전산 점근해석 기법의 응용

Q: 점근해석기법이 해석적 어려움을 극복할 수 있었던 이유는?

유한요소법은 앞서 언급한 점근해석기법의 해석적 어려움을 극복할 수 있게 하는 강력한 수치적 기법이다. 점근전개에 의해 발생하는 모든 해석적 방법의 문제점을 이 유한요소법의 적용에 의해 해소되여졌다고 해도 과언이 아니다. 점근해석기법의 적용에 있어 가장 문제가 되었던 부분이 바로 임의의 형상에 관한 문제이다. 특히 강 구조물의 주 부재로 쓰이는 보의 비틀림 강성을 예측하는데 있어 이 방법이 널리 적용되고 있다

점근해석기법이라 하면 일반적으로 유한요소 해석기술을 사용하는 공학자들에게 생소한 분야이다. 또한 점근해석을 들어본 공학자들도 점근해석은 비선형 진동등의 문제를 수학적으로 푸는 방법론 정도로 알려져 있다. 실제로 저자에게도 유한요소기법을 점근해석에 적용하기 전까지는 단순히 접근하기 꺼려지는 수학적 해석기법중의 하나에 불과하였었다.

1. 서론

이 점근기법이 새로이 주목받기 시작한 것은 역설적이게도 유한요소법의 발달에 힘입은 바 크다고 할 수 있다. 전통적으로 점근해석기법은 복잡한 3차원 문제 또는 비선형 문제 등을 해석적으로(analytically) 접근하기 위한 방법론이다. 그럼에도 불구하고 그 적용분야는 등방성 재료 등의 단순한 문제등에 제한적으로 적용되어 왔다.

그 이유는 복잡한 문제를 점근전개를 통하여 비교적 단순한 일련의 문제로 만들었다 하더라도 이 “단순한” 문제들의 해석해는 여전히 고급수학기법의 적용없이는 풀기 힘들었기 때문이다. 또한 고급수학의 적용에도 풀리지 않는 문제가 다수 존재한다. 여기에 유한요소기법을 적용하여 일련의 단순한 문제에 대한 해를 구하는 것이 “전산점근해석” 이라고 할 수 있다.

한편 전산점근해석기법은 그 기초가 되는 점근해석기법을 그대로 차용하기 때문에 해석적 방법에서 사용되어지는 기술의 상당부분이 같은 방법론에 기초하고 있다. 따라서 해석적 방법인 점근해석기법의 장점과 수치적 방법인 유한요소법의 장점을 모두 취할 수 있다는 장점이 있다. 전자가 강력한 수학적 배경을 제공한다고 했을 때 (즉, 공학적 가정을 최소화) 후자는 강력한 수치적 방법을 제공한다.(즉, 임의의 형상에 대한 해석 가능)

2. 점근해석기법이란?

점근해석은 함수에 대한 근사값이라 할 수 있다. 가장 쉬운 예제로써 어떤함수 f(n)=n2+3n을 고려했을때, 만약 n이 매우 작은 수라면, 함수 f(n)은 3n으로 근사될 수 있다. 즉. f(n)~3n as n→0. 점근전개(asymptotic expansion)라 함은 어떤함수 f(n)에 대하여 최소 근사값을 시작으로 보다 더 정확한 값을 더하여 f(n)에 대한 근사를 시리즈의 형태로 표현할 수 있음을 나타낸다.

여기서 ε은 매개변수이며, 작은상수 (ε<<1)이다. 이러한 점근전개는 고전적 판 이론을 유도하는데 유용하다. 판의 두께비 (h/L)를 매개변수로 취하면 3차원 응력평형 방정식으로부터 고전판이론의 평형방정식을 유도할 수 있다. 응력과 변위에 매개변수에 의한 스케일을 적용하고 매개변수의 항으로 평형방정식을 정리하면 고전판이론 (Kirchhoff plate theory)을 얻게 된다.

고전적인 점근전개에 있어서는 모든 과정을 해석적으로 접근하기 때문에 등방성문제에 국한되어져 있다. 현대와 같이 이방성 재료가 쓰이는 구조물에 대해서는 그 적용에 한계가 있다. 그럼에도 불구하고 점근해석기법의 유용성은 앞서 언급한대로 그 수학적 강력함에 있다 할 수 있다. 매우 복잡한 형태를 취하는 현대의 구조물 해석에 있어 공학적 감각에 의한 가정은 그 한계를 가질 수 밖에 없기 때문이다.

3. 전산역학과 점근해석기법

수치해석기법인 유한요소법은 앞서 언급한 점근해석기법의 해석적 어려움을 극복할 수 있게 하는 강력한 수치적 기법이다. 점근전개에 의해 발생하는 모든 해석적 방법의 문제점을 이 유한요소법의 적용에 의해 해소되여졌다고 해도 과언이 아니다. 점근해석기법의 적용에 있어 가장 문제가 되었던 부분이 바로 임의의 형상에 관한 문제이다. 특히 강 구조물의 주 부재로 쓰이는 보의 비틀림 강성을 예측하는데 있어 이 방법이 널리 적용되고 있다

그림 1: 보 단면의 뒤틀림 강성계산을 위한 유한요소모델

그림 1에 보이는 예제는 실제 건축물에 쓰이는 여러가지 형태의 보 단면에 대한 보의 등가 강성 및 전단중심을 계산하기 위하여 쓰여진 유한요소 모델을 보여주고 있다. 이렇게 만들어진 보 데이터는 이후의 설계에 데이터베이스 역할을 하게 된다.

1990년대 중반부터 이렇게 점근해석기법에 유한요소법을 도입하는 연구가 비교적 활발하게 시작되었다. 단순히 구조물의 등가 강성을 구하는 것에서 부터 등가 강성을 체계적으로 축소된 모델(즉, 보 또는 판)에 연계시키는 방법까지 다양하게 연구되어지고 있다.

전통적으로 유럽을 중심으로 점근 균질화법(asymptotic homogenization)이 잘 발달되었으며, 최근에는 새로운 재료의 멀티피직스 등가 물성치를 계산하는 것에 활발히 적용되어지고 있다. 이제 유한요소법에 기초한 균질화법은 더 이상 첨단의 연구가 아니게 되었다. 이러한 전산점근해석기법은 개인컴퓨터 수준에서 계산이 가능하다는 장점이 있다.

본질적으로 점근해석기법 자체가 특정(또는 특성)길이 방향으로의 반복 또는 상대적 스케일을 이용하기 때문에 완전한 3차원 유한요소해석 대신에 국소적 3차원 유한요소해석, 2차원 유한요소 해석, 또는 1차원 유한요소해석으로 축소가 가능하다.

이는 고도의 컴퓨터 발전에도 불구하고 대상 구조물에 대한 완전한 3차원 유한요소해석이 현실적으로 불가능한 많은 문제에 적용하기에 유용하다. 필자의 경험으로는 자세한 응력 분포를 계산함에 있어 24GB메모리의 쿼드코어 개인용 컴퓨터정도로는 구조물에 대한 완전한 3차원 유한요소해석은 만족할 만한 결과를 주지 못한다. 따라서 보/판/쉘 요소 등이 사용이 필수적이라 했을 때 일반 이방성 재료로 만들어진 보/판/쉘 해석에서 등가 강성의 계산은 매우 중요한 문제라 할 수 있다.

4. 전산점근해석 - 보

이절에서는 전산점근해석에 다소 생소한 독자들을 위해 응용예제로써 보(beam)구조물에서의 단면해석을 소개하고자 한다 (그림 2). 3차원 보 구조물을 점근전개를 통해 2차원 단면해석과 1차원 보해석으로 분리할 수 있다. 자세한 전개는 다소의 수학적 지식을 필요로 하기 때문에 예제의 결과들을 중심으로 설명하고자 한다.

그림 2: 보 구조물의 단면해석을 위한 스케일

그림 2에서 보이는 것 처럼 단면형상은 매개변수(h/l)로 스케일 되어질 수 있다. 이 매개변수는 기하학적으로는 단면의 차원이 보 길이의 차원보다 매우 작음을 의미하고, 보다 더 정확히는 단면의 wave length가 보의 길이의 wave length보다 매우 작음을 나타낸다. 이 매개변수를 통해서 2차원 단면해석과 1차원 보의 해석으로 점근적으로 분리할 수 있고, 2차원 단면해석의 결과는 1차원 보문제에서의 등가강성 및 경계조건에 영향을 준다.

2차원 단면해석에서의 수치적으로 중요한 문제중의 하나는 경계조건이다. 보 단면의 경계(cross-sectional boundary)는 응력 또는 변위가 기술되지 않는것이 보통이기 때문이다. 유한요소법은 강체모드를 제거하지 않으면 강성행렬의 역 행렬을 구할 수 없다. 따라서 변위를 구속하는 대신에 라그랑지 승수를 도입하여 강체모드를 잡아주는 것이 필요하다. 강체모드는 강성행렬의 강체모드를 구해서 계산할 수도 있으나, 전산점근해석 중에 강체모드를 해석적으로 계산하는 것이 수치적으로 더 정확하다.

그림 3: 사각단면에 대한 유한요소 메쉬