프란틀 수는 운동량과 열 경계층(boundary layer) 사이의 관계를 나타내는 파라미터이며 아래의 방정식으로 계산 되며, 유체의 점도와 열전도율을 이용해서 표현한다. 일반적으로 고체 온도에서 유체 포용 온도(bulk temperature)로 변하는 유체의 온도 구간을 열 경계층이라고 하며, 열 경계층과 운동량 경계층 사이에 상대적인 크기를 나타내는 것이 프란틀 수이다.
예를 들어 프란틀 수가 1일 경우 열과 운동량의 경계층 두께가 같다는 것을 의미하고, 일반적인 대기압에서 공기는 프란틀 수가 0.7이며, 섭씨 20도인 물의 경우 프란틀 수는 7정도이다. 프란틀 수는 층 흐름 내에서 운동량의 확산 상수가 열의 확산 상수의 몇 배인가 하는 것을 의미한다. 프란틀 수가 1보다 매우 작으면 열의 확산이 주로 일어나며, 1보다 크면 운동량의 확산이 지배적으로 일어나게 된다. > 프란틀 수 더 자세히 보기🔎
where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity),
μ: 점성(dynamic viscosity), k: 열전도율(thermal conductivity), cp: 비열(specific heat)
Prandtl number에 따른 열 경계층 변화 Pr<1(>왼쪽) Pr>1(오른쪽)
슈미트 수는 운동 점성도와 물질(분자) 확산 계수의 비로 나타내는 무차원 수이다.
유동 내에 동시에 운동 확산과 물질 확산이 동시에 일어날 때 그 특성을 나타내는 데 사용된다. 열전달에서의 프란틀 수에 상당하는 역할을 하는 것인데, 프란틀 수가 유체의 성질만으로 결정되는 값인데 비해, 슈미트 수는 유체의 성질과 그 속을 확산하는 물질의 성질에 의해 결정되는 값이다.
페클레 수는 대류와 확산의 정도를 나타내는 지표로 일반적으로 전산유체역학 해석에서 안정화 정도를 나타내는 지표로 사용되며 페클레 수가 1이하인 경우에 안정하며, 1이상인 경우 불안정하다고 본다. 따라서 전산유체역학 해성을 위한 모델링을 하는 과정에서 이 수가 1이 넘지 않도록 격자(Mesh)를 생성하는 것이 해석의 안정성을 보장한다고 볼 수 있으며, 해석을 수행하는데 계산이 수렴하지 않고 발산하는 경우 이 수가 1이 넘지 않는지 제일 먼저 확인해 보아야 한다. 이에 대한 제일 간단한 해결책은 격자의 크기를 줄이거나 시간 간격을 줄이는 것으로, 이는 해석 시간 및 해석 비용을 늘리는 단점이 있기 때문에, 페클레 수와 해석 비용 사이의 적당한 균형을 맞추는 것이 필요하다. 페클레 수에 대한 정의는 일반적으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.
물질이동 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 슈미트 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where u: 유동속도, L: 특성길이(characteristics length), D: 물질확산 계수(mass diffusion coefficient), Sc: 슈미트 수(Schmidt number)
열전달 관점에서 보면 페클레 수는 다음과 같이 정의 되며, 레이놀즈 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where α: 열확산 계수(thermal diffusivity)
엔지니어링 분야에서 종종 페클레 수는 매우 크게 나타나는데, 이럴 경우 유체의 흐름에 있어서 하류의 영향성은 거의 사라지게 되므로, 유동의 변수는 유체 흐름 방향의 단방향(one way) 특성을 가지게 된다. 그래서, 높은 페클레 수를 가지는 유동의 특성 분석은 그렇지 않은 경우보다 좀 더 단순화 할 수 있다.
레일리 수는 자연대류(natural convection)와 같이 부력(buoyancy)에 의하여 유도된 흐름과 관련된 무차원 수이다. 그라스포흐 수와 프란틀 수의 곱으로 나타낼 수 있다.
, where ν: 동점성(kinematic viscosity), α: 열확산 계수(thermal diffusivity), β: 열팽창 계수(thermal expansion coefficient), L: 특성길이(characteristics length), g: 중력가속도(gravitational acceleration), TS: 표면온도, T∞: 유체온도, GrL: 그라스호프 수(Grashof number)
점성유체층을 가열할 때, 유체 중의 온도기울기가 특정 값이 되면 대류가 일어나게 되는데 이때의 레일리 수를 임계 레일리 수(critical Rayleigh number) 라고 한다. 보통 임계 레일리 수의 값은 1,000 정도이다.
