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자연계에서 발생하는 임의 현상을 실험이나 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 분석하는 경우, 분석결과와 실제 현상 사이에는 반드시 차이가 존재하며 이것을 총칭하여 오차(error)로 정의하고 있다. 이 오차에는 크게 실제 현상을 실험적인 모델이나 수학적인 표현으로 전환하는 과정에서 한계성과 불확실성 등에 기인한 모델링 오차(modeling error)와 수학적 표현을 계산하는 과정에서 발생하는 수치해석 오차로 나눌 수 있다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 수치해석 오차는 수학적인 표현을 급수형태의 함수를 도입하여 근사적으로 푸는 근본적인 원리에 기인한다. 급수형태의 함수에 있어 정확한 답을 계산하기 위해서는 급수의 무한차수 항까지 포함시켜야 하는데 이것은 현실적으로 불가능한 일이다. 예를 들어, 우리 생활과 아주 밀접한 전자계산기도 여러 가지 복잡한 함수들을 급수형태로 전개하여 근사적인 해답을 제공한다. 이 경우, 몇 차수까지 포함시키느냐에 따라 계산기의 정확도가 결정된다. 하지만 최근 컴퓨터 성능의 급속한 발전으로 이러한 한계성은 많이 극복되고 있다.
한편, 이러한 근사해법 자체 외에도 수치해석 오차에 영향을 미치는 인자들이 많이 존재한다. 예를 들어, 실제 현상에 관여하는 재료 물성치(material property)의 정확성, 거동과 관련된 각종 경계조건(boundary condition)과 구속조건, 그리고 수치해석 기법과 관련된 유한요소의 크기(element size)와 시간 간격(time step) 등과 같은 파라메터 등이다.
주어진 조건 속에서 유한요소 해석의 수치해석 오차를 줄이는 가장 일반적인 방법은 요소 크기(element size) (h)와 요소 차수(element order) (p) 그리고 시간간격(dt)을 줄이는 것이다. 그리고 이러한 파라메터를 적절히 조정하여 수치해석 오차를 줄여가는 기법으로 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)이 있다.
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일정한 거리에 높이가 다른 두 개의 성냥개비를 수직으로 세운 뒤 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 비스듬하게 기울어진 직선 형태가 된다. 하지만 높이가 앞의 두 성냥개비와 다른 성냥개비 하나를 가운데에 추가로 설치한 후, 세 개의 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 성냥개비와 성냥개비 사이에서 기울기가 다른 비스듬한 연속적인 직선 형태가 된다. 이렇게 두 성냥개비 사이에 계속해서 높이가 서로 다른 성냥개비들을 추가하게 되면 실의 형태는 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 보다 많은 직선들로 구성된다.
여기서 설치되어 있는 실의 모양이 양 끝에 설치된 성냥개비 사이의 실의 변형(deformation) 분포를 나타낸다고 가정하면, 성냥개비 사이 각 지점에서 실의 높이는 그 지점에서의 실의 변형 값에 해당된다. 한편 각 성냥개비의 높이를 바꾸면 실의 높이도 바뀌게 되어 변형분포도 달라질 것이다. 더욱이 성냥개비의 개수를 증가시키면 보다 복잡한 변형분포를 표현할 수 있을 것이다. 여기서 인접한 두 성냥개비의 사이의 영역이 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 유한요소(finite element)에 해당되고, 그 간격이 요소망(mesh)의 크기, 즉 격자 크기에 해당된다.
따라서 격자 크기를 줄인다는 말은 유한요소의 개수를 증가시킨다는 뜻이다. 그리고 앞서 예시한 것과 같이 격자 크기를 줄이면 보다 복잡한 변형분포를 표현할 수 있기 때문에 유한요소 해석결과의 정확성을 향상시킬 수 있다. 참고로, 유한요소 해석의 정확성과 직결되는 다른 두 인자는 요소 차수(element order)와 시간 간격(time step)의 크기이다.
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두께가 부재의 전체 크기에 비해 현저히 작은 구조물을 박판 구조물이라고 부른다. 평판(plate)이나 쉘(shell)과 같은 부재가 대표적인 예로서 유한요소 해석에서는 구조물의 중립면(neutral plane)에 2차원 요소망(mesh)을 적용하여 중립면의 변위(displacement)를 구하는 것이 효과적이다. 그 이유로는 두께 방향으로 변위의 변화는 매우 미소하기 때문에 일정하게 혹은 직선형태로 미리 가정할 수 있기 때문이다. 중립면에 적용되는 유한요소(finite element)를 각각 평판 요소(plate element) 그리고 쉘 요소(shell element)라고 부른다.
박판 구조물은 역학적 그리고 유한요소 해석(finite element analysis)적 측면에서 뚜렷이 구별되는 특성을 지니고 있다. 역학적 측면에서는 구조물의 두께방향으로 변형률과 응력 성분이 0인 평면응력 상태(plane stress state)에 있다는 점이다. 하지만 이러한 가정은 두께가 무한히 작은 극한상태(limit state)에 해당되기 때문에 실제로는 어느 정도의 변형률과 응력이 존재하고, 두께가 증가할수록 이 가정으로부터 멀어진다. 유한요소 해석 측면에서 요소크기(element size)가 크거나 요소차수(element order)가 낮으면 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 해석결과의 부정확성이 유발된다.
또한 경계층 효과(boundary effect)라 불리는 특이성(singularity)이 구조물의 경계에서 발생하기 싶다. 일반적으로 박판이 두꺼운 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 생각하기 쉬우나 실제로는 정반대로 주의를 요하는 매우 어려운 문제이다. 잠김현상은 요소의 크기를 줄이거나 요소의 차수를 높이면 어느 정도 해결되지만, 감차적분(reduced integration)이나 특이요소(singular element)를 사용하는 것이 보다 효과적이다. 한편 경계층 효과에 따른 특이성은 구조물의 경계를 따라 경계요소(boundary element)라 불리는 폭이 매우 좁은 요소를 배치시키면 효과적으로 구현할 수 있다.
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유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하기 위해서는 우선 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 유한요소(finite element)라 불리는 세부 영역들로 나누는 작업, 즉 요소망(mesh) 생성작업을 수행해야 한다. 요소망에 있어서 내부 요소들의 크기가 거의 같은 경우를 균일 요소망(uniform mesh)이라고 부르고 그렇지 않고 크기가 서로 다른 경우를 비균일 요소망(non-uniform mesh)이라고 한다.
비균일 요소망을 생성하는 가장 큰 이유는 최소의 요소개수를 이용하여 목표로 하는 정확도를 만족하는 해석결과를 얻고자 함이다. 유한요소 해석에 있어 수치해석 오차(numerical analysis error)는 요소크기(element size)에 반비례하고 보간함수(interpolation function)의 차수, 즉 요소차수(element order)에 비례한다. 일반적으로 물체가 특이한 거동(singular behavior)을 나타내는 부분에는 요소의 크기를 작게 하는 것이 효과적인 것으로 알려져 있다.
예를 들어, 균열(crack), 집중하중, 형상이나 재질이 급격하게 변하는 부분 등에는 요소를 조밀하게 생성하는 것이 효과적이다. 만일 이렇게 국부적으로 특이한 거동을 나타내는 문제에 대해 균일 요소망을 적용한다면 특이성을 나타내지 않는 영역을 기준으로 조밀한 요소망을 생성해야 하기 때문에 요소개수가 엄청나게 증가하게 된다.
따라서 특이성을 나타내는 영역으로 갈수록 요소의 크기를 점진적으로 감소시키는 요소망 기법을 적용하면 이러한 문제점을 해결할 수 있고, 이렇게 생성한 요소망을 편향 요소망이라고 부른다. 항공기 주위의 충격파(shock wave)를 효율적으로 모사하기 위해 충격파가 발생하는 영역 근처에 집중적으로 조밀한 요소망을 적용한 경우가 편향 요소망의 전형적인 예에 해당된다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)는 물체의 형상을 유한 개로 나누어 세분화 시킨 작은 기하학적 영역 하나 하나를 일컫는다. 유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분된다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3-, 4-, 8- 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점을 나타낸다.
절점의 개수는 요소의 차수와 관련이 있을 뿐더러 해당 요소가 가지는 자유도(degree of freedom) 혹은 미지수의 개수와도 연관이 있다. 예를 들어 1차원에 있어 1차 함수 즉 직선은 양 끝 점의 위치가 결정되면 공간 상에서 그 위치가 고정된다. 이 경우 양 끝 점의 위치는 두 개의 미지수 혹은 자유도에 해당된다.
요소에 있어 절점이란 이러한 개념으로 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 4-절점 요소라면 각 절점에 하나의 미지수를 가지므로 총 4개의 미지수를 가지는 요소라고 생각할 수 있다(하지만 물체의 거동이 스칼라가 아닌 벡터의 경우에는 성분들을 지니고 있기 때문에 한 절점에서 벡터의 성분개수 만큼의 미지수를 가질 수 있음에 유의).
예를 들어, 4-절점 요소로 온도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에 하나의 온도 값을 미지수로 하기 때문에 이 요소는 총 4개의 미지수를 갖는다. 하지만 4-절점 요소로 2차원 속도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에서 x 및 y방향 속도 성분을 미지수로 가지므로 이 요소는 총 8개의 미지수를 가진다.
요소망 내 인접한 요소들은 같은 위치에 있는 절점들을 서로 공유한다. 이를 통해서 요소망 내 모든 요소들은 서로 연결되어 하나의 유기적인 네트워크를 형성하게 된다. > 절점 더 자세히 보기🔎
일정한 거리에 높이가 다른 두 개의 성냥개비를 수직으로 세운 뒤 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 비스듬하게 기울어진 직선 형태가 된다. 하지만 높이가 앞의 두 성냥개비와 다른 성냥개비 하나를 추가로 가운데에 설치한 후, 세 개의 성냥개비 끝 단을 실로 팽팽하게 연결하면 실은 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 연속적인 직선 분포를 나타내게 된다. 이렇게 두 성냥개비 사이에 계속해서 높이가 서로 다른 성냥개비들을 추가하게 되면 실의 형태는 성냥개비 구간별로 기울기가 다른 보다 많은 직선들로 구성된다.
왼 쪽 끝에 설치된 성냥개비를 시간적으로 초기 시점(initial stage)이라고 가정하고 우측 끝 단에 설치된 성냥개비를 시간이 어느 정도 지난 시점이라고 가정한다. 그리고 실의 모양이 두 시점 사이에서의 온도의 시간에 따른 변화를 나타낸다고 가정하면, 성냥개비 사이 각 지점에서 실의 높이는 해당 시점에서의 온도 값에 해당된다. 한편 각 성냥개비의 높이를 바꾸면 실의 높이도 바뀌게 되어 온도변화도 달라질 것이다. 더욱이 성냥개비의 개수를 증가시키면 보다 복잡한 온도변화를 표현할 수 있을 것이다.
여기서 인접한 두 성냥개비의 사이의 영역이 유한요소 해석(finite element analysis)에 있어서 시간 간격(time step)에 해당되고, 그 간격의 크기가 시간 간격의 크기에 해당된다. 따라서 시간 간격을 줄인다는 말은 두 시점 사이를 보다 세밀하게 나눈다는 뜻이다. 그리고 앞서 예시한 것과 같이 시간 간격의 크기를 줄이면 보다 복잡한 온도변화를 표현할 수 있기 때문에 유한요소 해석결과의 정확성을 향상시킬 수 있다. 참고로, 유한요소 해석의 정확성과 직결되는 또 다른 두 인자는 요소 크기(element size)와 요소 차수(element order)가 있다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에서 수치해석 오차(numerical analysis error)를 감소시키기 위해서는 오차(error)가 많이 발생하는 국부영역에 요소망(mesh)을 조밀하게 하거나 보간함수(interpolation function)의 차수 즉 요소 차수(element order)를 높여야 한다.
이렇게 원하는 수준의 정확도를 만족하는 해석결과를 구하기 위해 요소 크기(element size) (h)와 요소 차수 (p)를 순차적으로 조정하여 유한요소 해석을 수행하는 과정을 수렴과정(converging procedure)이라고 부른다. 한편 요소 크기와 요소 차수를 오차평가(error estimate)를 활용하여 과학적으로 결정하여 유한요소 해석의 반복횟수를 최소화 시키는 기법을 적응적 유한요소해석(adaptive finite element analysis)이라고 하며, 자기 수렴기술 혹은 자기 적응기술(self-adapting technique)이라고도 부른다.
여기서 “자기(self)”라는 용어는 적응적 유한요소해석의 전 과정을 해석자의 조작없이 소프트웨어가 자체적으로 다 처리한다는 의미로 붙여졌다. 다시 말해, 해석자는 초기 요소망과 원하는 정확도의 수준만을 입력하면 소프트웨어가 자동적으로 유한요소 해석을 수행하여 오차를 계산하고, 요소 크기와 요소 차수를 조정하여 해석하는 반복과정을 거쳐 원하는 최종 해석결과를 제공해 준다.
하지만 이러한 자기 수렴기술은 현재 시중에 판매되고 있는 일반 상용 유한요소 해석 프로그램에는 아직 탑재되어 있지 않고 다만 연구단계에 있는 최신 유한요소 해석기술이다.
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공학문제를 유한요소 해석(finite element analysis)을 통해 풀고자 할 경우, 특정한 문제에 있어서는 해석결과가 엄청난 오차(error)를 나타내는 경우가 종종 발생한다. 거의 대부분 정답보다 현저히 낮은 값, 심지어는 0에 가까운 값을 나타낸다.
유한요소 해석에 있어 잠김현상은 좁은 의미에서는 이처럼 해석결과가 정답과 비교하여 현저히 큰 차이를 나타내는 것을 말하고, 보다 넓은 의미에서는 요소크기(element size)를 줄이거나 요소차수(element order)를 높여도 이론적인 수렴률(convergence rate)을 나타내지 않는 것을 말한다.
잠김현상은 풀고자 하는 문제에 구속조건이 포함되어 있을 경우 이 구속조건에 기인하여 유발한다. 비압축성(incompressibility) 재료에 있어 재료의 비압축성, 박판 구조물(thin-walled structure)에 있어 두께가 0으로 접근하면 전단변형률(shear strain)이 없어지는 구속 등이 대표적인 예이다.
이렇게 구속을 가지는 문제를 요소크기가 크고 요소차수가 낮은 요소망(mesh)으로 해석을 수행하면, (a=b)라는 구속조건이 a=b가 아니라a->0 그리고 b->0 방식으로 만족되어 버리기 때문이다. 잠김현상을 해결하기 위해서 지금까지 수많은 기법들이 연구되어 오고 있다. 그 중에서도 요소크기를 작게 하거나 요소차수를 높이는 방법, 감차적분(reduced integration) 그리고 특별히 개발한 특이요소를 사용하는 방법이 대표적이다.
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천이라는 용어는 성질이나 특성이 서로 다른 두 개체 사이의 급격한 변화를 완화시키는 것을 의미한다.
예를 들어 고속으로 비행 중인 항공기 날개 주위의 공기흐름과 항공기로부터 멀리 떨어져 있는 곳에서의 공기흐름은 현저하게 다른 특성을 나타낸다. 그리고 이 두 영역 사이에는 두 가지 뚜렷한 공기 흐름이 완만하게 변화하는 천이영역(transition region)이 존재한다. 만약 이러한 천이영역이 존재하지 않는다고 가정하면 서로 뚜렷한 특성을 나타내는 두 공기흐름 사이의 엄청난 속도 차이로 어떠한 현상이 발생할지 예측하기 어렵다.
재질이 서로 다른 두 물질을 단순히 적층시킨 적층 복합재(heat-proof composite)의 경우, 접착면에서 금속 재질의 예리한 물성치 차이로 과도한 열응력(thermal stress) 집중현상이 발생한다. 그 결과 접착면에서 두 물질이 분리되거나 파손이 발생하기 쉽다. 이처럼 두 가지 서로 다른 성질이나 특성을 가지는 개체 사이를 천이시키지 않으면 예상하지 않은 다양한 문제점들이 발생할 것이다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 요소 유형, 요소 크기(element size), 요소 차수(element order) 등과 같은 특성이 서로 다른 요소망(mesh)을 서로 결합시키고자 할 경우에도 특별한 기법들이 요구되기 때문에 어려움이 많다. 이러한 경우, 서로 다른 두 요소망 사이에 천이 요소망을 적용하면 특별한 기법을 사용하지 않고서도 원활하게 두 요소망을 결합시킬 수 있다.
예를 들어 요소 크기가 서로 다른 두 요소망을 결합시키는 경우, 요소 크기가 점진적으로 변하는 천이 요소망을 두 요소망 사이에 삽입하여 결합시키면 된다. 요소 차수나 유형이 서로 다른 두 요소망을 결합시키는 경우에도 이들 인자들이 한 요소망에서 결합될 또 다른 요소망으로 점진적으로 변화하도록 천이 요소망을 삽입시켜 두 요소망을 결합시키면 된다.
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해석 정확도를 높이고, 반복 작업을 줄여보세요.
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