유체의 움직임을 컴퓨터로 계산할 때 어떻게 계산하면 좋을까요? 공기 유체의 분자 하나하나를 계산할까요? 아니면 하나로 뭉쳐서 한 번에 계산할까요?
이번 칼럼에서는 유체의 난류를 컴퓨터로 계산하는 수치해석 기법인 DNS와 RANS 그리고 LES에 대해 알아볼 것입니다. 이들이 어떻게 다르고, 왜 이런 방식으로 유동해석을 접근해야 하는지 이해한다면, 유동해석에 대한 궁금증을 하나 해결할 수 있을 겁니다.
유체의 움직임을 컴퓨터로 알기 위해서는 컴퓨터가 계산할 수 있는 방식으로 만들어 줘야 할 필요가 있습니다. 여러 가지 방식이 있지만, 대표적인 방식으로는 유체를 유한 개의 격자로 자르는 공간 이산화 과정이 있습니다.
위의 귀여운 그림처럼 하나의 유체를 잘게 조각내서 조각마다 유체 정보를 옆으로 전달하게 되는데, 이 과정을 거치면 최종적으로 유체 전체의 움직임을 알 수 있습니다.
위 그림이 층류 유동이고, 아래 그림이 난류 유동입니다. 두 유동 모두 왼쪽에서 오른쪽으로 흐르고 있지만 두 가지 흐름 모양이 다릅니다.
층류는 크게 확대해도 진행 방향에 맞게 한 방향으로 진행됩니다. 이에 비해 난류는 전체적으로 한 방향으로 진행되는 것 같아 보이지만 그 안에서는 회전 성분을 가지고 있습니다. 이 회전 성분을 eddy, 와류라고 합니다. 이 eddy 는 층류에서 난류로 변할 때 최초의 eddy 가 발생하며, eddy 중에서 지름이 가장 큰 형태입니다.
최초의 eddy 를 자세히 살펴보면 곡선이 아닌 직선 형태의 유동으로 이루어져 있습니다. 난류가 더 진행된다면 이 작은 직선 유동에도 작은 eddy 가 발생하게 됩니다. 이로 인해 eddy 의 크기가 점차 작아지게 됩니다.
CFD 에서는 공간을 이산화하여 격자 형태로 표현하는 과정이 필요하다고 말씀드렸습니다. 이 과정에서 위 그림처럼 곡선 형태의 eddy 를 격자로 나누어 직선 형태로 표현해 주어야 합니다. 그래서 eddy 가 곡선 형태인 상태로 격자 크기만큼 작아진다면,정확하게 격자로 모사하는 것이 어려울 수 있습니다. 따라서 CFD 에서는 eddy 의 크기를 고려하여 적절한 수치해석 기법을 선택하는 것이 중요합니다.
수치해석 기법을 알기 위해 격자의 크기를 먼저 알아보도록 하겠습니다.
먼저 격자의 크기에 대해 수학적으로 설명하자면, 유체를 설명하는 이 미분 방정식을 차분 방정식으로 바꿔서 풀어야 합니다. 위 그래프에서 x 축은 두 분자 지점 사이의 거리이고 y 축은 두 지점의 속도 차이를 나타내는데, x 값이 커질수록 거리가 멀어져 두 지점 (uu) 의 속도 관계가 없어집니다.
그래프의 Integral length scale 곡선을 적분하면 분홍색 사각형 면적이 됩니다. 이 면적이 가장 큰 유동 구조 격자의 크기이며, x=0 일 때의 곡률에 따른 포물선 스케일이 Taylor micro scale 입니다.
또한 하나의 격자 당 하나의 속도 크기를 나타낼 수 있을 정도로 작은 격자를 최소 격자 크기(가장 작은 유동구조 스케일) 라고 하며, 이를 Kolmogorov length scale 이라고 합니다. 최소 격자크기(Kolmogorov length scale)는 이 그래프로도 표현할 수 없이 작으며 차원을 통해 얻을 수 있습니다.
(𝜀 : 유동의 소산율, 𝜈 : 유동의 동점도, 𝜂 : Kolmogorov length scale)
이에 따라 Kolmogorov length scale 의 격자를 계산하려면 상당히 많은 메모리가 필요한데, 이 스케일을 모사해 계산하는 수치해석 기법이 있습니다. 바로 DNS 입니다.
DNS란 나비에-스톡스 방정식을 컴퓨터로 직접 푸는 접근 방법입니다. 난류 모델 없이 난류 유동을 수치적으로 해석하여 모든 크기의 eddy 를 계산하며, 수치모사라고 부릅니다. 시간과 공간을 가장 작은 스케일인 Kolmogorov length scale부터 가장 큰 유동 구조 크기까지 모두 모사하기 때문에 순간순간 마다의 유동장의 정보를 필요로 할 때 이 기법을 활용합니다.
하지만 이 DNS에는 두 가지 한계가 있습니다. 첫 번째로 격자 개수입니다. 격자의 크기를 설명할 때 말씀드렸지만, Kolmogorov length scale 부터 가장 큰 격자까지 처리하려면 10^18 만큼의 격자가 필요하게 되며, 일반적으로 사용하는 컴퓨터로는 풀기 어렵습니다.
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