바다 위를 휘감는 바람, 비행기가 하늘을 가로지르는 그 순간의 역동적인 모습들이 우리를 사로잡는 이유는 무엇일까요? 이 모든 현상은 유체의 흐름과 움직임에 의해 형성되며, 이러한 현상을 해석하고 예측하는 것이 유동해석(CFD) 입니다.
일상에서 흔하게 목격하는 장면들도, 현대 기술과 공학의 최전선에서 벌어지는 혁신도 모두 유체의 움직임과 관련이 깊습니다. 우리는 현재 우주선의 공기 저항을 최소화하는 디자인 개발부터 자동차 엔진의 성능 향상 등 다양한 분야에서 유동해석(CFD)을활용하고 있습니다
유체의 움직임은 매우 복잡한데요, 유동해석은 현실의 다양한 유체를 모델링하고 예측할 때 사용됩니다. 이 모든 예측과 설계의 기반에는 유동해석의 핵심인 ‘보존방정식’이숨어있는데요, 지배방정식 이라고도 부르는 보존방정식은 유체 유동에 대한 물리적인 보존 법칙을 수학적으로 표현한 식으로, 유체의 특성과 변화를 예측하는 핵심 열쇠입니다. 그래서 이를 통해 유체의 특성과 상호작용을 이해하고, 다양한 조건에서의 예측을 수행할 수 있습니다.
이번 칼럼에서는 이 유체의 보존방정식에 대해 알아보겠습니다.
FEM(Finite Element Method)은 계산 영역을 요소로 알려진 더 작은 유한 크기의 하위 영역으로 나누어 편미분 방정식을 푸는 데 사용되는 수치해석 기법입니다. FEM은 이러한 요소에 대한 보간함수로 솔루션을 표현하여 도메인을 이산화합니다. 이 방법은 총 퍼텐셜 에너지를 최소화하는 원리 또는 변동 원리를 기반으로 합니다.
(1) 식은 질량 보 방정식으로, 𝑢𝑖 는 속도 벡터의 i번째 성분을 나타내며, 이 방정식은 유체의 질량이 보존되는 것을 나타냅니다.
(2) 식은 운동량 보존방정식으로, 유체 내의 운동을 나타내며, 속도, 압력, 점성력 등의 상호작용을 다룹니다.
(3) 식은 에너지 보존방정식으로, 에너지 전달과 관련이 있으며, 온도 변화와 열전달을 다룹니다.
이 세 가지 보존방정식 뿐만 아니라 화학종 보존식, 파티클 등의 다른 보존식도 유동해석에서 활용됩니다.
유체의 움직임은 각 지점마다 속도가 다르기 때문에 이 미분방정식을 사용하여 이러한 변화를 정확하게 표현하여 예측해야 합니다. 그래서 미소체적에 대한 분방정식을유도하여 편미분 방정식으로 정리하고, 컴퓨터로 풀기 위해 초기 조건과 벽면 조건을적용하는 과정을 포함합니다.
질량 보존방정식(연속방정식)은 질량 보존법칙을 유체에 적용해 만든 방정식입니다. 위 그림에서 볼 수 있듯이 염화칼슘과 황산나트륨 용액이 반응하면 황산칼슘과 염화나트륨이 생성되는데 반응 전과 후의 총 질량은 같습니다. 이처럼 시간 변화에 상관없이 일정 영역 내의 유체의 질량은 변하지 않습니다. 그래서 특정 영역의 입출구로 들어오는 유체의 질량 흐름을 고려하기 때문에 시간과 공간에 따라 유체의 질량 변화를 예측할 수 있습니다.
질량 보존방정식은 수학적 원리를 적용한 적분 연속 방정식인데, 발산정리 (divergence theorem) 하면 아래 식과 같이 미분 연속 방정식이 됩니다.
체적에 대한 질량보존 방정식, 면적분을 체적 적분으로 변환하였고, 이를 정리하면 미분 연속 방정식이 됩니다.
운동량 보존방정식은 미소체적에 대해 방정식을 유도할 수 있습니다.
(ρ:밀도)
(dx, dy, dz: 체적 (밀도 ∗ 체적 = 질량))
(
( 𝐅: 미소체적 내의 모든 힘)
( 𝐅surface: 표면에 작용하는 힘 (주로 전단 응력,압력, …))
( 𝐅body: 체적에 작용하는 힘 (전자기력,중력, … ))
이 방정식은 뉴턴의 제 2 법칙을 적용하여 유체의 운동량 변화를 모델링한 형태입니다. 방향성을 고려해 3 개의 식이 포함되어 있으며, 힘과 가속도의 상호작용을 통해 유체의 운동 특성을 이해하고 예측할 수 있습니다. 유체에 작용하는 힘에는 압력을 제외하면 점성력과 중력이 있습니다.
점성력은 유체흐름의 반대로 작용하는 힘으로, 유체와 유체 또는 유체와 유관 벽면 사이의 전단 응력(shear stress)에 의해 발생합니다. 중력은 유체가 있는 공간 전체에 작용하는데 이는 벡터장을 사용해 표현합니다.이 두 가지 힘을 식에 포함시키면 나비에-스톡스 방정식이만들어집니다. 나비에-스톡스 방정식의 각 항에 대한 의미는 잠시 후에 알아보도록하겠습니다.
에너지 보존방정식은 열전달과 내부 에너지 변화를 고려하여 유체의 에너지 변화를 나타내는 방정식입니다. 이 방정식은 열역학적 특성(열역학 제 1 법칙)으로 미소체적을 고려해 열량의 입출입을 계산하며, 시스템의 에너지 흐름을 분석하고 예측하는 데사용됩니다.
중간에 있는 식은 열역학 1 법칙인데, 𝑄̇ 는 전도이고, 열전도도와 온도구배의 곱이며,𝑊̇ 는 외부작용힘과 힘의 방향으로의 변위의 곱, 그리고 𝐷𝐸/𝐷𝑡 는 에너지 변화율입니다. 이식을 통해 아래의 에너지방정식을 유도할 수 있습니다.
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