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사각형 단면의 한 모서리를 축으로 하여 360도 회전시키면 원통 형상의 물체가 된다. 또한 반원 형상의 단면을 360도 회전시키면 공모양의 물체가 만들어 진다. 이렇게 어떠한 단면 형상을 360도 회전하여 정의되는 물체를 회전체라고 부른다.
회전체는 임의 단면을 특정 축을 중심으로 회전하여 만들어 진 것이기 때문에 기하학적 형상이 원주를 따라 동일하다. 만일 이 회전체가 동일한 재질로 만들어진 등방성(homogeneity) 물질이고, 또한 하중과 구속 경계조건(boundary condition)이 원주방향으로 동일하다면 이 물체의 거동 역시 원주방향으로 일정하다. 이러한 특수한 대칭성을 축대칭(axisymmetry)이라고 부른다.
예를 들어 따뜻한 커피가 담겨있는 종이컵을 생각해 보자. 종이컵의 모양과 재질 그리고 담겨있는 커피의 온도나 커피에 의해 종이컵에 미치는 압력은 원주방향으로 일정하다. 따라서 종이컵의 온도분포, 늘어난 양과 같은 종이컵의 모든 물리적 거동 역시 원주방향으로 일정하다.
따라서 이러한 축대칭 거동은 물체 전체를 대상으로 분석할 필요 없이, 회전체의 기초가 되는 2차원 단면만을 고려하면 매우 효과적이다. 축대칭 거동을 나타내는 물체의 역학적 분석을 위해 2차원 단면만을 수치해석(numerical analysis) 모델로 생성한 것을 특별히 축대칭 모델이라고 부른다. 그리고 이렇게 2차원 축대칭 모델을 이용하여 수치적으로 해석하는 작업을 축대칭 해석(axisymmetric analysis)이라고 부른다.
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응력(stress)은 외부 하중에 대한 물체의 내부 저항력으로써 물체 단위 면적당 저항력으로 정의된다. 그리고 하중이 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 역시 방향별로 성분을 지니고 있다. 물체의 임의 한 단면에 한정하면 응력은 면에 수직인 수직응력(normal stress)과 면에 평행한 전단응력(shear stress)으로 구성된다. 3차원 물체 내 임의 한 지점을 미소 체적의 육면체로 생각할 경우, 각 면에 하나의 수직응력과 두 개의 전단응력을 지니고 있다.
이와 같은 3차원 물체 내 응력성분들은 크게 정수압(hydrostatic pressure)과 편차응력의 합으로 표현된다. 전자는 물체의 형상은 변화시키지 않으면서 물체의 체적을 증감시키는 역할을 한다. 예를 들어, 물 속에 잠겨있는 물체는 수압을 받게 되고 그 결과 물체의 전체 체적이 감소한다. 이 경우, 물체의 형상은 변화지 않기 때문에 물체 내부에는 동수압에 해당하는 응력 성분들만 존재하고, 전단응력에 해당하는 편차응력은 전혀 발생하지 않는다. 그리고 물체 내부에 발생하는 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나누면 정확히 수압과 일치한다. 이러한 맥락에서 응력 성분들 중에서 세 방향으로의 수직응력을 합하여 3으로 나눈 값을 동수압이라고 부른다.
편차응력은 물체 내 임의 지점에서의 응력 성분들에 동수압 성분을 뺀 나머지로 정의된다. 편차응력은 물체의 체적 변화에는 영향을 미치지 않고 물체를 형상을 찌그러지게 하는 역할을 하며, 그 결과 소성변형(plastic deformation)을 야기한다. 편차응력은 소성변형 해석에 사용되며, 세 개의 불변량을 가지고 있는 데, 각각 J1, J2 그리고 J3로 불린다. 이들은 물체 내 임의 지점에서 좌표축의 방향과는 무관하게 항상 일정한 값을 지니며, 항복여부를 판단하는 항복조건(yield criterion)의 매개변수로 사용된다.
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물체의 외곽 전체를 경계라고 부르는데, 1차원 물체의 경우에는 물체의 양 끝점이 경계에 해당된다. 2차원 물체의 경우에는 물체의 외곽 테두리 곡선 전체 그리고 3차원의 경우에는 물체의 외곽 곡면 전체가 경계에 해당된다. 모든 물체는 3차원 형상으로 되어 있기 때문에 여기서 1차원 혹은 2차원 물체라고 말하는 것은 3차원 형상을 1차원의 직선 혹은 2차원의 평면으로 가정한 간략화 된 형상을 의미한다.
지구상의 모든 물체는 그 경계에서 어떠한 형태의 매질(고체, 액체, 기체 혹은 진공)일지라도 다른 물체들과 항상 접촉하고 있다. 따라서 임의 한 물체는 경계를 통해 외부 다른 물체들로부터 힘, 모멘트, 열 등과 같은 다양한 형태의 영향을 받는다. 외부와 접촉하고 있는 임의 한 물체의 거동을 파악하기 위하여 이 물체를 외부와 분리시킬 경우, 외부로부터 받는 영향들은 경계조건으로 물체에 반영되어야 한다.
동일한 형상과 재질로 된 물체일지라도 그 거동은 경계조건에 따라 현저히 달라지기 때문에 경계조건은 대단히 중요한 역할을 한다. 외부로부터 받은 영향들 중에서 어떤 것들이 경계조건으로 포함되어야 할 것인가는 파악하고자 하는 물체의 거동이 어떤 유형인가에 따라 결정된다. 만약 물체의 온도변화에 관심이 있다면 온도변화에 영향을 미치는 외부 물체의 온도와 외부로부터의 열 유입이 경계조건으로 포함되어야 한다.
어떠한 형태의 경계조건이라고 하더라도 모든 경계조건은 크게 변위경계조건(displacement boundary condition)과 하중경계조건(traction boundary condition)으로 구분된다. 여기서 변위와 하중이란 용어는 비단 구조물의 변위와 힘만을 의미하는 것이 아니고 상징적인 의미를 지닌다. 예를 들어, 열전달 문제에서 변위는 온도에 해당되고 하중은 열 흐름에 해당된다.
마지막으로 중요한 사항은 경계의 모든 부분에는 반드시 변위 혹은 하중 경계조건이 부여되어야 하며, 조건값이 0인 경우도 경계조건이란 점을 잊어서는 안 된다. 그리고 변위 조건이 부여되면 그 경계지점에서의 하중값은 미지수가 되고, 반대로 하중조건이 부여되면 그 경계 지점에서의 변위값은 미지수가 된다. > 경계조건 더 자세히 보기🔎
뉴튼은 16세기 후반부터 17세기 초반까지 영국에서 활동한 세계적인 물리학자로서, 뉴튼역학이라 불리는 고전역학(classical mechanics)을 창시하였다. 사과나무 아래에서 사과가 아래로 떨어지는 현상으로부터 두 물체 사이에는 서로 잡아당기는 힘이 존재한다는 만유인력을 발견한 것은 너무나도 잘 알려져 있는 사실이다. 뉴튼의 법칙은 세 가지로 구성되어 있다.
제 1법칙은 관성의 법칙으로서, 정지하고 있거나 일정한 속도로 움직이는 물체는 그 운동상태를 계속 유지하고자 한다는 것이다. 제 2법칙은 가속도의 법칙으로서, 물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체는 힘 혹은 모멘트 방향으로 가속 병진운동(translation motion) 혹은 가속 회전운동(rotational motion)을 한다는 것이다. 제 3법칙은 서로 접촉하고 있는 두 물체는 공통 접촉면에서 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 주고 받는다는 것이다. 이러한 상호작용을 작용·반작용이라고 부른다.
이 중에서 제 2법칙은 뉴튼법칙의 핵심에 해당되며, 물체의 거동을 정적인 것과 동적인 것으로 구분하는 기준이 된다. 즉, 물체에 작용하는 모든 힘 혹은 모멘트의 합이 0인 경우에는 물체는 정지상태에 있거나 일정한 속도로 운동해야 한다. 대부분의 물체는 초기에 정지상태에 있기 때문에 정지상태를 유지해야 하고, 이러한 물체의 거동을 분석하는 것을 특별히
캔 음료수, 항공기 날개 그리고 올림픽 경기장의 지붕 등은 대표적인 쉘 구조물(shell-like structure)이다. 쉘 구조물의 기하학적 특징은 평판(plate-like structure)과 달리 유한한 곡률반경(radius of curvature)을 가진 곡면으로 되어 있다는 점이다. 예를 들어, 음료수의 캔은 수직방향으로는 곡률반경이 무한대인 직선형상이지만 원주방향으로는 유한한 반경을 가진 곡면으로 되어 있다.
쉘 구조물의 또 다른 주요한 특징은 두께가 구조물 전체 크기에 비해 상대적으로 매우 얇은 박판 구조물(thin-walled structure)로서, 변형(deformation), 변형률(strain) 및 응력(stress) 이 두께방향으로 극히 미소한 변화를 나타낸다. 이러한 특성 때문에 구조물의 변형을 두께방향으로 일정하거나 아니면 직선으로 변한다고 가정하여도 큰 문제가 되지 않는다. 쉘 구조물의 두께 방향으로의 변형은 미리 가정되었기 때문에 구조물의 중립면(neutral surface)에서의 변형만 구하게 되면 구조물 전체의 변형은 자연스럽게 계산되어진다.
쉘 요소라 함은 쉘 구조물의 이러한 특성을 이용하여 중립면을 작은 영역으로 세분화시킨 하나 하나를 지칭한다. 따라서 쉘 요소는 2차원 유한요소(finite element)이다. 쉘 요소의 각 절점(node)에서는 3 방향으로의 병진 자유도(translation degree of freedom)과 2 개의 회전 자유도(rotation degree of freedom)을 가지고 있다. 그리고 쉘 요소에서는 두께 방향으로의 변형률과 응력 성분들은 모두 0의 값을 나타낸다.
다시 말해 쉘 구조물은 거의 대부분 평면응력 상태(plane stress state)로 가정되고, 쉘 요소로 구한 변형은 이러한 가정을 만족하도록 정의되어 있다. 한편, 평판 요소(plate element)는 곡률반경이 무한대인 쉘 요소의 특수한 요소 유형이다.
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두께가 부재의 전체 크기에 비해 현저히 작은 구조물을 박판 구조물이라고 부른다. 평판(plate)이나 쉘(shell)과 같은 부재가 대표적인 예로서 유한요소 해석에서는 구조물의 중립면(neutral plane)에 2차원 요소망(mesh)을 적용하여 중립면의 변위(displacement)를 구하는 것이 효과적이다. 그 이유로는 두께 방향으로 변위의 변화는 매우 미소하기 때문에 일정하게 혹은 직선형태로 미리 가정할 수 있기 때문이다. 중립면에 적용되는 유한요소(finite element)를 각각 평판 요소(plate element) 그리고 쉘 요소(shell element)라고 부른다.
박판 구조물은 역학적 그리고 유한요소 해석(finite element analysis)적 측면에서 뚜렷이 구별되는 특성을 지니고 있다. 역학적 측면에서는 구조물의 두께방향으로 변형률과 응력 성분이 0인 평면응력 상태(plane stress state)에 있다는 점이다. 하지만 이러한 가정은 두께가 무한히 작은 극한상태(limit state)에 해당되기 때문에 실제로는 어느 정도의 변형률과 응력이 존재하고, 두께가 증가할수록 이 가정으로부터 멀어진다. 유한요소 해석 측면에서 요소크기(element size)가 크거나 요소차수(element order)가 낮으면 잠김현상(locking phenomenon)이라 불리는 해석결과의 부정확성이 유발된다.
또한 경계층 효과(boundary effect)라 불리는 특이성(singularity)이 구조물의 경계에서 발생하기 싶다. 일반적으로 박판이 두꺼운 구조물에 비해 유한요소 해석이 쉽다고 생각하기 쉬우나 실제로는 정반대로 주의를 요하는 매우 어려운 문제이다. 잠김현상은 요소의 크기를 줄이거나 요소의 차수를 높이면 어느 정도 해결되지만, 감차적분(reduced integration)이나 특이요소(singular element)를 사용하는 것이 보다 효과적이다. 한편 경계층 효과에 따른 특이성은 구조물의 경계를 따라 경계요소(boundary element)라 불리는 폭이 매우 좁은 요소를 배치시키면 효과적으로 구현할 수 있다.
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유한요소법(finite element method)과 같은 수치해석(numerical analysis) 기법에 있어서 시뮬레이션의 대상이 되는 문제에 내재되어 있는 각종 구속조건(constraint)을 처리하는 방법들은 정확도에 따라 크게 두 가지로 구분할 수 있다. 첫 번째는 수치해석에서 구속조건이 정확하게 만족되도록 하는 방법이고, 다른 하나는 구속조건을 근사적으로 만족시키는 방법이다. 전자의 경우는 구속조건이 정확하게 만족되지만 수치기법상 어려울뿐더러 해석시간이 증가하는 단점이 있다. 이에 반해 후자의 경우는 정확도는 어느 정도 떨어지지만 수치적인 처리가 간단하고 해석시간을 증가시키지 않는 장점을 지니고 있다.
후자의 대표적인 방법으로 벌칙 기법이 매우 광범위하게 사용되고 있다. 벌칙(penalty)이란 용어는 벌금이란 뜻을 지니고 있으며, 이 용어를 사용하게 된 이유는 구속조건을 수치적으로 처리하는데 있어 간편함이란 장점을 얻기 위해 정확도를 어느 정도 희생하는 벌금을 낸다는 뜻에서 유래된 것이다. 벌칙기법은 흔히 구속조건을 스프링으로 대체하는 것으로 설명된다. 예를 들어 a=0라는 구속이 있다고 생각하면, a를 스프링 상수 k를 가지는 스프링의 늘어난 길이로 대체한다. 그러면 스프링 상수 k가 커질수록 늘어난 길이 a는 0으로 줄어들게 될 것이다. 여기서 스프링 상수k를 벌칙기법에서는 벌칙상수(penalty constant)로 정의하고 있다.
벌칙상수를 큰 값으로 설정할수록 구속조건은 보다 정확하게 만족된다. 하지만 벌칙상수가 과도하게 커지게 되면 수치적으로 불안정성을 야기한다. 유한요소 해석에 있어 적절한 벌칙상수의 값은 해석하고자 하는 대상 물체의 강성(stiffness)과 구속조건의 정확도에 따라 달라진다. 구속조건을 정확하게 만족시키는 전자에 해당하는 기법으로 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)이 대표적이다.
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물체에 힘을 가하면 물체의 형상이 변하는 변형(deformation)이 발생한다. 그리고 물체 내부에는 외력에 저항하는 응력(stress)이 발생함과 동시에 원래 상태로 복원시키려는 복원 에너지가 축적된다. 이처럼 물체의 변형에 따라 물체 내부에 축적되는 복원 에너지를 변형률 에너지라고 부른다. 변형률 에너지는 물리적으로 일(work)과 동일한 단위(unit)를 가지며, 물체 내부의 응력과 변형률의 곱을 물체 전체에 걸쳐 합한 값으로 계산된다.
변형률 에너지는 물체에 가해진 힘이 제거되면 물체를 변형 전 모양으로 복원시키면서 소멸된다. 물체에 작용하는 힘에 의한 총 일의 일부는 물체를 영구적으로 변형시키는 소성변형(plastic deformation)에 사용되고 나머지가 변형률 에너지로 축적된다. 물체 단위 체적당의 변형률 에너지를 변형률 에너지 밀도(strain energy density)로 정의하고 이 값은 물체내 임의 한 점에서의 응력과 변형률의 곱으로 계산된다.
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편리한 인간생활을 추구하기 위하여 개발된 각종 제품들은 각기 고유한 성능을 제공하기 위하여 설계되었다. 그리고 각 제품이 제공해야 할 성능은 하나 이상일 경우가 대부분이지만, 각 성능의 중요도는 각기 다르다. 예를 들어 에어컨의 주된 성능은 더운 날 실내온도를 원하는 수준으로 낮추어 주는 것이다. 하지만 에어컨의 기술 발전과 사람들의 욕망이 지속적으로 증가함에 따라 저소음, 공기 정화, 저가격 등과 같은 부가적인 성능들이 주요시 되고 있다.
이러한 성능들을 가장 잘 만족시키는 제품을 설계하는 일을 최적설계(optimum design)라고 부르고, 가장 최적으로 만족시키고자 설계한 성능을 특별히 목적함수(objective function)로 정의하고 있다. 특정한 제품의 개발에는 많은 성능들이 고려되지만, 해당 설계업무 시 고려의 대상이 되는 성능만이 목적함수에 해당된다. 따라서 해당 제품의 개발 목표에 따라 목적함수가 달라지게 되며, 각 목적함수 내에 포함되어 있는 세부 성능들의 상대적인 중요도도 달라질 수 있다.
하나 이상의 세부성능들로 구성된 목적함수를 특별히 다목적 함수(multiobjective function)라고 부르며, 일반적으로 각 세부성능에 가중치(weighting factor)를 곱하여 대수적으로 합한 값으로 정의된다.
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