컴퓨터의 발전은 계산 프로그램의 발전을 도모하였습니다. 수많은 전용 혹은 범용 프로그램들이 복잡한 구조 문제들을 다루도록 작성됐습니다. 컴퓨터와 계산 프로그램의 발전으로 유한요소법은 다음과 같은 장점 때문에 실무 해석에서 많이 활용되고 있습니다.
이전 포스팅에 설명한 것과 같이 유한요소법은 행렬을 이용하여 문제를 푸는 방식입니다. 1950년대 초까지는 행렬법과 그와 연관된 유한요소법은 복잡한 문제들을 풀기에는 적합한 방법이 아니었습니다.
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왜냐하면 중간 과정에서 생기는 대단히 많은 수의 대수 방정식들을 풀어야 하기 때문입니다. 그러므로 비록 유한요소법이 복잡한 구조 해석 문제를 풀기 위해 사용되었지만, 그 중간 단계에서 대형 연립 방정식의 해를 구해야 하는 과정으로 인해 이 유한요소법은 매우 어렵고 사용하기에 비실용적인 방법이었습니다. 하지만, 컴퓨터의 도움으로 대형 연립 방정식의 해를 몇 분 안에 쉽게 구할 수 있게 되었습니다.
• 모든 물리 분야 문제에 적용할 수 있습니다. (응력 해석, 온도 해석, 유동 해석, 전자기장 해석 등)
• 유한요소법은 다양한 모양의 요소를 제공하기 때문에 해석 대상의 기하학적인 모양에 제약이 없고, 자동 요소망 생성 기능을 이용하여 간편하게 해석을 위한 요소망을 작성할 수 있습니다.
• 하중, 경계 조건의 사용에 제약이 없습니다. 유한요소법은 하중, 경계 조건을 절점 기준으로 처리하므로 원하는 하중, 경계 조건의 부여 위치에 절점만 존재하면 됩니다.
• 다양한 재료를 사용할 수 있으며, 상대적으로 해석에서 요구되는 재료의 물성치를 구하는 것이 쉽습니다.
• 유한요소법은 다양한 거동/특성을 표현하는 요소를 제공하고 이들의 혼용이 가능하므로 해석 모델의 부분마다 다른 거동과 재료를 정의하는 것이 가능합니다.
• 유한요소법은 단위 요소의 특성을 계산한 다음, 전체 요소의 특성을 조합하는 방법으로 근사해를 구하기 때문에 유사한 과정의 반복 연산이 많고, 이에 따라 컴퓨터에 의한 자동화가 쉽습니다.
목차
1. 유한요소해석의 3 단계 프로세스 이해하기
2. 유한요소해석 S/W로 알아 보는 3 단계 프로세스
3. 유한요소해석을 이용한 20 가지 구조 해석 종류 이해하기
1) 선형정적해석 (Linear Static)
2) 모드해석 (Modal)
3) 좌굴해석 (Linear Buckling)
4) 열전달해석[정상상태] (Nonlinear Steady State Heat transfer)
5) 열응력해석[정상상태] (Nonlinear Steady State Heat Transfer)
6) 열전달해석[과도상태] (Nonlinear Transient Heat Transfer)
7) 열응력해석[과도상태] (Nonlinear Transient Heat Transfer)
8) 비선형 정적해석 (Nonlinear Static)
9) 일반 프리스트레스해석 (General Prestressed Analysis)
10) 비선형 준정적해석 (Nonlinear Quasi-Static)
11) 외연적 비선형 동해석 (Nonlinear Explicit Transient)
12) 순차적 비선형해석 (Sequential Nonlinear)
13) 과도응답해석[직접법] (Direct Transient Response)
14 ) 과도응답해석[모드법] (Modal Transient Response)
15) 주파수응답해석[직접법] (Direct Frequency Response)
16) 주파수응답해석[모드법] (Direct Frequency Response)
17) 응답스펙트럼해석 (Response Spectrum)
18) 랜덤해석[직접법] (Direct Response Spectrum)
19) 랜덤해석[모드법] (Direct Response Spectrum)
20) 피로해석 (Fatigue Analysis)
1. 유한요소해석의 3 단계 프로세스 이해하기
일반적으로 S/W를 이용한 해석 프로세스는 크게 전처리 과정(Pre-processing), 풀이 과정(Solution), 그리고 후처리 과정(Post-processing) 과정으로 분류할 수 있습니다.
일반적으로 전처리 과정과 후처리 과정은 사용자가 해석 조건의 입력 또는 결과를 검토하는 단계입니다. 풀이 과정은 전처리 과정에서 입력된 해석 조건을 이용하여 컴퓨터가 강성 행렬을 구성하여 문제를 풀이하는 과정입니다. 그러므로 사용자가 전처리 과정에서 잘못된 값을 입력하게 되면 컴퓨터는 아무런 의심 없이 입력된 해석 조건을 이용하여 문제를 풀과 결과를 도출하게 됩니다.
다음 그림은 midas NFX의 구성을 나타낸 그림입니다. 일반적인 범용 해석 소프트웨어 구성은 대부분 같습니다.
<유한요소해석 소프트웨어 구성>
전처리 과정 (Pre-processing)
해석을 위한 모델(요소망)을 작성하고, 하중/경계 조건을 부여한 다음, 해석 종류를 지정해서 해석을 수행 시키는 과정으로 구성됩니다. 전통적으로 가장 많은 시간이 소요되는 단계가 해석을 위한 요소망을 작성하는 작업이지만, 현재는 대부분은 3차원 CAD 모델을 불러와서 자동 요소망 생성 기능을 이용하여 바로 해석을 위한 요소망을 작성할 수 있으므로 빠르고 편리하게 전처리 작업을 완료할 수 있습니다.
일반적으로 전처리 과정에서는 다음과 같이 모델을 정의합니다.
1) 정의 구역(차원, Domain)을 정의합니다.
2) 사용할 요소의 형태(Element type)를 정의합니다.
3) 요소의 기하학적 특성(Element properties)을 정의합니다. (면적, 단면 특성, 두께 등)
4) 요소의 재료 상수(Material Properties)를 정의합니다.
5) 요소의 연결성(Connectivity)을 정의합니다. (요소망 형성, 접촉 조건)
6) 물리적 구속 조건(Constraint)을 정의합니다. (경계 조건)
7) 하중 조건(Loading)을 정의합니다.
풀이 과정 (Solution)
풀이 과정에서는 지배 방정식을 행렬의 형태로 결합하여 영역 변수의 값을 계산합니다. 계산된 영역 변수(구조 해석 문제에서는 변위)는 반력, 요소 응력과 같은 유도 변수(영역 변수로부터 계산되는 값으로 구조 해석 문제에서는 변형률과 응력)를 계산하는 데에 사용되기도 합니다.
유한 요소 모델에서는 수만 개 이상의 방정식이 연립 되어 있는 경우가 많으므로, 데이터 저장 용량과 계산 시간을 감소시키는 특별한 풀이법이 사용됩니다. midas NFX에서는 직접법 솔버인 멀티 프론탈 (Multi-frontal)과 반복법 솔버인 AMG(algebraic multi grid)를 제공하고 있습니다.
결과 분석 (Post-processing)
솔버가 해석을 완료하면 계산된 각종 결과를 확인하고, 결과의 타당성 등을 검토하는 과정입니다.
해석의 목적에 따라 솔버가 제공하는 결과를 확인하는 것으로 충분할 수도 있고, 필요한 경우에는 해석 결과를 이용한 추가적인 연산을 수행하여 설계의 적합성을 판단하기도 합니다.
후처리 과정의 예를 보면 다음가 같은 것들을 포함합니다
• 응력 상태 검토
• 반력 값 계산
• 안전율 계산
• 구조물의 변형 후 형상
• 동역학적 거동 표현
• 온도 분포
해석 결과 데이터는 후처리 과정에서 다양한 방법으로 표시할 수 있으나 가장 중요한 사실은 해석 결과가 “물리적으로 합리적인가? 아닌가?”를 결정하는 데 있어서 건전한 공학적 판단을 할 수 있도록 사용되어야 합니다. 그러므로 유한요소법을 사용할 때 반드시 도출된 해를 다음의 관점에서 검토하여야 합니다.
• 수치 해석의 수렴성이 지나치게 낮지 않았는가
• 해석 결과가 공학적으로 합리적인가
• 구조물의 평형 상태, 흡열과 발열의 균형 등의 물리 법칙에 부합하는가
• 요소 사이의 경계 부분에서 유도 변수의 불연속이 합리적인가
2. 유한요소해석 S/W로 알아 보는 3 단계 프로세스
전처리 과정 (Pre-processing)
풀이 과정 (Solution)
후처리 과정 (Post-processing)
3. 유한요소해석을 이용한 20 가지 구조 해석 종류 이해하기
유한요소해석은 다양한 분야에 대한 해석을 수행할 수 있으며, 각 분야에 적합한 해석 기능이 있습니다.
현재 유한요소해석의 해석 범위는 성능 검증 중심의 강성, 강도, 내구 해석과 열/유동 해석, 그리고 진동, 소음, 모션 해석까지 가능하며 설계단계에서 최적의 안전성과 경제성을 확보할 수 있는 최적 설계 기능까지 포함되어 있습니다.
하지만, 유한요소해석이 다양한 해석 능력을 보유하고 있음에도 불구하고 사용자의 활용 능력에 따라 신뢰할 수 없는 결과가 도출되기도 합니다. 특히 유한요소해석은 이상화에 의한 시뮬레이션 도구이기 때문에, 계산된 유한요소 모델 결과의 정밀도는 해석을 위한 입력과 가정의 정밀도에 따라 다른 결과를 도출하기도 합니다.
유한요소해석의 불확실성의 원인은 사용자가 전처리 과정에서 입력하는 다양한 해석 조건에 대한 가정이 불분명하거나 불확실한 데이터가 입력하는 경우로 불분명한 경계 조건, 유효하지 않은 요소 선택, 불확실한 하중, 그리고 올바르지 않은 해석 타입 선택으로 구분할 수 있습니다. 다음 절에서는 유한요소해석의 주요한 가정과 해석 절차에 관해 설명하겠습니다.
1) 선형 정적해석 (Linear Static)
선형 정적해석은 모든 해석의 기본, 출발이 되는 해석으로 외부 하중의 작용에 대해 구조물의 변형과 강도적 안정성을 검토하는 해석 방법입니다. 선형 정적해석에서는 재료는 탄성 영역 내에서 후크의 법칙(Hooke’s Law)을 따라 거동 되어야 하며, 발생 변형에 의한 구조물의 강성 변화를 무시할 수 있을 만큼 변형이 작아야 합니다. 그리고
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