한 쪽 끝이 벽에 고정되어 있는 특정한 단면적을 가진 나무판자의 다른 쪽 끝에 수직으로 충격하중을 가하면 특정한 형상으로 아래 위로 진동하게 된다. 그리고 끝 단에 가해지는 충격하중을 얼마나 빠르게 그리고 얼마나 큰 힘으로 가하는가에 따라 진동하는 막대의 모양은 달라진다. 외부로부터 동적인 하중을 받는 물체의 진동은 물체의 강성(stiffness)에 의한 복원력과 질량에 따른 관성력(inertia)의 상호작용에 의한 결과이다.
한편, 나무막대와 같이 내부가 꽉 채워진 탄성체는 무한개의 질점(point mass)과 무한개의 스프링이 서로 연결된 동적 시스템으로 생각할 수 있다. 따라서, 이러한 탄성체, 전문용어로 연속체(continuum body)는 무한개의 자유도(degree of freedom)를 가지고 있고, 그 결과 물체의 고유한 진동형상, 즉 모드형상(mode shape) 역시 무한개이다. 이러한 물체의 고유모드와 각 고유모드에 해당하는 고유진동수(natural frequency)를 구하는 것을 모드해석(modal analysis)이라고 부른다. 한편, 무한개의 고유모드를 가지는 연속체를 유한개의 유한요소(finite element)로 요소망(mesh)을 생성하면 요소망의 자유도 개수만큼 고유모드를 가지는 한정된 동적 시스템으로 축소된다.
하지만 유한개의 고유모드를 수치해석으로 계산하는 일도 요소망 내 유한요소의 개수가 많을 경우 계산시간의 문제로 쉽지는 않다. 그렇지만, 구조물의 진동에 미치는 고유모드의 영향력은 고차 고유모드로 갈수록 줄어든다. 따라서, 진동분석을 위해 모든 고유모드가 필요로 하는 것은 아니며, 진동분석의 목적에 따라 특정한 개수의 저차 고유모드로 한정된다.
n개의 고유모드를 풀기 위해 필요한 (nxn)크기의 고유치 행렬방정식을 N개의 저차 고유모드만을 풀기 위해 필요한 (NxN) 행렬방정식으로 축소시키는 수치 알고리듬을 란초스 알고리듬이라고 부른다. 한편 주의할 점은 N개의 저차 고유모드만이 필요하다고 N개의 고유모드만을 가지는 엉성한 요소망을 생성하여 고유모드를 구해서는 안 된다. 란초스 알고리듬은 20세기에 개발한 10대 수치기법들 중 하나로, 아인슈타인의 조수이자 상대성 이론 연구를 도왔던 헝가리 수학자 란초스(Lanczos, 1893-1974)에 의해 개발되었다.
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