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한 쪽 끝이 벽에 완전히 고정되어 있는 가느다란 금속판의 다른 끝을 손으로 눌렀다가 놓으면 금속판은 아래 위로 진동한다. 그리고 진동하는 빠르기를 나타내는 고유진동수(natural frequency)는 단위시간당 진동한 사이클의 수로서, 한 사이클은 진동을 시작하여 다시 처음 위치로 되돌아 오는 것으로 정의된다. 태양을 중심으로 지구가 회전하는 원운동을 생각할 때 한 사이클의 정의를 쉽게 이해할 수 있으며, 이 때 회전한 각도로 나타내면 한 사이클의 진동은 각도로 환산하면
고유진동수는 물체의 형상, 재질 및 구속조건 등이 정해지면 절대로 변하지 않는 고유한 값이다. 그리고 고유진동수의 개수는 그 물체의 자유도(degree of freedom) 만큼 존재한다. 예를 들어 벽시계의 시계추는 자유도가 하나 밖에 존재하지 않기 때문에 하나의 고유진동수만을 가진다. 하지만 위에서 예를 든 금속판의 경우에는 탄성을 지닌 연속체(continuum body)로써 무한개의 자유도를 가지기 때문에 무한개의 고유진동수를 가진다.
고유진동수는 가장 낮은 값으로부터 시작하여 1차, 2차, …로 구분되며, 특히 1차 고유진동수를 기본 고유진동수(fundamental natural frequency)라고 부른다. 1차 고유진동수는 물체를 진동시켰을 때 가장 쉽게 변형할 수 있는 모양으로 진동하는 진동수를 의미하고, 고차로 갈수록 물체가 변형하기 어려운 모양으로 진동하게 되는 진동수를 나타낸다. 각각의 고유진동수로 진동하는 물체의 변형 모양을 해당 고유진동수에 대한 고유모드 형상(natural mode shape)이라고 부른다. 즉 1차 모드형상은 1차 고유진동수로 진동하는 물체의 진동형상을 의미하고, 앞서 말한 바와 같이 물체가 가장 쉽게 변형할 수 있는 모양을 의미한다.
한편, 감쇠(damping)를 고려하지 않고 계산한 고유진동수를 비감쇠 고유진동수(undamped natural frequency)라고 하고, 감쇠를 반영한 고유진동수를 감쇠 고유진동수(damped natural frequency)라고 부른다. 고유진동수와 고유모드를 구하는 수치해석을 모드해석(modal analysis)이라고 부른다.
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모든 물체는 고유한 진동 특성인 고유진동수(natural frequency), 고유모드(natural mode) 및 감쇠비(damping ratio)를 지니고 있다. 그리고 외란은 시간에 따라 그 크기가 현저하게 변할뿐더러 무한 개수의 주파수를 가진 진동파들의 합성으로 이루어져 있다. 물체가 외부로부터 외란을 받아 진동하는 것을 강제진동(forced vibration)이라고 하고 외란없이 자발적으로 진동할 수 있는 고유 특성을 자유진동(free vibration) 혹은 고유진동(natural vibration)이라고 한다. 대부분의 물체는 무한개의 자유도(degree of freedom)를 가지기 때문에 무한개의 고유진동수를 가지고 있어, 외란에 따른 강제진동의 진동수는 물체의 고유진동수를 그리고 진동모양은 물체 고유모드들의 조합으로 표현된다. 이 경우, 강제진동을 주도하는 모든 고유주파수 및 고유모드는 외란 속의 주도적인 진동수에 의해 결정된다.
그리고 외란의 주도적인 주파수가 물체의 고유진동수에 근접할 경우, 강제진동의 크기는 급진적으로 증가한다. 이처럼 외란과 물체의 고유진동수가 일치하거나 근접하여 강제진동의 크기가 거의 무한대로 커지는 현상을 공진이라고 부른다. 특히, 외란 진동수가 물체의 1차 고유진동수와 일치하거나 근접할 경우가 가장 심각한 구조적 파손을 야기한다. 공진을 피하는 방법은 감쇠재(damping material) 혹은 감쇠장치를 물체에 부착하는 것이다. 감쇠재나 감쇠장치를 부착하면 물체의 고유진동수를 변경시켜 공진을 예방할 수 있기 때문이다.
물체의 진동을 저감하는 방식에는 수동형 진동저감(passive vibration reduction)과 능동형 진동저감(active vibration reduction) 기술로 대별된다. 전자는 감쇠장치의 감쇠계수가 고정되어 있는 반면 후자는 외란에 따라 감쇠계수를 조절하여 최상의 진동저감 성능을 발휘하도록 하는 방식이다. 참고로 감쇠비(damping ratio)가
물체의 운동을 저지하려는 성질을 감쇠(damping)라고 부르고 이러한 성질을 가진 재료를 감쇠재(damping material) 그리고 장치를 감쇠기(damper)라고 한다. 물체의 운동 특히 진동은 소음, 예상치 못한 파손 등을 야기하기 때문에 감쇠는 이러한 유해한 성분을 저감시키기 위하여 광범위한 영역에서 활용되고 있다. 가장 단순한 예가 자동차의 본체에 부착되어 있는 완충기로서, 고르지 않은 노면을 주행할 때 자동차의 진동을 저감시켜 승차감을 향상시켜 준다. 감쇠력(damping force)은 감쇠재 고유의 물성치인 감쇠계수(damping coefficient)와 감쇠재가 부착된 물체의 운동속도의 곱에 비례하여 증가한다.
한편 어떠한 물체가 외부로부터 동적인 외란을 받으면 진동을 하게 되고, 만약 감쇠가 없다면 그 진동은 무한히 계속될 것이다. 더욱이 외부로부터 받는 외란의 진동수가 그 물체의 고유진동수(natural frequency)에 근접하게 되면, 물체가 진동하게 되는 진폭이 엄청나게 증가하는 공진(resonance) 응답을 나타내게 된다. 그 결과 물체는 예상치 못한 구조적 파괴에 도달하게 될 것이다. 가장 대표적인 예로 지진에 따른 각종 건축물의 파괴나 강한 바람에 의한 현수교의 파괴를 들 수 있다.
하지만 감쇠가 존재하면 물체는 무한히 진동할 수 없을뿐더러 공진도 방지할 수 있다. 임계감쇠란 물체가 외부로부터 외란을 받았을 때 전혀 진동을 일으키지 않고 곧바로 정지상태로 안정화 시키는 감쇠계수의 값으로서
수학적 측면에서 조화함수는 2번까지 미분이 가능한 함수들을 지칭한다. 잘 아는 바와 같이 미분이 가능하기 위해서 함수는 연속적이어야 하고, 우리가 잘 알고 있는 사인(sine) 및 코사인(cosine) 함수는 끝없이 미분이 가능한 함수들이다. 이처럼 몇 번까지 미분이 가능하냐는 그 함수의 매끈함(smoothness)을 나타내는 척도로 사용된다.
한편, 매끈한 함수는 수학, 자연과학 및 공학분야에 있어 매우 유용하게 사용되고 있다. 왜냐하면 테일러 급수전개(Taylor series expansion)와 같은 주요한 수학적 도구들은 무한 차수까지 미분이 가능한 함수들을 사용하고 있기 때문이다. 사인 및 코사인 함수가 퓨리에 급수전개(Fourier series expansion)에 사용되는 이유가 바로 여기에 있다.
한편, 모든 자연현상이나 물체의 거동은 테일러나 퓨리에 급수로 표현이 가능하다. 예를 들어 물체에 가해지는 임의 동적하중(dynamic load)은 무한개의 주기가 서로 다른 사인과 코사인 파의 조합으로 표현이 가능하고, 이러한 외란을 받는 물체의 동적 거동 역시 주기가 서로 다른 무한개의 사인과 코사인 함수들의 조합으로 표현이 가능하다. 동적 시스템의 고유한 진동특성을 나타내는 고유진동수(natural frequency) 및 고유모드(natural mode)를 구하기 위해 물체의 동적 거동을 이들 함수로 가정하는 이유도 이러한 수학적 원리에 기초한다.
하나의 주기를 가진 순수한 조화가진은 거의 찾아보기가 힘들며, 거의 대부분 매우 복잡한 형태를 지닌 임의 가진(random excitation) 혹은 순간적으로 가해지는 극단적인 임펄스(impulse) 등이다. 하지만 이러한 가진들도 위에서 언급한 함수들의 조합으로 표현이 가능하다.
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우리 생활 주변에서 흔히 발생하는 물리적 현상의 거의 대부분은 시간에 따라 변화는 동적 거동(dynamic behavior)이다. 물체의 이러한 동적 거동을 분석하는 방법에는 변동을 시간(time)에 따라 관찰하느냐 아니면 주파수(frequency)에 따라 관찰하느냐로 크게 구분된다.
지구상에서 형상과 밀도(density)를 가지는 모든 물체는 그 물체 고유의 거동, 즉 고유모드(natural mode)를 가지고 있다. 더욱이 이러한 고유모드의 개수는 본질적으로 무한개이고 각 고유모드는 각기 고유한 주파수, 즉 고유진동수(natural frequency)로 진동한다. 다시 말해 모든 물체는 가장 낮은 고유진동수에 해당하는 고유모드로부터 순차적으로 높은 고유진동수를 가지는 무한개의 고유모드를 가진다.
이러한 지진파와 같은 동적인 외란(external excitation)이 가해지면 이 물체의 동적인 응답은 각 고유모드들의 선형적인 조합으로 표현된다. 여기서 중요한 점은 어떠한 고유모드들이 동적 응답에서 큰 비중을 차지하느냐는 외란이 가지는 주파수에 절대적으로 좌우된다. 저주파의 외란을 받게 되면 동적인 응답 역시 저주파수 고유모드에 의해 지배되고, 외란이 고주파인 경우에는 물체의 동적 응답 역시 고주파수의 고유모드가 큰 비중을 차지하게 된다.
주파수 응답해석은 물체의 거동을 시간영역에서 주파수 영역으로 변환시켜 주파수 별로 동적응답의 크기를 분석하는 기법이다. 따라서 특정한 주파수에서 동적 응답이 큰 진폭(amplitude)을 나타낸다면 이 물체는 이 주파수 근처에서 구조적으로 취약하다는 것은 암시한다. 이처럼 주파수 응답은 대상이 되는 물체의 주파수별 동적 특성을 명확히 제공해 준다.
지상에 있는 구조체의 고유진동수(natural frequency)와 동응답(dynamic response)은 이 구조체가 물속에 잠겨 있거나 부분적으로 접해 있게 되면 현저히 달라지게 된다. 그 이유는 구조체의 움직임이 접해 있는 물의 흐름을 야기하고, 그 결과 물의 동수압(hydrodynamic force)을 받게 되기 때문이다. 따라서, 물과 접해 있는 구조체의 고유거동이나 동응답을 정확히 분석하기 위해서는 접해 있는 물의 동수압 효과(hydrodynamic effect)를 반영하여야 한다.
이와 같이 구조물과 유체의 상호 작용을 동시에 반영하여 해석하는 것을 유체-구조 연계해석(fluid-structure interaction analysis) 혹은 간단히 FSI해석이라고 부른다. 하지만 접해있는 유체의 흐름을 동시에 고려하게 되면 수치해석적으로 매우 복잡해질 뿐더러 계산해야 할 행렬방정식 역시 거대하게 된다.
부가질량이란 접해 있는 물의 동적인 효과를 질량으로 환산하여 구조물에 부가하는 것을 말한다. 이렇게 처리하게 되면 단순히 구조체 자체만 고려하면 되기 때문에 해석기법이 간단해 질뿐더러 행렬 방정식의 크기도 억제시킬 수 있다. 하지만 접해있는 물의 동수압에 의한 부가질량의 크기가 얼마인지 그리고 구조물에 어떻게 부가시켜야 할 지가 관건이 된다. 그리고 부가질량의 크기와 분포 형태는 구조물의 진동수에 따라 달라지는 특성을 지니고 있다.
하지만, 일반적으로는 지금까지의 연구결과를 토대로 부가질량을 적절히 산정하여 구조물에 고르게 분포시키고 있지만, 보다 정확히 계산하기 위해서는 해당 문제를 유체-구조 연계해석을 실시하여 동수압을 구조체의 관성력으로 환산하여 해당 부가질량 행렬을 유도하여야 한다.
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전동기나 내연기관과 같은 동적 시스템 내부에 고속으로 회전하는 각종 회전축은 특정한 회전속도에서 불안정한 진동을 일으켜 회전체 전체를 과도하게 떨리게 할 수 있다. 이러한 불안정한 동적인 진동을 야기하는 회전축의 회전속도를 임계속도 혹은 위험속도라고 부른다. 이러한 현상은 회전축의 회전속도가 회전체 전체의 고유진동수(natural frequency)와 일치하거나 매우 근접한 경우에 발생하며, 일종의 공진현상(resonance phenomenon)이라고 말할 수 있다.
따라서 각종 회전체내 회전축은 이러한 임계속도에 도달하지 않도록 설계되어야 한다. 특히 회전축의 회전속도가 가변적인 경우에는 회전체가 가질 수 있는 최대 회전속도에서도 이러한 공진현상이 발생하지 않도록 회전체 전체를 강하게 설계하여야 한다. 유한요소해석(finite element analysis)을 활용하면 복잡한 구조를 지닌 회전체라고 하더러도 효과적으로 고유진동수를 구할 수 있기 때문에, 회전축의 임계속도를 찾아낼 수 있다.
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한 쪽 끝이 벽에 고정되어 있는 특정한 단면적을 가진 나무판자의 다른 쪽 끝에 수직으로 충격하중을 가하면 특정한 형상으로 아래 위로 진동하게 된다. 그리고 끝 단에 가해지는 충격하중을 얼마나 빠르게 그리고 얼마나 큰 힘으로 가하는가에 따라 진동하는 막대의 모양은 달라진다. 외부로부터 동적인 하중을 받는 물체의 진동은 물체의 강성(stiffness)에 의한 복원력과 질량에 따른 관성력(inertia)의 상호작용에 의한 결과이다.
한편, 나무막대와 같이 내부가 꽉 채워진 탄성체는 무한개의 질점(point mass)과 무한개의 스프링이 서로 연결된 동적 시스템으로 생각할 수 있다. 따라서, 이러한 탄성체, 전문용어로 연속체(continuum body)는 무한개의 자유도(degree of freedom)를 가지고 있고, 그 결과 물체의 고유한 진동형상, 즉 모드형상(mode shape) 역시 무한개이다. 이러한 물체의 고유모드와 각 고유모드에 해당하는 고유진동수(natural frequency)를 구하는 것을 모드해석(modal analysis)이라고 부른다. 한편, 무한개의 고유모드를 가지는 연속체를 유한개의 유한요소(finite element)로 요소망(mesh)을 생성하면 요소망의 자유도 개수만큼 고유모드를 가지는 한정된 동적 시스템으로 축소된다.
하지만 유한개의 고유모드를 수치해석으로 계산하는 일도 요소망 내 유한요소의 개수가 많을 경우 계산시간의 문제로 쉽지는 않다. 그렇지만, 구조물의 진동에 미치는 고유모드의 영향력은 고차 고유모드로 갈수록 줄어든다. 따라서, 진동분석을 위해 모든 고유모드가 필요로 하는 것은 아니며, 진동분석의 목적에 따라 특정한 개수의 저차 고유모드로 한정된다.
n개의 고유모드를 풀기 위해 필요한 (nxn)크기의 고유치 행렬방정식을 N개의 저차 고유모드만을 풀기 위해 필요한 (NxN) 행렬방정식으로 축소시키는 수치 알고리듬을 란초스 알고리듬이라고 부른다. 한편 주의할 점은 N개의 저차 고유모드만이 필요하다고 N개의 고유모드만을 가지는 엉성한 요소망을 생성하여 고유모드를 구해서는 안 된다. 란초스 알고리듬은 20세기에 개발한 10대 수치기법들 중 하나로, 아인슈타인의 조수이자 상대성 이론 연구를 도왔던 헝가리 수학자 란초스(Lanczos, 1893-1974)에 의해 개발되었다.
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