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등가응력(effective or equivalent stress)이라고도 부르며 영국의 과학자 폰 미제스(von Mises, 1883~1953)의 이름을 따서 불리게 된 특수한 유형의 응력이다. 물체는 외부로부터 힘이나 모멘트를 받게 되면 어느 정도까지는 견디지만 얼마 이상의 크기가 되면 외력을 지탱하지 못하고 파괴된다. 이러한 파괴를 예측하는 기준이 되는 조건을 항복조건(yield criterion)이라고 부르며, 폰 미제스 항복조건과 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)이 대표적이다.
폰 미제스 응력이란 폰 미제스 항복조건에 사용되는 응력으로 하중을 받고 있는 물체 각 지점에서의 비틀림에너지(maximum distortion energy)를 나타내는 값이다. 수학적으로는 세 개의 주응력(principal stress) 혹은 6개의 독립된 응력성분들로 정의된다. 예를 들어, 임의의 유한요소 해석 프로그램으로 강도해석을 수행하면 물체 내부의 응력분포를 구할 수 있다. 그리고 각 지점에서 3개의 수직응력(normal stress)과 3개의 독립된 전단응력(shear stress)을 구할 수 있다.
하지만 이러한 응력 성분들 만으로는 물체가 외부 하중에 의해 파괴를 일으킬 것인지 아니면 안전한지를 판단할 수 없다. 왜냐하면 물체의 파괴는 각각의 응력 성분들의 최대값만으로 유발되는 것이 아니라 응력 성분들의 조합에 의하여 야기되기 때문이다. 폰 미제스 응력은 물체 각 지점에서 응력 성분들에 의한 비틀림 에너지의 크기를 나타내는 값으로서, 가장 정확하게 물체의 파괴를 예측하는 기준으로 알려져 있다.
금속과 같이 상대적으로 연한 재료의 구조적인 파괴(structural failure)를 예측하기 위해서 폰 미제스 응력(von Mises stress)을 이용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory), 트레스카 이론(Tresca theory)라 불리는 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory) 그리고 최대 수직응력 이론(maximum normal stress theory) 등이 널리 사용되고 있다.
이러한 이론들은 연성재료(ductile material)의 파괴여부를 판단하기 위한 것들이고 연성 파괴이론으로 분류된다. 이들과 구분되는 파괴이론으로 취성 파괴이론들이 있으며, 콘크리트나 유리와 같은 취성재료(brittle material)의 파괴여부를 판단하기 위해 사용된다.
연성 파괴이론들 중에서 최대 수직응력 이론은 물체 내 임의 지점에서의 주 응력(principal stress)의 어느 하나가 물체의 항복응력(yield stress)에 도달하였을 때, 그 지점에서 소성변형(plastic deformation)에 따른 파괴가 발생한다는 것이다. 이 이론은 위에서 열거한 나머지 두 가지 연성 파괴이론들 보다는 잘 사용되지 않지만 매우 간단하게 파괴 여부를 판단할 수 있는 특징을 지니고 있다.
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힘을 받고 있는 물체 내부 각 점에서의 응력(stress)은 항상 특정한 좌표축을 기준으로 계산되는 값이다. 그 이유는 응력은 방향과 크기를 가지는 하중의 해당 지점에서의 단위 면적당 크기로 정의되기 때문이다. 따라서 좌표축이 회전하여 좌표축의 방향이 달라지면 응력 성분들의 크기도 변한다.
예를 들어 단면적이 A인 원형단면 봉의 축 방향으로 F라는 힘이 작용하고, 봉의 축 방향을 x축으로 그리고 봉의 축과 직각인 방향을 y축으로 설정한다. 그러면 x축과 직각을 이루는 단면에 발생하는 응력 성분은 x축 방향으로의 수직응력(크기=F/A)뿐이다. 하지만 좌표축을 봉의 축과 경사지게 설정하면 x축과 수직인 단면 역시 봉의 축에 경사진 단면이 된다. 따라서, 봉의 축 방향으로의 하중 F는 경사진 단면에 수직한 성분과 평행한 성분으로 분해할 수 있다. 그 결과 경사진 단면에서는 x축 방향으로의 수직응력이 감소함과 동시에 y축 방향으로 전단응력이 추가적으로 발생하게 된다.
이와 같이 좌표축이 회전하게 되면 임의 점에서의 수직응력과 전단응력의 크기는 변한다. 그리고 회전한 좌표축을 기준으로 임의 지점에서의 응력값은 이론적으로 유도할 수 있으며, 회전하기 전 좌표축에서의 응력값과 좌표축 회전각도의 함수로 표현된다. 이 함수를 평행축을 수직응력으로 그리고 수직축을 전단응력으로 하여 평면상에 도식적으로 표현한 것을 임의 지점에서의 2차원 응력상태에 대한 모어 원도라고 부른다.
이 원도는 임의 지점에서의 x축과 y축 방향으로의 수직응력의 평균값을 중심점(원도의 평행축 상에)으로 하고 최대 전단응력을 반경으로 하는 원으로 표현된다. 이 원도를 이용하면 임의 지점에서의 응력 성분들이 좌표축이 회전함에 따라 크기가 어떻게 변하는지 한 눈에 알 수 있을뿐더러, 도해적인 방식으로 임의 회전 각도에서의 응력성분들의 크기와 응력이 최대 및 최소가 되는 방향(즉, 주 방향(principal direction)과 그 값들(즉, 주 응력(principal stress))을 쉽게 파악할 수 있다. 이 모어 원도는 3차원 응력상태에도 적용이 가능한데, 3차원의 경우에는 이 원도상에 3개의 원이 그려진다. 이 원들은 x-y, y-z 및 z-x축의 회전에 따른 해당 응력성분들의 변화를 각각 도식적으로 나타낸다.
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공간 상에서 특정한 위치를 정의하기 위해서는 기준이 되는 점과 두 위치 사이의 상대적인 거리가 필요하다. 기준이 되는 점을 원점(origin)이라고 부르고, 상대적인 거리는 좌표값으로 표현된다. 여기서 좌표값은 서로 직교하는 세 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다. 참고로, 이 경우는 3차원 공간에 대한 설명이고 1 및 2차원 공간에 있어서는 각각 한 방향 혹은 서로 직교하는 두 방향으로의 거리의 성분들로 표현된다.
이처럼 원점과 서로 직교하는 방향축으로 구성된 것을 특별히 좌표축이라 부른다. 예를 들어, 서울역을 원점으로 하고 부산으로 향하는 방향과 하늘을 향하는 방향을 두 개의 직교하는 축으로 설정하면 나머지 한 축은 서로 직각이어야 하는 조건에 의해 자동적으로 정의되고, 이 좌표축을 이용하면 서울역을 중심으로 한 상대적인 위치를 표현할 수 있다. 만약 원점은 그대로 두고 세 방향을 회전시키면 새로운 좌표축이 정의된다. 물론 새로운 세 방향은 서로 직각이 되어야 한다.
이러한 좌표축은 공학분야에 있어 필수적이다. 물체 내 한 점에서의 응력(stress)은 좌표축의 회전에 따라 그 값들이 변한다. 또한 물체의 변형률(strain), 질량 관성모멘트(mass moment of inertia) 그리고 단면의 면적 관성모멘트(area moment of inertia)도 계산의 기준이 되는 좌표축의 방향에 따라 그 값들이 변한다.
그리고 이러한 물리량들은 특정한 좌표축 의 방향에서 최대 및 최소값을 가지게 되는데, 이 특정한 좌표축 방향을 주축이라고 부른다. 참고로, 주축에서의 최대 및 최소 응력값을 주 응력(principal stress)이라고 부른다. 만약 응력값이 아니고 질량 혹은 면적 관성모멘트라면 최대 및 최소값을 주 관성모멘트(principal moment of inertia)라 부르고, 변형률이라면 주 변형률(principal strain)이라고 지칭한다.
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힘을 받고 있는 물체가 파괴에 도달할 것인지를 예측하는 것은 공학(engineering)분야에 있어 대단히 중요한 기술이다. 왜냐하면 작은 기계부품으로부터 대형 건축물에 이르기 까지 물체 내 어느 한 부분의 파괴는 대상 물체의 기능을 마비시킬 뿐만 아니라 심지어는 예상치 못한 대형 참사를 불러올 수 있기 때문이다.
따라서 지금까지 파괴를 예측하기 위한 이론들이 많이 연구되었고, 대표적인 이론식들이 실제 산업 현장에서 적용되고 있다. 이들 중에서 폰-미제스 항복조건(von-Mises yield criterion)과 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)은 금속 부품의 파괴 예측을 위해 많이 사용되고 있다. 그리고 구성 입자들이 응집력으로 뭉쳐있는 흙이나 눈과 같은 물질의 파괴 예측에는 쿨롱-모어 이론이 많이 사용되고 있다.
이 이론은 모어(Mohr)의 파괴이론을 그 이후에 프랑스의 물리학자 쿨롱(1736~1806)이 실무 엔지니어들이 쉽게 적용할 수 있도록 수정한 것이다. 모어의 파괴이론은 물체 내 어떤 면상의 전단응력(shear stress)이 물체의 전단강도에 도달하였을 때 파괴가 일어나며 전단응력은 그 면상의 수직응력(normal stress)의 함수로 표현된다는 것이다.
쿨롱-모어 이론은 모어-쿨롱 파괴가설로도 불리곤 한다. 이 이론을 주응력(principal stress)을 좌표축으로 하는 3차원 공간에 나타내면 육면체 다각형으로 표현되고, 트레스카 항복기준의 일반화된 형태로 잘 알려져 있다.
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하중을 받는 물체의 항복 혹은 파괴를 예측하기 위한 이론들 중에서 트레스카 항복조건(Tresca yield criterion)과 쿨롱-모어 이론(Coulomb-Mohr theory)은 주응력(principal stress)을 좌표축으로 하는 3차원 공간상에서 육면체의 다각형으로 표현된다. 그 이유는 이들 이론들이 물체 내 전단응력을 파괴 예측의 기준으로 삼고 있기 때문이다. 이들 이론들은 다각형의 각 면이 직선으로 표현되기 때문에 이론식으로 표현하기가 쉽다.
하지만 이 모서리부로 인해 이들 이론들을 수치해석(numerical analysis)에 적용할 때 많은 어려움을 안겨준다. 왜냐하면 다각형 형상의 항복기준에 있어 항복이 발생하기 쉬운 방향을 나타내는 법선벡터(normal vector)가 모서리 부분에서 갑자기 변함으로 인해 불연속이 되기 때문이다. 수치해석에 있어서 이러한 단위벡터의 불연속은 항복곡면을 수치해석적으로 처리하는 과정에서 많은 문제점을 야기한다.
따라서 이러한 문제를 해결할 수 있는 이론이 바로 드러커-프라거 항복기준이다. 이 이론은 최대 비틀림 에너지를 항복예측의 기준으로 삼는 폰-미제스 항복기준(von-Mises yield criterion)을 토양이나 눈과 같은 물질로 확장시킨 것이다. 이 이론은 주응력을 좌표축으로 하는 3차원 공간상에 나타내면 타원형으로 표현될뿐더러, 쿨롱-모어 이론의 기하학적 형상의 외접 타원형이 되기 때문에, 쿨롱-모어 이론보다 물체가 파괴되지 않고 안전한 범위가 넓은 특징을 지니고 있다.
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