고무줄의 한쪽 끝을 천정에 매달고 반대 편 끝에 금속으로 만든 구슬을 달아 고무줄을 어느 정도 잡아당긴 후 살며시 놓는다고 가정하자. 금속 구슬은 곧바로 아래 위로 진동하게 되지만 시간이 지날수록 위 아래로 진동하는 폭이 줄어들면서 일정 시간이 경과하면 어느 지점에서 완전히 정지하게 될 것이다. 지구 중력에 의해 금속 구슬은 지면으로 낙하하려는 운동에너지와 고무줄이 잡아당기는 탄성에너지만 존재한다면, 금속방울은 시간이 경과하여도 일정한 폭을 유지하면서 무한히 진동하여야 한다. 하지만 그렇지 않은 이유는 감쇠(damping)라 불리는 요인이 존재하기 때문이다.
맨 처음 고무줄을 잡아당기면 금속 구슬은 일정량의 탄성에너지를 제공받게 되고, 이 탄성에너지가 금속 구슬의 운동에너지로 전환되었다가 다시 탄성에너지로 전환되는 에너지 변환과정을 반복하면서 아래 위로 진동하게 된다. 감쇠가 없다면 금속 구슬이 가진 전체 에너지의 손실은 없기 때문에 무한히 진동하게 되겠지만, 실제로는 진동하는 과정에서 감쇠에 따른 에너지 손실이 계속해서 발생하게 된다. 다시 말해, 처음 고무줄을 잡아당김으로써 제공받은 탄성에너지가 감쇠로 인해 모두 손실되는 시점에서 금속 구슬은 정지하게 된다. 여기서 감쇠는 공기의 저항과 고무 내부에 존재하는 점성(viscosity)에 기인한다.
감쇠계수란 물체의 운동을 방해하려는 물체의 단위 속도당의 힘으로 정의된다. 감쇠의 종류에는 유체감쇠라 불리는 점성감쇠(viscous damping), 마찰감쇠라 불리는 쿨롱감쇠(Coulomb damping) 그리고 고체감쇠라 불리는 히스테리 감쇠(hysteric damping)가 있다. 그리고 감쇠계수를 해당 물체의 임계감쇠(critical damping)로 나눈 상대적인 비를 감쇠비(damping ratio)로 정의하고 있다.
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어떤 물질의 흐름을 방해하려는 성질을 점성이라고 부른다. 예를 들어 꿀은 물보다 점성이 훨씬 크기 때문에 물에 비해 동일한 조건에서 그 흐름이 매우 둔하다. 유체의 흐름은 한 부분이 움직일 때 인접한 다른 부분이 같이 따라 움직이기 때문에 점성은 분자들 사이의 내적 마찰이라고 생각할 수도 있다. 이때 마찰은 유속의 분포에 차이가 생기는 것을 저지하려는 힘이다.
점성은 유체를 윤활유로 사용하거나 파이프 라인을 통해 운반할 때 생기는 저항력을 산출할 때 고려해야 할 주요 항목이다. 대부분의 유체에 있어 흐름을 유발시키는 전단응력(shear stress)은 전단변형률(shear strain)에 정비례한다. 즉 전단응력을 전단변형률로 나눈 값은 같은 액체일 경우 주어진 온도에서는 일정하다. 이 일정한 값(상수)을 동적 점성계수(kinematic viscosity), 또는 절대 점성계수(absolute viscosity)라고 한다.
이와 같은 방식으로 움직이는 유체의 유동을 최초로 수학적으로 공식화한 영국의 과학자 뉴튼(Newton)의 이름을 따서 뉴튼 유체(Newtonian fluid)라고 부른다. 액체의 점성계수는 온도가 올라가면 급속히 감소하고, 반대로 기체의 점성계수는 온도가 올라가면 증가한다. 그러므로 열을 가하면 액체의 유동속도는 빨라지지만 기체의 속도는 더 늦어진다. 동적 점성계수의 크기는 단위 면적당의 힘에 시간을 곱한 값으로 점성의 단위는 [하중X시간]/[면적]이다.
실용적인 측면에서 운동 점성계수가 절대 점성계수보다 더 유용하게 사용되고 있다. 운동 점성계수는 유체의 절대 점성계수를 그 물질의 질량(density)으로 나눈 값이다. 따라서 운동 점성계수의 단위는 [면적]/[시간]으로 표현된다.
자연계의 모든 현상은 본질적으로 비선형적 거동을 나타낸다.
선형과 비선형의 구분은 현상을 일으키는 입력값과 현상이란 출력값이 비례관계에 있느냐 그렇지 않느냐로 판단된다. 만일 x 축을 현상을 일으키는 입력값을 그리고 y 축을 출력값으로 하여 하나의 그래프로 표현하였을 때, 선형적인 현상은 직선으로 표현되는 반면, 비선형적 현상은 더 이상 직선으로 표현되지 않는다. 비선형 거동에서는 변형, 온도, 속도 등과 같이 구하고자 하는 값이 구하기 위해 필요한 여러 가지 계수들에게 영향을 미친다는 점이다.
공학문제에 있어 비선형성은 크게 재료비선형(material nonlinear), 기하비선형(geometry nonlinear) 그리고 경계비선형(boundary nonlinear)으로 대별된다. 재료비선형은 탄성계수, 열전달률, 점성(viscosity) 등과 같은 재료 고유의 물성값이 일정하지 않고 변형, 온도, 속도 등과 같이 구하고자 하는 거동과 더불어 변하는 경우이다. 기하비선형은 대상 물체의 형상과 크기가 구하고자 하는 변수와 더불어 변하는 경우이다. 마지막으로 경계비선형은 물체 경계영역의 크기, 형상 그리고 경계조건(boundary condition)이 구하고자 하는 변수와 더불어 변하는 경우이다.
비선형 문제는 푸는 방법에 있어서도 선형문제와 큰 차이가 있다. 선형문제의 경우에는 계산에 포함되어 있는 여러 가지 계수들이 구하고자 하는 값에 영향을 받지 않기 때문에 단 한번의 계산으로 답을 찾을 수 있다. 반면, 비선형의 경우에는 우선 여러 가지 계수값들을 미리 추정하여 구하고자 하는 값을 계산한다. 그 다음 계산된 값으로 여러 가지 계수값들을 수정한 후 구하고자 하는 값을 다시 계산하는 반복과정을 거쳐야 한다. 따라서 비선형 문제를 푸는데 걸리는 계산시간은 대략적으로 선형문제를 풀기 위해 걸리는 시간에 반복계산 회수를 곱한 만큼 비례적으로 증가한다.
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지구상에 존재하는 대부분의 물체는 정도는 차이는 있을지라도 탄성과 점성(viscosity)을 동시에 지니고 있는데, 전자는 외부 하중에 대하여 반발하려는 성질을 나타내는 반면 후자는 외부 하중을 흡수하려는 특성을 지니고 있다. 일반적으로 탄성은 스프링으로 묘사되고 점성은 대시 포트(dash port)로 표현된다. 물체가 지니고 있는 탄성과 점성의 상대적인 크기에 따라 외부 가진(external excitation)에 따른 물체의 진동 특성은 좌우된다. 감쇠가 상대적으로 적은 경우에는 진동이 오랫동안 지속되는 반면, 감쇠가 상대적으로 큰 경우에는 뚜렷한 진동없이 곧바로 정지상태로 복귀하게 된다.
외란을 받았을 때 진동을 나타내느냐 아니면 곧바로 정지상태로 복귀하느냐를 판단하는 기준으로 감쇠비(damping ratio)가 사용되는데, 이 값이 1인 경우를 임계감쇠(critical damping)로 정의하고 있다. 이 값이 1보다 적은 경우를 과소감쇠(under damping)라고 부르고 1보다 큰 경우를 과대감쇠라고 부른다. 대부분의 기계 구조물들은 감쇠비가 0.1 미만인 과소감쇠를 나타낸다. 과대감쇠는 쇽업소버(shock absorber)라 불리는 완충장치, 사무실의 회전식 도어에 부착되어 있는 완충기 등에서 발견할 수 있다. 또한 잠수함과 같은 수중체에 있어 항해 중 발생하는 구조진동을 최대한 억제하기 위해 고 감쇠재로 코팅(coating)한 구조물 역시 과도감쇠를 나타낸다.
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얇은 박판 구조물(thin-walled structure)에 굽힘을 가하면 구조물내 응력이 경계(boundary) 근처에서 급격하게 증가하는 특이성(singularity)이 발생한다. 이러한 현상을 경계층 효과라고 불리며 구조물에만 한정되지 않고 유체 유동에서도 볼 수 있다. 즉 항공기 날개 주위의 공기 흐름에 있어 공기의 점성(viscosity)에 의하여 날개면에서 공기의 상대적인 속도는 0이 된다. 그리고 항공기 표면에서 매우 짧은 거리에 있는 공기속도는 급속히 증가하는 거동을 나타낸다.
이러한 경계층 효과를 수치해석(numerical analysis)적으로 모사하기 위해서는 많은 주의를 기울여야 한다. 박판 구조물이나 유동에 있어 경계층 효과는 경계면에 수직한 방향으로 거동의 급격한 변화이기 때문에, 경계에 폭이 가장 작은 요소를 배치시키고 경계에서 수직방향으로 편향 요소망(gradient mesh)을 적용하여야 한다. 이 요소망에 있어서 경계에 배치한 가장 작은 요소를 특별히 경계요소(boundary element)라고 부르며, 경계에 수직한 방향으로의 폭은 구조물의 두께보다는 작아야 할뿐더러, 그 크기가 작을수록 효과적이다. 한편 경계에 접선방향으로는 편향된 요소망을 적용할 필요가 없다. 왜냐하면 경계에 접선인 방향으로는 거동의 특이성이 발생하지 않기 때문이다.
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공기와 같은 유체의 유동은 압축성(compressibility), 점성(viscosity) 그리고 유체입자의 회전성(rotational) 중에서 어떠한 효과가 중요시 되느냐 아니면 무시할 수 있느냐에 따라 분류할 수 있다. 압축성 유동(compressible flow)에서는 유동입자의 밀도변화가 현저한 경우이며, 점성유동(viscous flow)은 유체입자 사이의 점성효과가 지배적인 경우이다.
그런데, 이 세가지 효과를 모두 무시한 유동을 이상유동(ideal flow)이라고 정의하며, 유체속도를 어떤 함수의 위치에 따른 변화율로 표현할 수 있다. 이 함수를 속도 포텐셜(velocity potential)이라고 부르며, 유체의 속도나 압력을 속도 포텐셜로 전환하여 표현할 수 있다는 측면에서 포텐셜 유동이라고도 부른다. 압축성만을 반연한 이상유동인 오일러 유동(Euler flow)과는 차이가 있다.
포텐셜 유동은 흐름의 양상이 복잡하지 않고 또한 속도가 완만한 경우에 많이 적용되고 있다. 예를 들어, 액체 저장탱크 내 액체의 출렁임이나 배 주위 바다물의 흐름 등은 포텐셜 유동으로 가정하여도 큰 무리가 따르지 않는다.
수치해석적인 측면에서 포텐셜 유동의 가장 큰 장점은 요소망(mesh) 혹은 그리드(grid) 내부 각 절점(node)이 하나의 자유도(degree of freedom)만을 갖는다는 점이다. 따라서 근사해를 구하기 위해 풀어야 할 행렬 방정식의 크기를 대폭적으로 감소시킬 수 있다. 최근 해석분야에서 크게 관심이 되고 있는 유체-구조 연성해석(fluid-structure interaction analysis)에서 해석시간 단축을 위해 유체유동을 포텐셜 유동으로 가정한 경우가 많다.
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점성(viscosity)을 포함한 일반화된 뉴튼의 제2법칙은 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 수학적으로 표현한 미분방정식이다. 이러한 운동방정식을 수치해석(numerical analysis)적으로 푼다는 것은 각 시점에서 물체의 가속도, 속도 및 동적 변위를 구하는 것이다. 관심의 대상이 되는 시간 구간 동안, 이들을 구하기 위해서는 이들에 대한 초기 시점에서의 값, 즉 초기조건(initial condition)으로부터 시작하여 세분화된 각 시점에서의 값들을 순차적으로 계산하여야 한다.
수학적인 관점에서 본다면 미분방정식을 시간에 대해 적분하는 것이기 때문에, 각 시점에서 이들의 값을 순차적으로 계산하는 과정을 시간적분(time integration)이라고 부른다. 시간적분에는 크게 명시적 기법(explicit method)과 암시적 기법(implicit method)이 있는데, 뉴마크기법은 대표적인 암시적 시간적분 기법이다. 이 기법은 미국 일리노이 대학의 나단 뉴마크(Nathan Newmark, 1910~1981) 교수에 의해 소개되었으며, 일반적으로 뉴마크 베타 기법(Newmark beta method) 혹은 일정 평균가속도 기법(constant averaged acceleration method)이라고 불린다.
이 기법은 중앙차분법(central difference method)과 같은 명시적 시간적분법과는 달리 시간간격(time step)과 요소크기(element size)에 무관하게 항상 해의 수렴성(convergence)과 해의 안정성(stability)이 보장된다. 하지만 질량행렬(mass matrix)을 대각화 하지 않고 전체 행렬을 그대로 유지한 채 행렬계산을 수행하기 때문에 해석시간이 길어지는 단점을 지니고 있다. 이러한 이유로 지금과 같이 대형 동해석 문제를 주로 다루는 상황에서는 그 사용빈도가 줄어들고 있다. 참고로 뉴마크기법에서는 베타(beta) 그리고 감마(gamma)라고 하는 두 개의 변수를 포함하고 있는데, 일반적으로 베타는 1/4 그리고 감마는 1/2을 취한다.
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유체의 유동에 의해 발생하는 전단응력(shear stress)이 유체 속도의 변화율(일명 유체변형률의 증분)과 선형적인 관계를 나타내는 유체를 뉴튼 유체 그렇지 않은 유체를 비뉴튼 유체(non-Newtonian fluid)라고 부른다. 뉴튼이라는 용어는 영국의 물리학자겸 수학자인 뉴튼(Isaac Newton, 1643-1727)의 이름에서 유래되었다. 파이프(pipe) 속을 통과하는 물은 대표적인 뉴튼 유체로써, 유체 내에 발생하는 전단응력은 파이프 내벽에 수직한 방향으로 유속의 변화율에 비례한다. 뉴튼 유체에 발생하는 전단응력은 수식적으로 유동에 수직한 방향으로 유속의 변화율과 점성(viscosity)의 곱으로 정의된다. 따라서 점성이 일정할 경우, 전단응력의 크기는 유속의 변화율에 비례하여 증가한다.
뉴튼 유체의 가장 큰 특징은 유체의 성질이나 유동이 외부 하중과 무관하게 일정하게 유지된다는 점이다. 따라서, 점성은 온도와 압력만의 함수로 표현되고, 유동을 아무리 휘젓거나 혼합시켜도 이에 무관하게 유체는 계속해서 일정한 성질을 지니고 흘러간다. 다시 말해 이러한 유체는 저절로 흘러가려는 성질을 지니고 있다. 반면, 치약이나 페인트는 대표적인 비뉴튼 유체로써, 이들은 힘을 받으면 흘러가지만 저절로는 절대 흘러가지 않는다. 다시 말해 저절로 흘러가려는 유동을 방해하는 힘이 유동 내부에 존재한다는 뜻이다. 따라서 유동의 흐름을 방해하려는 힘이 자체 내에 존재하지 않는 경우라야 뉴튼유체에 해당된다.
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