임의 두 물체가 접촉하게 되면 접촉면에서는 크기가 같고 방향이 반대인 접촉력(contact force)이 발생하여 상대편을 변형시키게 된다. 이렇게 접촉에 따른 물체의 변형과 응력을 분석하는 것을 접촉해석(contact analysis)이라고 부르며, 대부분의 구조해석은 접촉해석을 수반하게 된다.
접촉해석은 크게 세가지 과정으로 이루어 지는데, 우선 접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 탐색하는 과정이고, 그 다음으로는 두 물체가 상호 침투하지 못하도록 구속조건을 부과하는 과정이다. 그리고 마지막 단계에서는 접촉에 따른 변형, 변형률(stain) 및 응력(stress)을 계산하게 된다.
접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 접촉쌍이라고 부르며, 이 접촉쌍 중에서 어느 한 편을 마스터(master) 그리고 상대편을 슬레이브(slave)로 정의하게 된다. 마스터와 슬레이브의 선택은 요소망(mesh)의 조밀한 정도와 두 물체의 강성에 의하여 결정된다.
요소망 조밀도 측면에서는 엉성한 요소망을 가진 물체의 경계가 마스터가 되고 조밀한 쪽이 슬레이브가 되는데, 이렇게 하는 것이 두 물체의 상호 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다. 그리고 강성적인 측면에서는 강한 물체가 마스터가 되고 상대적으로 연한 물체가 슬레이브가 된다. 이 또한 접촉경계에서의 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다.
접촉해석에 있어 접촉쌍의 탐색과 침투량의 최소화는 접촉해석 기법에 크게 영향을 받는데, 벌칙기법(penalty method)은 적용하기는 간편한 반면 상대적으로 많은 침투량을 허용하는 단점이 있다. 반면, 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)은 침투량을 거의 허용하지 않는 반면 접촉경계 상의 절점(node)의 개수에 비례하여 미지수가 증가하는 단점을 지니고 있다. 접촉해석에 있어 접촉쌍의 정의는 접촉해석의 성공여부를 결정짓는 주요한 사항이므로 이에 대한 충분한 지식을 사전에 습득하고 있어야 한다.
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한 물체가 다른 물체와 접촉하게 되면 접촉하는 영역에서는 두 가지 물리적 조건이 수반된다. 첫째는 두 물체의 공통 접촉 경계(common contact interface)에서 상대방 물체의 내부로 침투해 들어갈 수 없는 비침투 조건(non-penetration condition)이고, 둘째는 접촉 경계에서 크기가 같고 방향이 반대인 힘을 서로 주고 받는다는 사실이다. 후자의 경우는 우리가 잘 알고있는 뉴튼의 제3법칙인 작용 반작용의 원리에 해당된다. 보다 전문적인 용어로 전자를 운동학적 구속조건(kinematic constraint) 그리고 후자를 접촉응력 구속조건(contact stress constraint)이라고 부른다.
이러한 접촉현상을 수치해석(numerical analysis)적으로 시뮬레이션하는 작업을 접촉해석(contact analysis)이라고 부르고 대부분의 조립체 해석을 위해 필수적으로 수반된다. 하지만 접촉해석에 있어 두 물체가 접촉하는지 그리고 접촉하게 되면 어느 부위가 얼마만큼 접촉하는지를 파악하는 것이 선행되어야 한다. 이러한 작업을 접촉탐색이라고 부르며, 크게 절점-대-면 접촉탐색(node-to-surface contact search) 방식과 면-대-면 접촉탐색(surface-to-surface contact search) 방식에 의하여 수행된다.
전자는 한 물체의 경계 상에 위치한 각 절점(node) 단위로 상대방과 접촉하는지 여부를 판단하는 방식인 반면, 후자는 한 물체의 경계 영역 단위로 상대방과의 접촉여부를 판단하는 방식이다. 두 가지 방식은 나름대로 장단점을 지니고 있지만, 후자의 방식이 많이 사용되고 있는 추세이다.
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유한요소 해석에서는 구하고자 하는 물체의 거동을 요소망(mesh)내 각 유한요소(finite element)의 절점(node)에서의 값을 구하여 표현한다. 이것은 거동을 근사화 시키기 위해 사용되는 기저함수(basis function)의 특성에 따라 달라질 수도 있는데, 보편적으로 사용되는 기저함수는 라그랑지(Lagrange) 형식으로 각각의 기저함수는 자신의 함수번호와 일치하는 절점에서는 1의 값을 가지고 나머지 절점에서는 모두 0이 된다.
하지만 계층적 기저함수(hierarchical basis function)에서는 이러한 특성이 만족되지 않는다. 따라서, 라그랑지 혹은 계층적 유형에 따라 요소 내 절점의 위치는 판이하게 달라진다. 보편적으로 사용되는 라그랑지 유형의 요소에 있어서 절점은 요소의 각 모서리(vertex), 변(side), 면(surface) 그리고 내부(internal)에 위치한다. 요소의 차수(element order)와 무관하게 각 모서리는 항상 절점을 가지지만 나머지 위치에서의 절점 유무는 요소차수에 의존한다.
각 절점에서 물체의 거동값을 절점 자유도라고 부르는데, 각 절점에서의 자유도 개수는 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 좌우된다. 예를 들어, 물체내 온도분포를 구하고자 하는 경우 각 절점에서의 자유도(degree of freedom) (즉, 미지수)는 하나이다. 하지만, 유속과 압력을 동시에 구하고자 하는 경우에는 각 절점에서의 자유도는 네 개가 된다 (2차원 문제의 경우에는 세 개).
따라서, 온도 분포를 구하는 해석문제에 있어서 총 자유도는 요소망내 총 절점수와 일치하지만, 거동값이 방향별 성분을 가지는 경우나 연계해석(coupled analysis)과 같이 여러 유형의 거동들을 동시에 구하는 경우는 총 자유도는 총 절점수보다 훨씬 많아지게 된다.
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한 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 세부 영역들로 분할할 경우, 각 세부 영역 하나 하나를 유한요소(finite element)라고 부른다. 좁은 의미에서의 요소망은 이렇게 한 물체의 기하학적 영역을 유한개의 요소로 분할한 것 자체를 의미한다. 하지만 보다 정확한 의미에서의 요소망은 유한요소, 요소번호(element number), 절점(node) 및 절점번호로 구성된 하나의 유기적인 요소들의 네트워크(network)를 지칭한다.
요소망 내의 요소들은 1부터 순차적으로 번호가 부여되는데 이 번호를 요소번호라고 부른다. 요소번호는 각 요소를 구별하기 위해 필요한 일종의 명칭이다.
절점은 구하고자 하는 물체의 거동을 표현하기 위해 필요한 자유도(degree of freedom)가 부여되는 요소 상의 점을 의미한다. 절점의 위치는 요소의 모양과 종류에 따라 다양하다. 절점이 부여될 수 있는 요소상의 위치는 1차원 선요소(line element)에서는 요소의 양끝점과 선 요소의 내부에 존재하는 점, 2차원 삼각형 및 사각형 요소에서는 요소의 꼭지점(vertex), 모서리(edge)및 요소 내부에 위치하는 점이다. 3차원 요소들에 있어서는 꼭지점(vertex), 모서리(edge), 면(surface) 및 요소 내부의 점이다.
요소와 마찬가지로 한 요소망 내에 정의된 모든 절점들도 1부터 순차적으로 번호를 부여해야 한다. 각 절점에 부여된 번호를 절점번호라고 부른다. 절점번호는 그 절점의 기하학적 위치, 자유도 등의 정보를 관리하기 위해 필요하다.
강제 변위는 용어 그 자체로는 물체에 억지로 변위를 부여한다는 의미이지만, 유한요소 해석에서는 복잡한 체결구를 대체하기 위한 수단으로 효과적으로 사용된다. 예를 들어 두 물체를 볼트를 이용하여 체결하는 과정을 수치해석(numerical analysis)적으로 구현하는 경우를 생각해 보자. 볼트 나사산과 물체 사이의 복잡한 체결상태를 재현하는 것은 상당히 어려운 작업일뿐더러, 나사산과 물체 사이의 상호적인 거동을 필요로 하는 경우는 거의 드물다. 따라서 볼트 머리와 너트 부분과 직접 접하는 물체 영역이 나사산의 회전에 따라 이동하는 과정을 강제 변위로 대체하면 손쉽게 체결과정을 구현할 수 있다.
이 외에도 강제 변위는 유한요소 해석에서 다양한 용도로 사용되고 있다. 예를 들어, 금속판을 성형하는 경우 펀치(punch)가 금속판을 누르는 과정을 강제 변위로 대체할 수 있다. 펀치와 직접 접촉하는 금속판 표면에 위치하는 절점(node)에 펀치의 이동량에 상당하는 변위를 강제적으로 부여함으로써 간략화 된 해석을 수행할 수 있다. 강제 변위는 강성이 무한대이고 질량을 가지지 않는 강체요소(rigid element), 갭요소(gap element), 슬라이드 라인요소(slide line element) 등과 개념적으로 유사하다.
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자연계에서 발생하는 물리적 현상들 중에는 물체의 기하학적 형상, 거동 혹은 재질 등이 반드시 만족해야 하는 구속조건(constraint)을 가지는 경우가 있다. 이러한 문제를 이론적으로 푸는 경우에는 이 구속조건을 정확히 반영할 수 있지만, 유한요소 해석(finite element analysis)과 같은 수치해석(numerical analysis)에서는 정확하게 만족시키기 어렵기 때문에 근사적으로 만족시키는 벌칙기법(penalty method)이 보편적으로 사용되고 있다.
하지만 구속조건을 정확하게 만족시켜야 하는 문제에 대해서는 라그랑지 승수법을 적용하면 가능하다. 이 기법은 라그랑지 승수(Lagrange multiplier)를 구속조건에 대한 미지수로 추가하여 물리적 현상을 수치해석적으로 풀게 된다. 그 결과 행렬방정식의 크기가 증가할뿐더러 해석에 걸리는 시간도 증가하는 단점을 안고 있다. 이 기법의 물리적 의미는 라그랑지 승수라는 가상의 힘을 구속조건이라는 물리량에 가하여 이들의 곱을 물체의 내부 에너지에 더하는 것이다. 구속조건을 근사적으로 만족시키는 벌칙기법과는 서로 상반되는 장단점을 지니고 있다. 참고로 구속조건의 개수만큼 미지수의 개수도 증가한다.
예를 들어 해석 대상의 물체가 비압축성(incompressibility) 재질이라면 이 조건을 만족시키기 위해서는 각 유한요소(finite element), 유한요소 내 각 절점(node) 혹은 각 수치 적분점(integration point) 마다 구속조건을 적용해야 하기 때문에 미지수의 크기는 엄청나게 증가하게 된다. 하지만 벌칙기법에서는 구속조건의 개수와 무관하게 미지수가 증가하지 않기 때문에 구속조건에 따른 미지수 증가가 문제시 되는 경우에 매우 효과적이다.
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유한요소 해석을 위해 대상이 되는 물체의 기하학적 영역을 여러 개의 작은 세부 영역들로 쪼개는 작업을 요소망(mesh)을 생성한다고 말한다. 그리고 각각의 세부 영역들을 유한요소(finite element)라고 부르는데, 이와 같이 요소망을 생성하는 이유는 구하고자 하는 물체의 거동을 근사하기 위해 사용되는 기저함수(basis function)를 아무리 물체의 형상이 복잡하더라도 체계적이고 효과적으로 정의하기 위함이다. 그리고 유한요소법이라는 이름이 붙여지게 된 근원이 바로 여기에 있다.
각각의 요소는 절점(node)이라 불리는 특정한 점들을 가지고 있는데, 이 절점들에서 물체의 거동값을 계산하여 요소망 전체에 걸친 거동의 전체 분포를 최종적으로 표현(근사)한다. 한편, 각 절점에서의 물체의 거동값은 물체 거동을 계산하기 위해 수치적으로 변환시킨 행렬 방정식의 미지수, 즉 자유도(degree of freedom)에 해당된다.
한 절점이 가지게 되는 미지수의 개수를 절점 자유도(nodal degree of freedom)라고 부르며, 풀고자 하는 물체 거동의 유형에 따라 달라진다. 요소 자유도란 한 요소내 각 절점에서의 자유도를 모두 합한 자유도를 의미한다. 예를 들어 절점 자유도가 3인 4개의 절점으로 구성되어 있는 사각형 요소의 요소 자유도는 12가 된다.
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유한요소 해석(finite element analysis)에 있어 필수적인 요소망(mesh)을 구성하는 유한요소(finite element)는 물체의 형상을 유한 개로 나누어 세분화 시킨 작은 기하학적 영역 하나 하나를 일컫는다. 유한요소는 그 형상, 절점 혹은 요소 차수(element order)에 따라 구분된다. 2차원의 경우를 예를 들면, 형상에 따라 삼각형 혹은 사각형 요소로, 차수에 따라 1차, 2차 혹은 고차 요소로 구분된다. 그리고 3-, 4-, 8- 혹은 9-절점 요소로도 구분하는데, 여기서 숫자는 한 요소가 가지는 절점을 나타낸다.
절점의 개수는 요소의 차수와 관련이 있을 뿐더러 해당 요소가 가지는 자유도(degree of freedom) 혹은 미지수의 개수와도 연관이 있다. 예를 들어 1차원에 있어 1차 함수 즉 직선은 양 끝 점의 위치가 결정되면 공간 상에서 그 위치가 고정된다. 이 경우 양 끝 점의 위치는 두 개의 미지수 혹은 자유도에 해당된다.
요소에 있어 절점이란 이러한 개념으로 생각하면 이해하기 쉽다. 즉 4-절점 요소라면 각 절점에 하나의 미지수를 가지므로 총 4개의 미지수를 가지는 요소라고 생각할 수 있다(하지만 물체의 거동이 스칼라가 아닌 벡터의 경우에는 성분들을 지니고 있기 때문에 한 절점에서 벡터의 성분개수 만큼의 미지수를 가질 수 있음에 유의).
예를 들어, 4-절점 요소로 온도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에 하나의 온도 값을 미지수로 하기 때문에 이 요소는 총 4개의 미지수를 갖는다. 하지만 4-절점 요소로 2차원 속도 분포를 계산하는 경우에는 각 절점에서 x 및 y방향 속도 성분을 미지수로 가지므로 이 요소는 총 8개의 미지수를 가진다.
요소망 내 인접한 요소들은 같은 위치에 있는 절점들을 서로 공유한다. 이를 통해서 요소망 내 모든 요소들은 서로 연결되어 하나의 유기적인 네트워크를 형성하게 된다. > 절점 더 자세히 보기🔎
특수한 목적의 유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 사용되는 유한요소(finite element)의 일종으로, 질량이 전혀 없을뿐더러 하중을 받아도 변형이 전혀 발생하지 않는, 즉 강성(stiffness)이 무한대인 요소이다. 이 요소는 유한요소 해석이 직면하는 여러 가지 어려운 문제들을 매우 효과적으로 처리해 준다.
몇 가지 예를 들면 다음과 같다. 결합시키고자 하는 두 개의 서로 다른 요소망(mesh)이 결합되어야 할 경계에서 요소망의 패턴이 서로 일치하지 않을 경우, 경계면 상에 존재하는 두 요소망의 절점(node)들을 강체요소로 연결시켜 효과적으로 결합시킬 수 있다. 그리고 동적 시스템 내부에 존재하는 일부 부품에 대하여 질량만을 고려하여 총 질량을 집중질량(lumped mass)으로 단순화 시키는 경우에도 사용된다. 즉 부품의 집중질량을 무게중심에 위치시키고 이 집중질량과 연결되어야 할 인접 부품의 요소망 내 한 절점을 강체요소로 연결시키기만 하면 된다. 또한 해석문제에 내포되어 있는 각종 기하학적 구속조건들도 강체요소를 이용하여 효과적으로 구현할 수 있다.
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