물체는 형상, 재질 및 외부 구속상태에 따라 고유한 진동 특성을 나타낸다. 여기서 고유한 특성이란 외부에서 어떠한 동적 자극을 받지 않은 상태에서 그 물체가 가지는 본질적인 특성을 의미한다. 이러한 맥락에서 모드해석을 고유치해석(eigenvalue analysis)이라고도 부른다. 물체의 고유한 진동 특성이란 고유주파수(natural frequency 혹은 eigen frequency)와 이에 대응하는 고유모드(natural mode 혹은 eigen mode)를 의미한다.
고유모드란 물체가 주어진 구속상태에서 자유로이 변형될 수 있는 형상을 의미하고, 고유진동수란 이 고유모드가 단위 시간당 얼마나 빨리 반복되는가의 정도를 나타낸다. 예를 들어 시계추는 수직 축에 대해 일정한 각도로 좌우로 요동한다. 여기서 수직 축에 대해 일정한 각도로 기울어져 있는 시계 추의 형상이 고유모드에 해당되고, 1회 왕복하는데 걸리는 시간의 역수에 2π(약 6.14)를 곱한 값이 고유진동수가 된다. 참고로 1회 왕복하는데 걸리는 시간을 고유주기라고 부르고 이 고유주기의 역수를 고유주파수라고 부른다.
고유주기의 단위는 초(second)이며 고유주파수의 단위는 헤르쯔(Hz)이다. 고유진동수는 단위는 단위시간당 왕복한 각도이다. 시계추의 운동은 자유도(degree of freedom)가 한 개밖에 없기 때문에 고유모드와 고유진동수도 각각 하나밖에 존재하지 않는다. 다른 예로 한쪽 끝이 고정되어 있는 긴 나무판은 무한개의 고유모드와 고유진동수를 가진다. 왜냐하면 나무판이 변형될 수 있는 모양은 무한히 가능하기 때문이다.
고유진동수와 고유모드는 진동수가 낮은 값으로부터 높은 값으로 순차적으로 구분한다. 진동수가 낮은 값일수록 대응되는 고유모드의 형상은 단순하다. 낮은 고유진동수일수록 물체가 변형되기 쉬운 고유모드 형상을 의미하고 고유진동수가 높아질수록 고유모드는 변형하기 어려운 형상이 된다. 참고로 고유진동수와 고유모드의 개수는 자유도와 일치한다. 나무판의 경우, 나무판을 요소망(mesh)으로 분할하여 유한요소 해석(finite element analysis)을 수행하게 되면 고유진동수와 고유모드는 유한개로 줄어든다. 그 이유는 요소망으로 분할된 나무판의 변형 모양은 요소망이 가지는 자유도로 한정되기 때문이다.
하중을 받으면 물체는 변형되고 물체의 내부에는 외력에 저항하려는 내력 즉, 응력(stress)이 발생하게 된다. 지구 상의 대부분의 물체는 연속적이고 조밀한 분포를 가진 입자들로 구성되어 있다. 이러한 측면에서 연속체(continuum material)라는 용어를 사용하고 있으며, 변형이나 응력과 같은 물체의 거동은 물체 내에서 연속적인 분포를 나타낸다.
그런데 이러한 물체의 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법으로 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 변형은 연속적인 분포를 나타내지만, 변형률(strain)과 응력은 요소망(mesh) 내 이웃한 유한요소(finite element) 사이에서 불연속성을 나타낸다. 그 이유는 다름아닌 물체의 변형을 근사화 하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function, 혹은 기저함수(basis function)라고도 불림)의 특성 때문이다.
유한요소해석에 사용되는 대부분의 보간함수는 기본적으로 인접한 요소 사이에서 연속적이지만 이 함수의 미분은 요소 사이에서 불연속적이다. 변형률과 응력은 모두 변형의 미분으로 정의되기 때문에 결국 변형률과 응력은 인접한 요소 사이에서 불연속적인 분포를 나타내게 되는 것이다. 하지만 우리가 상용 유한요소해석 프로그램을 사용하여 화면상에 응력을 출력하면 인접한 요소 사이에서 연속적인 분포를 보여준다. 이것은 프로그램 내에서 불연속적인 변형률과 응력을 연속적인 분포를 갖도록 인위적으로 수정하기 때문이다.
대부분의 경우 인접한 요소들의 공동 경계면(interface)에서의 변형률 혹은 응력값의 평균을 취하여 연속적인 분포로 수정하고 있다. 이처럼 인접한 요소 사이에서 불연속한 응력값의 평균을 취하여 정의한 응력을 평균응력이라고 부른다.
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아무리 큰 힘을 받더라도 형상이 전혀 변하지 않는, 즉 변형이 전혀 발생하지 않는 물체를 일컫는다. 다시 말해 강한 정도가 무한대인 물체로 엄밀한 의미에서 실제로 지구상에 존재하지 않는 가상적인 물체이다. 왜냐하면 지구상의 모든 물체는 크기의 정도에 차이가 있을 뿐 변형이 전혀 발생하지 않는 물체는 존재하지 않기 때문이다. 변형률(strain)이 발생하지 않지만 강체는 힘을 받게 되면 이에 상응하는 응력이 물체 내부에 발생하게 된다.
모든 강체운동은 병진운동(translation motion)과 회전운동(rotational motion)의 조합으로 표현할 수 있다. 전자는 물체 전체가 하나의 일직선을 따라 회전없이 평행 이동하는 것을 말하며, 후자는 물체가 어느 한 점을 중심으로 이동없이 회전하는 것을 말한다. 1차원 운동에 있어 강체운동은 한 방향으로의 병진운동 성분만 가지며, 2차원 운동에 있어서 강체운동은 두 직교 방향으로 두 개의 병진운동과 하나의 회전운동으로 구성된다. 3차원 운동에 있어서는 세 직교 방향으로 각각의 병진운동과 회전운동, 즉 6개의 성분을 가진다. 물체가 만약 힘을 받더라도 정적 상태(static state), 즉 가속도가 0인 상태에 있다면 강체운동은 발생하지 않는다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 정적 문제를 다룰 때, 조심해야 할 중요한 조건 중의 하나가 바로 강체운동이 발생하지 않도록 해야 한다는 점이다. 유한요소 해석에 있어서 이 조건은 경계조건(boundary condition) 을 통해 만족되어야 한다. 만약 정적 해석에서 경계조건이 이 조건을 만족시키지 않으면 문제를 풀 수 없다. 왜냐하면 물리적으로 하나의 해답이 존재하지 않기 때문이고, 수학적으로 행렬방정식 속의 강성행렬(stiffness matrix)이 양정치 행렬(positive definite matrix)이 되지 않기 때문이다.
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프리(pre-)라는 용어가 의미하듯이 외부에서 하중이 작용하기 전에 물체에 미리 부과되어 있는 예비하중을 의미한다.
예를 들어, 콘크리트 건축물을 시공할 경우, 콘크리트의 취성(brittle)에 따른 파괴를 방지하기 위해 연성(ductile)을 가진 철근을 내부에 넣어 콘크리트를 굳게 한다. 이러한 콘크리트 구조물을 철근으로 보강된 콘크리트(steel reinforced concrete) 구조물이라고 하고, 내부에 삽입되어 있는 철근에는 콘크리트가 굳는 동안 인장력을 가하여 콘크리트가 굳은 후에도 인장력을 계속 유지하도록 한다.
또 다른 예로는 현수교의 와이어 로우프(wire rope)가 될 수 있다. 와이어 로우프는 수 많은 금속 와이어들로 구성된 다발로 주행하는 차량을 실제로 지탱하는 교량을 지지하는 역할을 감당한다. 따라서 와이어 로우프가 교량을 지지하는 중에 와이어 로우프의 과도한 처짐을 방지하기 위해 사전에 와이어 로우프에 엄청난 예비 인장력을 부여하고 있다. 또한 주물이나 플라스틱 성형과 같이 열처리 공정을 통해 제품을 만드는 경우, 성형공정 후 제품이 대기 중에서 냉각되는 동안 불균일 온도분포에 따른 잔류응력(residual stress)이 제품 내부에 존재하곤 하는데, 이 잔류응력 역시 프리로드의 일종이다.
유한요소 해석(finite element analysis)에 있어, 프리로드는 하중 조건의 일종으로 해석에 반영된다. 특히, 비선형 해석(nonlinear analysis)에 있어서는 비선형 해석을 시작하기 전에 프리로드에 의한 물체거동 해석을 미리 수행해야 한다.
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유한요소 해석(finite element analysis)을 위해 물체의 기하학적 영역을 유한 개의 작은 영역들로 나누는 요소망 생성 작업(즉, meshing 작업)은 크게 프로그램이 자동으로 처리하는 방식과 해석자가 직접 처리하는 방식으로 나뉜다. 전자에 의해 생성된 요소망을 자동 요소망(auto mesh) 그리고 후자에 의해 생성된 요소망을 수동 요소망(manual mesh)이라고 부른다.
자동 요소망은 해석자가 요소망 생성을 위해 필요한 기본적인 사항만 입력하면 되는 반면, 수동 요소망은 해석자가 요소 분할 개수, 분할 간격 등의 모든 사항들을 일일이 입력해야 한다. 수동 요소망의 장점은 형상종횡비(aspect ratio)가 크거나 과도하게 찌그러진 요소(distorted element)를 방지할 수 있어 보다 정확한 해석결과를 얻을 수 있다는 점이다. 그리고 물체가 특이성(singularity)을 나타내는 국부적인 영역에 크기가 보다 작은 요소를 가지는 편향 요소망(gradient mesh)을 쉽게 생성할 수도 있는 장점을 지니고 있다.
하지만 수동 요소망은 형상이 간단한 경우에만 적용이 가능하기 때문에 매우 제한적인 단점을 지니고 있다. 한편, 하나의 물체에 대한 요소망을 생성하기 위해서 자동 요소망과 수동 요소망을 혼합 적용할 수도 있다. 이 경우, 특별히 신경을 써야 하는 국부영역에는 수동 요소망을 적용하고 나머지 부분에는 자동 요소망을 적용하는 것이 효과적이다.
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지구상에는 홀로 존재하는 물체는 거의 없으며, 항상 다른 물체와 다양한 형태의 접촉 상태(contact state)를 유지하고 있다. 그리고 접촉 상태는 움직이지 않는 정적(static)인 접촉과 시간과 더불어 변하는 동적인 접촉으로 크게 구분할 수 있다. 동적인 접촉에는 미끄럼(sliding)이 수반되며 그 결과 마찰력(frictional force)과 마모(wear)가 발생하게 된다.
한편, 두 물체가 접촉하는 경우에 있어 두 물체는 접촉하고 있는 상대편 물체의 경계면을 파고 들어갈 수 없다. 두 물체가 접촉하는 경우에는 기하학적 조건뿐만 아니라 역학적인 거동을 분석해야 할 경우가 종종 발생하는데, 이처럼 접촉과 연관된 거동을 분석하는 것을 접촉해석이라고 부른다. 접촉해석에서는 접촉 경계영역(contact boundary), 접촉하중(contact force), 마찰력이 관심의 주된 대상이 된다.
접촉 문제를 유한요소 해석(finite element analysis)을 통하여 풀기 위해서는 접촉영역의 탐색, 상대편 물체로의 비침투, 접촉력 및 마찰력 계산 등과 같은 핵심 사항들을 처리할 수 있는 수치기법(numerical technique)이 필요하다. 특히, 비침투 조건을 수치해석(numerical analysis)적으로 만족시키기 위해서는 벌칙기법(penalty method)과 같은 수치 알고리듬을 적용한 반복계산이 요구된다. 따라서 접촉해석은 본질적으로 비선형 해석 문제에 해당된다.
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물체의 거동에 영향을 미치는 임의 변수의 크기를 변화시켰을 경우, 만일 변수의 크기에 비례하여 물체의 거동이 변한다면 이 변수와 물체의 거동은 선형적(linear)인 관계에 있다. 이러한 선형성(linearity)을 정의하는 방법에는 크게 수학적인 방법과 물리적인 방법이 있다. 만일 물체의 거동 P가 변수 x와 y에 대해 선형적인 관계에 있다면, 수학적으로 P(ax+by)=aP(x)+bP(y)라는 관계식이 성립하여야 한다. 참고로 여기서 a와 b는 0이 아닌 임의의 상수를 나타낸다.
한편, 이러한 수학적인 관계식은 물리적으로 중첩의 원리(principle of superposition)로 설명된다. 예를 들어 x라는 크기의 힘에 의한 물체의 변형을 P(x) 그리고 y라는 크기의 힘에 의한 물체의 변형을 P(y)라고 가정하자. 그러면, 중첩의 원리는 x+y라는 크기의 힘에 의하여 발생하는 물체의 변형 P(x+y)는 x에 의한 변형 P(x)와 y에 의한 변형 P(y)의 대수적인 합과 같아야 한다는 것이다. 선형적인 거동을 나타내는 자연 현상의 해답을 구하는 작업을 선형해석이라고 부른다.
선형해석은 비선형 해석(nonlinear analysis)과 비교하여 풀이 방법이 간단할 뿐만아니라 문제를 푸는데 걸리는 시간도 상대적으로 매우 짧다. 선형과 비선형 문제의 이러한 뚜렷한 차이는 선형 문제는 단 한번의 계산과정으로 해답을 구할 수 있는 반면, 비선형 문제는 그렇지 못하기 때문이다.
유한요소 해석(finite element analysis)의 경우를 예를 들면, 선형해석에서는 [K]{u}={F}라는 행렬방정식에서 강성행렬(stiffness matrix) [K]가 물체의 거동 {u}와 무관한 일정한 값이다. 따라서 [K]의 역행렬을 구하여 하중벡터(load vector) {F}에 곱하기만 하면 한 번의 계산으로 해답을 구할 수 있다. 하지만 비선형 해석에 있어서는 [K]가 구하고자 하는 {u}의 값에 따라 변하기 때문에 선형해석처럼 단 한번의 계산과정으로 그 해답을 구할 수가 없다.> 선형해석 더 자세히 보기🔎
임의 물체의 표면이 휘어져 있는 정도를 나타내는 값으로써, 곡률의 역수를 곡률반경(radius of curvature)이라고 부른다. 예를 들어, 원통형상의 음료수 캔(can)의 표면은 축 방향으로는 평평하지만 원주방향으로는 일정한 반경을 가진 원형이다. 따라서, 캔의 축 방향으로의 곡률은 0인 반면 원주방향으로는 반경의 역수에 해당하는 곡률을 지니고 있다.
곡률은 평판(plate)과 쉘(shell)을 구분하는 기준이 되는데, 전자는 곡률이 0인 박판 구조물(thin-walled structure)인 반면 후자는 유한한 값의 곡률을 지닌 박판 구조물이다. 포괄적인 의미에서 평판은 쉘의 특수한 경우로 생각할 수 있으며, 유한요소 해석(finite element analysis)에서 평판을 쉘 요소(shell element)를 이용하여 모델링하기도 한다.
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공간상에 두 점이 주어지면 하나의 직선은 직선을 그을 수 있다. 만약 일직선 상에 놓여있지 않는 세 점이 있다고 가정하자. 이 점들 가운데 멀리 떨어져 있는 두 점을 직선으로 연결하면 나머지 한 점은 직선으로부터 떨어져 있다. 그렇다면 세 점을 모두 연결할 수 있는 방법에는 두 가지가 있을 수 있다. 첫째는 두 개의 직선으로 세 점들을 연결하는 방법이고, 둘째는 직선이 아닌 하나의 곡선으로 세 점들을 연결하는 것이다. 여기서 전자의 경우보다 후자의 경우가 보다 유연한 형태를 나타낸다.
이처럼 공간상에서 일직선 상에 놓여있지 않은 점들을 하나의 곡선으로 연결하면 점들의 개수가 증가할수록 곡선은 보다 유연한 형태가 된다. 두 점을 연결한 직선은 1차 함수에 해당되고, n개의 점들을 연결한 곡선은 (n-1)차의 함수에 해당된다. 바꾸어 말하면 한 개의 n차 곡선을 정의하기 위해서는 (n+1)개의 점들이 주어져야 한다.
만일 일정한 간격 내에 한 개의 직선을 그은 경우와 한 개의 n차 곡선을 그은 경우를 비교해 보기로 하자. 전자의 경우는 양 끝점만 주어지면 그 사이의 점들은 자동적으로 결정된다. 하지만 후자의 경우는 (n+1)개의 점들이 주어져야지만 하나의 n차 곡선을 정의할 수 있다. 여기서 공간상의 일정한 간격은 유한요소법(finite element method)에서 하나의 유한요소(finite element)에 해당되고, 이 간격 내에서 정의되는 곡선은 보간함수(interpolation function)에 해당된다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 흔히 부르는 요소 차수라는 것은 바로 보간함수 즉, 하나의 유한요소 내에서 표현하고자 하는 곡선의 차수를 말한다. 한 유한요소 내에서 높은 차수의 곡선을 사용하면 그 구간 내에서 보다 많은 점들에서의 거동값들을 표현할 수 있다. 따라서 직선으로 표현하는 것보다 보다 정확하게 대상이 되는 거동을 표현할 수 있다는 뜻이다.
유한요소 해석에 있어서 해석결과의 정확성은 요소 차수, 격자 크기(mesh size) 그리고 시간 간격(time step)에 의해 좌우된다.
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