동에 대한 결과가 정확하므로, 굽힘이나 평면 내에서 거동이 중요할 때 사용됩니다. 

 

2. 2차원 요소(Shell Element)란?


2차원 요소(shell Element)는 쉘 구조물의 특성을 이용하여 중립면을 작은 영역으로 세분화시킨 하나하나를 지칭합니다. 따라서 쉘 요소는 2차원 유한요소(finite element)입니다. 쉘 요소는 사각형이거나 삼각형일 수 있습니다. 

 

일반적으로 조밀도가 유사하다면 사각형 요소망이 삼각형 요소망보다 더 정확합니다. 대부분의 전처리기는 사각형으로만 요소망을 구성하거나, 불가피한 영역에만 삼각형을 적용하고 나머지 영역에는 사각형으로 요소망으로 구성한다. 삼각형 요소망은 점진적인 형상 변화 천이 영역에 사용됩니다. 1차 쉘 요소는 일반적으로 평면이기 때문에 실제 형상이 평면에서 벗어날수록 정확성이 떨어집니다.

 

고차 쉘 요소는 곡선 형상인 경우에도 정확한 결과를 제공할 수 있습니다. 실제로 고차 요소를 사용하는 장점 중 하나는, 곡선 형상의 중간에 절점을 위치시킴으로써 모델의 정확도를 높이기 위함입니다.

 

대부분의 1차 삼각형 요소는 요소 내에서 일정한 변형률만 표현할 수 있으므로, 일정 변형률 요소(constant strain element)라고도 합니다. 이 한계로 인하여 주어진 하중에서 지나치게 강성이 큰 결과를 초래하여, 국부적인 변형률 변화를 어렵게 합니다. 따라서 1차 삼각형 요소는 변형률 변화가 작은 곡면이나 평면에 사용하면 적절한 결과를 제공합니다.

 

2차원 요소(Shell Element)

 

<2차원 요소(Shell Element)>

 

2.1 중립면과 중간 면
 

중립면

중간면 일치/불일치

 

<중립면과 중간면 일치/불일치>

 

단면이 정사각형인 기다란 나무를 길이 방향으로 잡아당기면 단면상의 모든 부분은 일정한 길이만큼 늘어납니다. 반면 나무의 양 끝을 잡고 구부리면 일정한 반경을 가진 원 모양으로 휘어집니다. 이렇게 휘어진 나무의 단면을 세심하게 관찰하면, 단면의 일정 부분은 늘어나지만 나머지 부분은 압축됩니다. 그리고 단면상에서 늘어나지도 줄어들지도 않는 특정한 부분이 존재합니다.

 

다시 말해, 단면상의 이러한 특정한 부분을 중심으로 늘어나는 부분과 줄어드는 부분이 나뉘게 되고, 늘어나거나 줄어드는 양도 이 부분으로부터 수직인 거리에 비례합니다. 단면상의 이 부분을 가느다란 나무의 길이 방향으로 연장하면 하나의 직사각형 면이 되는데, 이 면을 중립면이라고 부른다.

 

단면이 정사각형 혹은 원으로 되어 있는 동일한 재질의 경우라면, 중립면은 단면의 중간 면(mid surface)과 일치할 것입니다. 하지만 단면의 모양이 상하 그리고 좌우로 대칭이 아니거나 두 가지 이상의 재료로 구성된 복합재(composite material)인 경우에는 중립면과 중간 면은 더 이상 일치하지 않습니다.

 

중립면의 중앙에 해당하는 중심선을 중립 축(neutral axis)이라고 부르고, 가느다란 나무의 기하학적 중심축과 일치할 수도 그렇지 않을 수도 있습니다. 앞서 말한 바와 같이 단면이 좌우 혹은 상하 대칭이 아니거나 복합재로 되어 있는 경우에 중립 축과 중심축은 일치하지 않습니다.

 

중립면과 중립 축은 굽힘을 받는 물체의 변형(deformation), 변형률(strain), 응력(stress), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 및 면적 관성모멘트(area moment of inertia) 계산을 위한 기준이 되는 면이나 선이 됩니다.

 

2.2 2차원 요소망 생성

 

2차원 요소를 사용한 쉘 모델을 구성하기 위해서는 어떤 형태로든 중간 면이 필요합니다. CAD와 통합된 일부 전처리기는 쉘 모델 생성에 필요한 중간 면을 추출하는 기능을 제공합니다. 그러나 이 기능이 자동적으로 실행되는 것은 아닙니다. 형상 또는 생성된 중간 면에 대한 부분적인 수작업이 필요하며, 그 기법도 소프트웨어에 따라 다양합니다.

 

일반적으로 사용되는 다른 한 방법은 얇은 솔리드의 바깥 면이나 안쪽 면에 쉘 요소망을 적용하는 것입니다. 이 면들은 중간 면으로부터 두께의 절반만 경우, 중간 면만으로 표현할 수 있는 부분과 그렇지 않은 부분을 옵셋되어 있지만, 벽 두께에 비해 부품이 매우 크기 때문에 해석 결과에서의 오차는 거의 없습니다.

 

중간면과 바깥 면 거동이 거의 동일한 박판 부품

 

<중간면과 바깥 면 거동이 거의 동일한 박판 부품>

 

자동차 본체 패널의 경우, 판의 중간 면이나 쪽 면, 바깥 면 중 어느 것을 선택하여 쉘로 모델링하더라도 그 차이는 구별하기 어렵습니다.

 

그러나 두께가 두꺼운 부품의 경우에는 중간 면과 바깥 면은 서로 다른 응력 결과를 보일 것입니다. 유효한 모델링의 가정이 바깥 면인지 안쪽 면인지 불확실하면, 간단한 시험 모델로 검토 해석을 시도해 보아야 합니다.

 

일부 해석 프로그램은 부재의 중간 면에 쉘 요소망을 생성하기 위해 부재의 중립면을 옵셋할 수 있는 기능을 제공합니다.

 

중간면 추출 후 쉘 요소망 생성

 

<중간면 추출 후 쉘 요소망 생성>

 

3. 2차원 요소의 특성치

 

쉘 요소망의 기본적인 위치는 중간 면입니다. 대부분의 해석 프로그램은 해당 요소의 중간 면에 옵셋 값을 적용하여 형상을 보다 유연하게 표현하는 기능을 제공합니다.

 

쉘 요소 적용에 있어 중간면을 옵셋한 예

 

<쉘 요소 적용에 있어 중간면을 옵셋한 예>

 

일반적으로 쉘 요소망은 균일한 두께로 정의되지만, 어떤 프로그램은 두께가 변하는 테이퍼형 쉘 요소로 모델링하는 기능을 제공합니다. 테이퍼형 두께 변화를 적용하기 전에, 정확성을 높일 수 있도록 시험 모델로 사전 검증할 필요가 있습니다. 대부분의 경우는 벽 단면을 균일한 두께 또는 평균 두께, 계단형 두께 형태로 정의해도 충분합니다.

 

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