목차 (Table of Contents)
1. 서론
2. 뉴튼 랩슨법
3. 하중증분
3. 수렴조건
4. 맺음말
1. 서론
비선형 시스템은 선형 시스템과 여러가지 면에서 다르지만, 사용자들이 가장 먼저 느끼는 다른 점은 아마도 해석 절차일 것 입니다. 선형 시스템에서는 경계 조건과 하중 조건을 주면 대부분의 문제를 풀 수 있는데 반해, 비선형 시스템에서는 하중 증분이라든지 수렴 조건 등 여러가지 다른 변수들을 지정해 주어야 합니다. 이러한 추가적인 변수들이 처음 비선형 해석을 접하는 사용자들을 혼란스럽게 만들고, 또한 잘못된 변수 값을 지정함으로써 해석을 성공적으로 수행할 수 없게 만드는 경우도 흔히 발생합니다.
이번 컬럼은 비선형 시스템에서 자주 사용되는 해석 절차들을 고찰함으로써 이러한 추가적인 변수들의 의미를 이해하고 사용자들이 쉽게 비선형 해석을 수행할 수 있도록 도움을 주는 것을 목적으로 합니다.
다음은 비선형 해석 절차에 필요한 용어들을 간단히 정리한 것입니다.
1) 수렴 반복 계산 (Convergence iteration)
선형 시스템에서는 하중과 변위의 관계식이 선형이기 때문에 한번의 계산으로 결과를 구할 수 있지만, 비선형 시스템에서는 주어진 하중하에서 해가 수렴할 때까지 반복계산을 해야 합니다. 반복 계산은 주로 뉴튼 랩슨법 계열의 방법을 많이 사용합니다.
2) 하중 증분 (Load increment)
비선형 해석에서는 최대 하중을 한꺼번에 작용하지 않고 여러 단계에 걸쳐서 점차적으로 증가시켜 나갑니다. 이렇게 함으로써 해석이 수렴을 더 잘하고 해석 결과가 더 정확할 수 있습니다. 하중 증분을 크게 하면 해석이 수렴하지 않을 수 있으며 증분이 작으면 해석 시간이 많이 소요됩니다.
3) 수렴 조건 (Convergence criterion)
수치 해석에서 구한 해의 정확도를 판단하기 위해서, 각 반복 계산에서 구한 변위의 증가나 내력과 외력의 차이가 허용 오차보다 작을 때 해가 수렴했다고 간주합니다. 수렴 조건은 변위, 하중, 또는 에너지에 대해서 설정할 수 있습니다.
2. 뉴튼 랩슨법 (Newton-Raphson Method)
비선형 구조 해석은 작용 하중 (또는 경계 조건)에 의해 발생하는 외력과 변형률과 응력에 의해 발생하는 내력의 평형을 계산하는 것입니다. 외력을 F라고 하고 변위 u에 의한 내력을 P(u)라고 한다면, 평형 조건은 다음의 식으로 나타낼 수 있습니다.
P(u) = F
선형 시스템에서는 내력을 강성 행렬과 변위의 곱[P(u) = Ku] 으로 표현할 수 있으므로 강성 행렬의 역을 곱함으로써 변위를 계산할 수 있습니다.
비선형 시스템에서는 P(u)가 변위에 대해서 비선형 함수이므로 위의 식을 행렬식으로 간단히 풀 수는 없습니다. 비선형 시스템을 푸는 방식은 모두 반복 계산을 이용합니다. 즉, 초기 예측값 u^0를 시작으로 하여 변위 증분 du를 선형화라는 과정을 걸쳐서 구하는 것입니다. 변위가 수렴할 때까지 이 과정을 반복해서 해의 증분을 더해갑니다.
뉴튼 랩슨법은 많은 비선형 해석법 중에서 해가 빨리 수렴하는 방법 중의 하나로 가장 흔히 사용되는 방법입니다. 이 방법은 1차 테일러 시리즈 확장법(Taylor series expansion)을 사용해서 비선형식을 선형화하여 푸는 방식입니다. 그림 1에 나타낸 것처럼, i번째 반복 계산에서 현재의 해 u^i 위치에서 내력 P(u)을 선형화한 접선강성 Kt^i를 이용하여 새로운 해 u^(i+1)를 구합니다. 이 과정을 반복하여 P(u) = F가 되는 수렴해를 찾아갑니다.
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