금속과 같이 외부 하중이 증가하면 변형(deformation)이 현저하게 발생하는 연성재료(ductile material)의 거동은 탄성과 소성으로 특징지어 진다. 외부 하중에 따른 물체 변형률(strain)의 증가에 선형적으로 응력(stress)이 증가하는 탄성영역에서는 물체의 거동을 쉽게 표현할 수 있다. 응력-변형률 선도(stress-strain diagram) 상의 기울기, 즉 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)만으로 충분하다.
하지만 물체의 거동이 소성영역 내에 있게 되면 단순히 탄성계수만으로는 물체의 거동을 표현할 수 없다. 왜냐하면 응력-변형률 선도가 더 이상 직선이 아닐뿐더러, 하중부여 및 제거에 따른 변형률 경화(strain hardening) 등에 따라 물체의 거동을 제대로 표현하기 위해서는 보다 많은 변수들과 이들에 의해 표현되는 복잡한 소성모델(plastic model)이 필요로 하게 된다. 간단한 예로 탄성영역에서는 변형에 대한 물체의 강성이 탄성계수로 표현될 수 있지만, 소성영역에서는 탄성계수 이외에 소성계수(plastic modulus), 경화계수(hardening modulus) 등의 추가적인 변수들이 요구된다.
소성모델이란 소성영역에서 물체의 응력-변형률 관계를 표현하는 수학적 표현식으로써, 이 모델을 통해 소성변형을 계산할 수 있을뿐더러 소성과 관련된 각종 계수를 유도할 수 있다. 대표적인 소성모델로 선형, 이중선형, 삼중성형, 다중선형(multi-linear) 및 거듭제곱법 모델(power law model)이 소개되어 있다.
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강철과 같은 금속에 외부 하중을 가하여 임의 형상으로 변형시키거나 혹은 반복적으로 변형을 가하게 되면 재료의 항복응력(yield stress)은 계속해서 증가하는 특성을 나타낸다. 이와 같이 재료의 항복응력이 재료의 변형과 더불어 증가하는 현상을 경화(hardening)라고 부른다. 가장 전형적인 예로 변형률 경화(strain hardening)를 들 수가 있다. 예를 들어, 금속 봉을 구부렸다가 편 후 다시 구부리려고 하면 처음보다 더 큰 힘을 필요로 하는 것이 바로 경화에 따른 재료의 강성 증가 때문이다.
금속 봉을 구부리는 경우에는 물체 내부에 축 방향으로의 굽힘응력 만이 작용하지만, 대부분의 물체에는 3차원적인 하중이 작용하고 그 결과 물체 내부의 응력상태도 3차원적이다. 따라서 이러한 3차원적 응력상태에 있는 물체의 항복(yielding)을 판정하기 위해서는 폰-미제스 응력(von-Mises stress)를 활용한 최대 변형률에너지 원리(maximum strain energy theory)나 전단응력을 활용한 최대 전단응력 이론(maximum shear stress theory)과 같은 3차원적 항복조건(yielding criterion)을 적용해야 한다.
3차원적 응력상태에서 재료가 항복을 일으키는 응력크기의 수준은 구(sphere) 혹은 면의 크기가 동일한 다각형(polygon)으로 표현된다. 이 곡면을 항복곡면(yield surface)이라고 부르며, 물체 내 응력상태가 이 곡면 내에 존재하면 항복이 발생하지 않고, 이 곡면을 벗어나면 항복이 발생한다. 재료의 경화는 이 항복곡면의 크기를 증가시키게 되는데, 항복곡면이 모든 방향으로 동일한 크기로 증가하는 경우를 등방 경화(isotropic hardening)라고 부르고 이것을 수학적으로 표현한 것을 등방 경화법칙이라고 한다.
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재료의 강한 정도를 나타내는 강성(stiffness)은 열처리를 이용해 증가 혹은 감소시킬 수 있다는 사실은 이미 잘 알려져 있다. 하지만 열처리가 아닌 재료의 변형(deformation)에 의해서도 강성이 변할 수 있는데, 그 대표적인 것이 가공경화(working hardening)라고 불리는 변형률 경화(strain hardening)이다. 이러한 현상은 소성변형(plastic deformation)이 증가할수록 재료가 경화되는 것으로써, 변형률의 크기와 더불어 항복응력(yield stress)이 증가하는 것이 가장 뚜렷한 특징이다.
이와는 달리 가장자리가 구속되어 있는 보, 아치, 평판 그리고 쉘 구조물은 굽힘에 따른 변형량이 하중에 비례하여 증가하는 것이 아니라, 하중이 증가할수록 변형량의 증가가 둔화되는 비선형성(nonlinearity)을 나타낸다. 이러한 현상은 굽힘에 따른 박판 구조물(thin-walled structure)의 중립면(neutral plane)에 발생하는 인장응력의 증가가 재료의 강성을 증가시키 때문이다. 이러한 현상을 특별히 기하학적 경화라고 구분한다. 동일한 재질, 형상 그리고 크기를 가진 보에 있어서, 양 단이 고정된 경우에서의 처짐량이 외팔보 지지상태에 비해 현저히 작은 이유가 바로 여기에 있다. 하지만 유한요소 해석에 있어 대변형을 반영한 비선형 해석이 아닌, 선형해석으로는 대변형에 따른 뚜렷한 기하학적 경화를 구현할 수 없다.
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얇은 금속판을 구부려 원하는 형상으로 성형하는 경우, 금속판은 소성변형(plastic deformation)이라 불리는 영구변형을 일으키게 된다. 만일 금속판에 작용하였던 하중을 제거하였을 때 이러한 영구변형이 제거되어 원래 형상으로 복구된다면 금속성형은 불가능해 질 것이다. 소성변형을 일으키는 물체에 있어 물체 내부에 발생하는 응력(stress)과 변형률(strain)의 관계는 더 이상 직선적인 관계에 있지 않고, 재료에 따라 특정한 곡선적인 관계를 나타낸다.
이와 같이 곡선적인 응력-변형률 관계는 소성변형에 따른 가공경화(work hardening) 혹은 변형률 경화(strain hardening)에 기인한다. 다시 말해 변형률의 증가와 더불어 재료의 강성이 지속적으로 증가한다. 이와 같이 가공경화를 나타내는 물체의 소성변형에 있어 응력은 일반적으로 변형률의 n 제곱승으로 표현되는데, 이 실수값 n을 경화지수라고 부른다. 경화지수는 0과 1사이의 값을 가질 수 있는데, 0의 값은 완전소성(perfectly plastic)을 나타내며 수평선 형태의 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로 표현된다. 반면 이 값이 1인 경우는 재료의 변형이 아직 소성이 아닌 탄성변형(elastic region)에 있음을 나타낸다. 금속의 경우 가공경화를 수반하는 소성변형 에 있어 n값은 0.1에서 0.5사이의 값을 가진다.
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