이번 강의에서는 '위상최적설계의 이해와 실무활용방안'에 대해 소개 드리고자 합니다. 앞부분 이해부분은 핵심적인 것만 설명을 드리고, 뒤쪽에서는 해석 절차 이후에 실무 적용사례 하고 팁을 같이 설명 드리겠습니다.
<CONTENTS>
Part 1. 위상최적설계의 개념과 이론
Part 2. 위상최적설계의 해석 절차
Part 3. 위상최적설계 실무 적용 Tips
✔️위상 최적설계 개념
위상최적설계를 이해하는데 가장 중요한 것은 결국에 설계 변수인 요소의 형상밀도입니다. 형상 밀도를 이해하면 위상최적설계의 반 이상은 이해 했다고 할 수 있습니다. 결국에는 요소별로 가지는 형상밀도라는 설계 변수가 계속 바뀌면서 남아 있으면 레이아웃이 결정이 되는 것입니다.
형상밀도가 물리적으로 어떤 의미를 가지는 것이냐, 이 숫자가 0부터 1 사이의 사잇값을 가지게 되는데 결국에는 부피 요소의 성향관계, 즉 형상밀도가 0이면 부피도 없어지는 것이고 1이면 원래 부피를 갖는다는 것을 의미합니다. 부피만 관련 있는 것은 아니고 재료의 특성을 결정하기 때문에 강성 또한 결정을 하게 됩니다. 강성은 부피 같은 성향 관계가 아니라 아래 그래프와 같은 관계가 있는데, 강성은 형상밀도가 0.8정도면 원래 강성의 반정도 되는 관계를 가지고 있습니다.
✔️형상밀도 표현 종류
수식으로 보면 형상밀도 곡선을 표현하는 식이 가장 많이 쓰이는 SIMP와 RAMP라는 두 식이 있습니다. 이 식을 강성비로 표현한다면 비율이기 때문에, x가 형상밀도라는 설계 변수 0~1 사이의 값을 갖고, p가 보통 3이라는 가수를 씁니다. 지수이기 때문에 0과 1 사이이고 아래쪽 곡선을 갖게 되는 것입니다.
식은 좀 다르지만 RAMP라는 식도 플롯을 해보면 비슷합니다. 아래 그림의 파란색 곡선을 보시면 차이가 있다면 형상밀도가 큰 쪽에 있을 때는 강성을 좀 더 크게 평가를 하게 됩니다. 중요한 것은 형상 밀도가 작을 때는 RAMP를 썼을 때 강성이 좀 더 많이 남아있게 된다는 점이며, 이는 '고유치 문제'나 '주파수 해석'같이 동해석에 잘 맞는 방법으로 각각 해석에 맞게 적용을 하고 있습니다.
✔️형상밀도 업데이트 과정
형상밀도에 대해 이해가 되셨다면 최적화 진행과정에 대해 설명 드리겠습니다. 아래 그림을 보시면 Iteration을 몇 개만 찍어서 쭉 플롯을 해 본것인데 형상밀도가 최적화 진행이 되면서 빨간 부분이 살아남는 부분이고, 점점 진행할 수록 형상을 찾아가는 그림을 볼 수 있습니다.
어떤 기준으로 바뀌는지 살펴보면 밑쪽 그림은 각 Iteration 마다 해석을 반복하면서 변형 에너지를 플롯한 것인데 변형에너지를 그냥 그린 것은 아닙니다. 최대값이 변형 에너지를 그리면 구속조건이 Iteration1의 빨간 부분에 있고 하중이 해당 부분에서 작용하는 문제이며, 그냥 그리면 잘 안보였던 것이 컨터를 그릴 때 최대값을 작게 리미트를 줘서 그리면 아래 그림과 같은 형상 확인이 가능합니다.
결국에는 형상밀도와 변형에너지가 거의 유사한 것을 확인할 수 있고, 정적컴플라이언스 식을 보면 변형 에너지의 두 배에 해당하는 값이며 변형에너지를 기준으로 바뀐다는 것을 알 수 있습니다. 그런데 최적화 과정에서 당연히 변형 에너지만 따라가는 것은 아닙니다. 이 문제에서는 목적 함수가 컴플라이언스이기 때문에 변형 에너지를 구했던 것입니다.
✔️위상최적설계 - 목적함수와 민감도
최적화마다 목적함수를 다르게 설정을 할 수 있기 때문에 결국에는 목적함수 값을 기준으로 설계 변수가 업데이트 됩니다.
✔️민감도(Sensitivity)의 개념
목적함수 값을 기준으로 설계 기준을 업데이트 할 때 실제 값만 가지고 하는 것은 아닙니다. 최적화 과정에서 민감도라는 것을 사용하는데 , 민감도라는 것을 개념적으로 잠깐 설명 드리겠습니다. 지도를 많이 보신 분은 아시겠지만 등고선의 중앙이 산 꼭대기고 바깥쪽이 산 아래쪽입니다.
등고선이 사이가 촘촘하면 급경사고, 사이가 넓으면 완만한 경사이기 때문에 산 꼭대기에서 산을 빠르게 하산하고 싶다면 가능하다는 전제 하에 급경사인 부분을 찾아 내려가면 됩니다. 민감도라는 것은 이것처럼 높이가 아니고 경사를 의미합니다.
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