1. 서론
컴퓨터기술의 발달과 해석기술의 고도화를 통해, 오늘날에는 기계 역학의 이해가 훨씬 쉬워지고 있다. 특히 복잡한 운동을 다루는 기계역학의 동역학분야에서는 예전보다 많이 발전하고 있음을 느낀다. 컴퓨터를 이용한 해석연구는 실험연구의 한계를 극복할 수 있는 좋은 방안중의 하나이다.
컴퓨터의 연산속도가 기하급수적으로 증가하고, 병렬처리가 가능한 요즘은 GPU를 활용한 병렬처리 연산 기법을 해석에 적용하는 사례가 늘고 있어서, 예전에는 시도하지 않았던 대규모의 모델링 및 연산을 시도하고 있다.
또한, 산업체 및 학계에서 학문 영역간의 경계를 넘어 해석하고자 하는 시도가 많이 이루어지고 있다. 역학에서도 시간에 따른 미분방정식을 주로 다루는 동역학 해석 분야가 있으며, 경계에서의 미분을 주로 사용하는 유체동역학이 있는데, 오늘날에는 이 들 해석기법을 동시에 해석하고자 하는 시도가 이루어지고 있다.
연속체의 해법을 이용하는 유체동역학을 입자의 집합으로 표현하여 이산화함으로써, 시간에 관한 라그랑지 방정식을 유도하여 동역학과 동시에 푸는 것이 가능하게 되었다. 이 들 두 영역간의 동시해석이 가능함으로써, 예전에는 시도되지 못했던 복잡한 현상을 시뮬레이션하는 것이 가능하게 되었다.
예를 들면, 파랑하중하에서의 부유체 운동 모사가 가능하며, 복잡한 파랑하중하에서의 동적거동해석이 가능하다. 또한, 수중에서의 해양로봇의 동적거동이 표현되게 되어, 조류에 의한 해양로봇의 구동 토크의 변화를 계산해 볼 수 있게 되어, 실시간으로 해양로봇의 자세와 조류의 흐름에 따라 해양로봇이 받는 유체저항을 계산할 수 있다.
또한, 해안가에서 주행하는 차량이 파도를 만나서 갖게 되는 운동특성을 모사할 수 있다. 본 칼럼에서는 다물체동역학과 입자기반 유체동역학에 대해 소개하고, 이들의 연성해석과정을 설명한다. 연성해석을 활용한 시뮬레이션 예제를 소개하고자 한다.
2. 다물체동역학이란?
물체의 움직임을 연구한 역사가 동역학의 역사라고 볼 수 있다. 동역학의 역사는 현대동역학에 관한 최초의 논문을 작성한 갈릴레이(Galileo Galilei, 1564~1642)로부터 찾을 수 있으나, 동역학의 기본 식을 정립한 뉴턴(Isaac Newton, 1642~1727)으로부터 시작되었다고 보는 것이 일반적이다.
뉴턴은 물체의 운동방정식을 힘의 평형을 고려한 벡터로 표시하였으며, 비슷한 시대의 라그랑지(Lagrange)는 에너지의 개념을 사용하여 운동방정식을 유도하였다. 현대의 동역학은 작은 부품의 설계에서부터 자동차, 선박, 비행기 등의 대형 기계들의 운동까지 전반적으로 활용되고 있다.
우주선의 움직임, 로켓의 발사, 차량의 동역학 등 복잡한 시스템의 운동방정식은 유도하기도 어렵지만, 식을 손으로 풀기는 거의 불가능해진다. 따라서 복잡한 문제의 동역학 해석에는 컴퓨터를 이용할 수밖에 없게 된다.
여러 개의 물체(강체 또는 탄성체)로 이루어진 계(system)를 다물체계(multibody system)이라고 하며, 이러한 계의 운동을 다루는 학문을 다물체 동역학(multibody dynamics)라고 한다. 계의 운동을 해석하는 과정에서 계에 구동조건(driving conditions)이 부가되면 시스템의 운동이 확정되는 경우가 있는데, 이러한 계를 기구학적 계(kinematic system)이라고 한다.
시간이 경과함에 따른 시스템의 운동(위치, 속도, 가속도)을 해석하는 학문이 운동학(kinematics)이다. 여러 물체들로 이루어진 다물체계에서는 물체들 사이에 기구학적 조인트로 연결되는 경우가 발생한다. 이러한 경우, 기구학적 조인트에 의한 구속방정식은 대수방정식(algebraic equation)이고, 운동방정식은 미분방정식(differential equation)이므로 이를 조합한 형태의 운동방정식을 미분대수방정식(DAE, differential algebraic equation)이라고 부른다.
이러한 미분 대수방정식을 푸는 과정에서는 매시간 적분으로부터 구해진 위치 및 속도가 구속방정식을 만족하는지 확인이 필요하다. 구속방정식을 만족하지 않는 값으로 계속하여 풀이를 진행시키면, 얻어지는 값이 신뢰성이 없어지므로, 매순간 구속방정식을 만족하는지 확인하는 과정이 삽입되어야 한다. 이를 위한 방법으로 구속조건안정화 방법, 좌표분할법이 있다.
3. 입자기반 유체동역학이란?
입자법은 연속체를 유한개의 입자로서 표현하고, 연속체의 거동을 입자의 운동으로서 계산하는 방법이다. 각 입자는 속도와 압력의 변수를 가지면서 이동한다. 차분법과 유한요소법에 필수적인 격자는 사용하지 않는다. 차분법 또는 유한요소법에 있어서 첫째로 중요한 과제는 복잡 형상에 대한 격자생성이다.
사면체, 육면체 혹은 이들이 혼재된 비 구조격자라 하더라도 한번 격자가 생성되면 차분법 또는 유한요소법의 계산을 할 수 있다.3차원의 복잡한 형상에 대한 격자 생성방법이 상대적으로 어렵게 되어 오고 있다. 특히 격자의 미묘한 조절 또는 부정합의 확인을 위해 꼭 손질을 거치는 일이 필요하기 때문에, 격자생성은 많은 시간이 걸리는 작업이다.
격자를 세분하면 계산 정도가 향상되지만, 계산시간은 길어지게 된다. 주어진 컴퓨터 환경에서 가능한 계산정도를 올리고, 동시에 계산 시간을 짧게 사용하면, 시뮬레이션의 내용을 충분히 이해할 수 있으며, 격자생성의 단계에서는 경험이 풍부한 기술자의 노하우가 필요하다. 입자법에서는 격자 생성 시 교정해야 하는 복잡한 작업을 대폭으로 개선할 수 있다. 형상이 합쳐진 입자를 발생시키는 한 입자간의 접속관계는 필요가 없다.
연속체의 거동을 기술하는 데에는 Lagrange법과 Euler법이 있다. Lagrange법은 연속체에 관측자가 타고 있고, 연속체의 이동과 동시에 관측자도 이동하는 것이다. 입자법에서 입자는 이동하는 계산점이어서 입자법은 Lagrange 법이다. Euler 법은 관측자가 공간에 고정되어 있기 때문에 차분법이나 유한요소법은 통상적으로 Euler 법이다. 연속체 계산법으로 차분법과 유한요소법을 주로 사용하여 왔고, 공간을 격자에 의해 분할하였다.
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