물체에 작용하는 힘을 점진적으로 증가시키면 물체의 형상 변화인 변형(deformation)과 내부의 저항력인 응력(stress)도 점진적으로 증가한다. 물체 변형률(strain)의 크기를 수평축으로 하고 변형에 따른 물체 내부의 응력을 수직축으로 하여 그래프로 나타낸 것을 응력-변형률 선도라고 부른다. 이 선도는 인장 시험기(tension test machine)라 불리는 재료 물성 시험기에 표준 시편(standard specimen)이라 불리는 시험 규격에 맞도록 제작된 재료의 시편을 사용하여 구한다.
이 선도는 재료의 고유한 인장 거동을 나타내며, 재료의 종류에 따라 각기 다른 형태를 나타낸다. 가장 일반적인 강철(steel)의 경우, 비례 한도(proportional limit)라 불리는 응력값까지 변형률과 응력은 직선적인 관계를 유지하며, 이 직선의 기울기를 탄성 계수(elastic modulus)라고 부른다. 이 지점 이내로 물체에 힘을 가하면 물체는 탄성 변형(elastic deformation)을 일으켜 힘을 제거하면 물체는 원래 모양 그대로 복원된다.
이 지점을 지나면 곧바로 항복점(yielding point)이라 불리는 응력값에 도달하게 되고, 이 지점보다 큰 하중을 물체에 가하면 물체는 하중을 제거하여도 영구적인 변형이 남는 소성 변형(plastic deformation)을 일으키게 된다. 이 지점을 통과하여 힘을 가하면 물체는 극한 강도(ultimate strength)라 불리는 응력값에 도달하게 되고 이 응력값이 바로 물체가 지탱할 수 있는 최대 강도를 나타낸다. 이 이상으로 물체에 힘을 가하면 물체가 끊어지는 파단점에 도달하게 된다.
응력을 물체의 변형 전 단면적으로 계산한 공칭 응력(nominal stress)으로 구한 선도를 공칭 응력-변형률 선도라고 부르고, 변형된 실제 단면적으로 계산한 진응력(true stress)로 구한 선도를 진응력-변형률 선도라고 부른다. 하지만 전자의 경우가 많이 사용되고 있다. > 응력-변형률 선도 더 자세히 보기🔎
물체가 외부로부터 힘을 받게 되면 물체 내부에는 이 힘에 저항하려는 내부 저항력이 발생하게 된다. 이 저항력의 단위 면적당의 크기를 물체 내 각 지점에서의 응력으로 정의한다. 따라서 응력의 크기는 작용하는 힘의 크기에 비례하며 일정한 크기의 힘을 받는 경우에는 힘을 받는 면적이 작을수록 응력의 크기는 증가한다.
응력은 (힘/면적)의 단위를 가지며 단위 그 자체만 놓고 보면 응력과 압력을 구별하기 어렵다. 하지만 힘은 크기뿐만 아니라 방향을 가지고 있기 때문에 응력 또한 방향을 가진다. 힘을 물체의 표면에 수직한 성분과 평행한 성분으로 나누어 힘의 수직 성분에 의한 응력을 수직응력(normal stress) 그리고 힘의 평행 성분에 의한 응력을 전단응력(shear stress)으로 정의한다.
따라서 3차원 물체의 경우 한 평면에는 한 개의 수직응력과 두 개의 전단응력이 정의된다. 이 중에서 수직응력은 또한 인장 수직응력과 압축 수직응력으로 구분하는데, 전자는 물체를 늘어나게 하는 반면 후자는 물체를 압축시킨다. 앞서 언급한 압력은 수직응력 성분에 해당된다고 볼 수 있다. 수직응력은 주로 두 물체간의 접촉이나 유체의 압력에 의해 발생하며, 전단응력은 두 물체간의 상대적인 미끄러짐에 의해 발생한다.
응력의 크기가 과도하게 되면 그 물체는 기능을 상실하거나 심지어 파괴될 수 있기 때문에 응력은 구조물을 위시한 우리 주위 모든 물체의 구조 안전성을 판단하기 위해 매우 광범위하게 사용되고 있다. 임의 한 물체에 있어 응력은 물체 내 위치에 따라 변하는 값이며, 물체의 변형률과 밀접한 관계를 지니고 있다. 응력은 해당 물체의 강한 정도를 표현하는 물질 고유의 강성계수를 통해 변형률과 관계식을 가진다. 따라서 응력의 크기가 일정하더라도 강성이 큰 물체일수록 변형률은 작아진다.
물체가 외부로부터 힘이나 모멘트를 받으면 물체의 모양과 위치가 변할 뿐만 아니라, 물체 내부에는 저항하려는 내력이 발생한다. 물체의 모양이 변하는 정도를 나타내는 단위 길이당의 변형 즉, 변형률(strain)과 저항력의 크기를 나타내는 단위 면적당의 내력, 즉 응력(stress)과의 사이에는 특정한 관계가 있다.
영국의 자연철학자인 로버트 후크(Robert Hooke, 1635~1703)는 용수철의 힘과 변형량과의 관계로부터 탄성체(elastic material)의 변형률과 응력 사이의 관계를 최초로 정립하였다. 용수철에 가해지는 힘과 늘어난 길이는 용수철의 강한 정도를 나타내는 스프링 상수(spring constant)를 통해 상관관계를 가진다.
용수철을 잡아당기는 것은 1차원적인 변형으로 이러한 단순한 거동을 3차원 물체에 적용하기 위해서는 프와송 효과(Poisson’s effect)를 고려하여야 한다. 즉 3차원 물체를 한 방향으로 잡아당기면 서로 직교하는 다른 두 방향으로는 물체가 줄어드는 현상이 발생한다. 따라서, 한 방향으로의 힘(혹은 응력)은 세 방향으로의 변형과 서로 연관된다.
이 경우, 연관성을 지어주는 물체 고유의 재료 물성치(material properties)는 영률(Young’s modulus)이라 불리는 탄성계수(elastic modulus)와 프와송 비(Poisson’s ratio)이다. 혹은 프와송 비 대신에 전단 탄성계수(shear elastic modulus)가 사용되기도 하는데, 이 계수는 탄성계수와 프와송 비로 표현되는 물성값이다.
이처럼 모든 물체에 있어 응력과 변형률과의 관계를 물체 고유의 재료 물성치를 이용하여 표현한 것을 총체적으로 후크의 법칙이라고 부른다.
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하중을 받으면 물체는 변형되고 물체의 내부에는 외력에 저항하려는 내력 즉, 응력(stress)이 발생하게 된다. 지구 상의 대부분의 물체는 연속적이고 조밀한 분포를 가진 입자들로 구성되어 있다. 이러한 측면에서 연속체(continuum material)라는 용어를 사용하고 있으며, 변형이나 응력과 같은 물체의 거동은 물체 내에서 연속적인 분포를 나타낸다.
그런데 이러한 물체의 거동을 유한요소해석(finite element analysis)과 같은 수치기법으로 근사해(approximate solution)를 구하게 되면 변형은 연속적인 분포를 나타내지만, 변형률(strain)과 응력은 요소망(mesh) 내 이웃한 유한요소(finite element) 사이에서 불연속성을 나타낸다. 그 이유는 다름아닌 물체의 변형을 근사화 하기 위해 사용되는 보간함수(interpolation function, 혹은 기저함수(basis function)라고도 불림)의 특성 때문이다.
유한요소해석에 사용되는 대부분의 보간함수는 기본적으로 인접한 요소 사이에서 연속적이지만 이 함수의 미분은 요소 사이에서 불연속적이다. 변형률과 응력은 모두 변형의 미분으로 정의되기 때문에 결국 변형률과 응력은 인접한 요소 사이에서 불연속적인 분포를 나타내게 되는 것이다. 하지만 우리가 상용 유한요소해석 프로그램을 사용하여 화면상에 응력을 출력하면 인접한 요소 사이에서 연속적인 분포를 보여준다. 이것은 프로그램 내에서 불연속적인 변형률과 응력을 연속적인 분포를 갖도록 인위적으로 수정하기 때문이다.
대부분의 경우 인접한 요소들의 공동 경계면(interface)에서의 변형률 혹은 응력값의 평균을 취하여 연속적인 분포로 수정하고 있다. 이처럼 인접한 요소 사이에서 불연속한 응력값의 평균을 취하여 정의한 응력을 평균응력이라고 부른다.
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지면에 놓여있는 축구공의 윗면을 나무판으로 누르면 축구공이 타원형 모양으로 찌그러질 것이라는 것은 누구나 쉽게 상상할 수 있다. 나무판으로 누르는 방향으로 축구공의 반경은 줄어들지만, 이 방향과 수직하는 다른 방향으로는 축구공의 반경이 증가한다. 이처럼 지구상의 대부분의 물체는 한 방향으로 힘을 가하여 압축시키거나 혹은 늘어나게 하면 이 방향과 수직한 나머지 두 방향으로는 물체가 반대로 늘어나거나 혹은 압축된다. 이러한 거동을 프와송 효과(Poisson’s effect)라고 부르는데, 이 현상을 최초로 연구한 프랑스의 수학자 프와송(Poisson, 1781~1840)의 이름을 따서 불리게 된 것이다.
그리고 힘을 가하는 방향으로의 물체의 길이 변화량에 대한 다른 두 방향으로의 프와송 효과에 의한 길이 변화량의 상대적인 비율을 프와송 비(Poisson’s ratio)로 정의하고 있다. 대부분의 금속은 보통 0.3 근처의 값을 가지며 암석이나 콘크리트는 0.15~0.25 범위의 값을 가진다. 대표적인 비압축성 재료인 고무는 0.5의 값을 가진다.
용어에 대한 정의 그 자체로부터 알 수 있듯이 프와송 비가 높다는 것은 물체가 압축이나 인장에 대한 저항력이 낮음을 의미한다. 예를 들어 고무는 금속에 비해 압축이나 인장하중을 받으면 측면으로 쉽게 늘어나거나 오그라든다. 프와송 비는 탄성계수(elastic modulus) 및 전단 탄성계수(shear elastic modulus)와 더불어 물체의 변형률(strain)과 응력(stress)사이의 상관관계를 표현하는데 사용되는 물체의 고유한 재료 물성치(material properties)이다. >프와송 비 더 자세히 보기🔎
아무리 큰 힘을 받더라도 형상이 전혀 변하지 않는, 즉 변형이 전혀 발생하지 않는 물체를 일컫는다. 다시 말해 강한 정도가 무한대인 물체로 엄밀한 의미에서 실제로 지구상에 존재하지 않는 가상적인 물체이다. 왜냐하면 지구상의 모든 물체는 크기의 정도에 차이가 있을 뿐 변형이 전혀 발생하지 않는 물체는 존재하지 않기 때문이다. 변형률(strain)이 발생하지 않지만 강체는 힘을 받게 되면 이에 상응하는 응력이 물체 내부에 발생하게 된다.
모든 강체운동은 병진운동(translation motion)과 회전운동(rotational motion)의 조합으로 표현할 수 있다. 전자는 물체 전체가 하나의 일직선을 따라 회전없이 평행 이동하는 것을 말하며, 후자는 물체가 어느 한 점을 중심으로 이동없이 회전하는 것을 말한다. 1차원 운동에 있어 강체운동은 한 방향으로의 병진운동 성분만 가지며, 2차원 운동에 있어서 강체운동은 두 직교 방향으로 두 개의 병진운동과 하나의 회전운동으로 구성된다. 3차원 운동에 있어서는 세 직교 방향으로 각각의 병진운동과 회전운동, 즉 6개의 성분을 가진다. 물체가 만약 힘을 받더라도 정적 상태(static state), 즉 가속도가 0인 상태에 있다면 강체운동은 발생하지 않는다.
유한요소 해석(finite element analysis)에서 정적 문제를 다룰 때, 조심해야 할 중요한 조건 중의 하나가 바로 강체운동이 발생하지 않도록 해야 한다는 점이다. 유한요소 해석에 있어서 이 조건은 경계조건(boundary condition) 을 통해 만족되어야 한다. 만약 정적 해석에서 경계조건이 이 조건을 만족시키지 않으면 문제를 풀 수 없다. 왜냐하면 물리적으로 하나의 해답이 존재하지 않기 때문이고, 수학적으로 행렬방정식 속의 강성행렬(stiffness matrix)이 양정치 행렬(positive definite matrix)이 되지 않기 때문이다.
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물체가 외부로부터 하중을 받으면 어느 시점까지는 하중에 비례하여 변형률(strain)과 응력(stress)이 증가하고, 또한 하중을 제거하면 변형률과 응력은 선형적으로 감소하여 변형 전 초기형상으로 되돌아 간다. 하지만 하중의 크기가 어느 값을 초과하게 되면 하중을 제거하여도 물체는 초기형상으로 복원되지 못하고 어느 정도 크기의 영구적인 변형을 유지하게 된다. 그리고 이 시점 이후부터 변형률과 응력은 더 이상 선형적인 관계를 유지하지 않을뿐더러, 급격한 변형률을 나타냄과 동시에 최종적으로 파단에 이르기도 한다.
항복응력이란 이러한 뚜렷한 물체 거동을 구분하는 기준이 되는 응력값을 의미한다. 다시 말해, 항복응력 이하에서는 변형률과 응력은 선형적인 관계를 유지할뿐더러 하중을 제거하면 영구적인 변형이 남지 않는다. 하지만 이 시점 이상의 하중에서는 변형률과 응력은 현저한 비선형적 관계를 나타내고 하중을 제거하여도 물체는 영구적인 변형을 나타낸다.
엄밀한 의미에서 항복응력 보다 조금 낮은 응력 값인 비례한도(proportional limit)가 이러한 기준에 보다 적합하지만, 두 값의 차이가 매우 작기 때문에 통상적으로 항복응력을 주로 사용하고 있다. 항복응력은 재료의 고유한 특성으로 재료마다 각기 다른 값을 지니고 있다. 그리고 특정 재료에 대한 항복응력은 인장시험기라 불리는 실험장치를 이용하여 출력한 응력-변형률 선도(stress-strain diagram)로부터 구해진다.
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임의 두 물체가 접촉하게 되면 접촉면에서는 크기가 같고 방향이 반대인 접촉력(contact force)이 발생하여 상대편을 변형시키게 된다. 이렇게 접촉에 따른 물체의 변형과 응력을 분석하는 것을 접촉해석(contact analysis)이라고 부르며, 대부분의 구조해석은 접촉해석을 수반하게 된다.
접촉해석은 크게 세가지 과정으로 이루어 지는데, 우선 접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 탐색하는 과정이고, 그 다음으로는 두 물체가 상호 침투하지 못하도록 구속조건을 부과하는 과정이다. 그리고 마지막 단계에서는 접촉에 따른 변형, 변형률(stain) 및 응력(stress)을 계산하게 된다.
접촉 중이거나 접촉이 예상되는 두 물체의 경계영역을 접촉쌍이라고 부르며, 이 접촉쌍 중에서 어느 한 편을 마스터(master) 그리고 상대편을 슬레이브(slave)로 정의하게 된다. 마스터와 슬레이브의 선택은 요소망(mesh)의 조밀한 정도와 두 물체의 강성에 의하여 결정된다.
요소망 조밀도 측면에서는 엉성한 요소망을 가진 물체의 경계가 마스터가 되고 조밀한 쪽이 슬레이브가 되는데, 이렇게 하는 것이 두 물체의 상호 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다. 그리고 강성적인 측면에서는 강한 물체가 마스터가 되고 상대적으로 연한 물체가 슬레이브가 된다. 이 또한 접촉경계에서의 침투량을 최소화 시킬 수 있기 때문이다.
접촉해석에 있어 접촉쌍의 탐색과 침투량의 최소화는 접촉해석 기법에 크게 영향을 받는데, 벌칙기법(penalty method)은 적용하기는 간편한 반면 상대적으로 많은 침투량을 허용하는 단점이 있다. 반면, 라그랑지 승수법(Lagrange multiplier method)은 침투량을 거의 허용하지 않는 반면 접촉경계 상의 절점(node)의 개수에 비례하여 미지수가 증가하는 단점을 지니고 있다. 접촉해석에 있어 접촉쌍의 정의는 접촉해석의 성공여부를 결정짓는 주요한 사항이므로 이에 대한 충분한 지식을 사전에 습득하고 있어야 한다.
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물체가 힘을 받으면 물체의 공간상의 위치와 기하학적 형상에 변화가 일어난다. 여기서 위치와 형상의 변화를 명확히 구별하기는 어렵지만, 전자는 물체 내 각 지점을 대상으로 그리고 후자는 물체의 특정 부위 혹은 전체를 대상으로 생각하면 이해하기 쉽다. 물체 내 한 지점이 다른 지점으로 이동한 량을 변위(displacement)라고 정의하고, 물체의 특정 부위 혹은 전체의 형상 변화를 통상적으로 변형(deformation)이라고 부른다.
변형이 발생하면 반드시 변위가 수반되지만 역으로 변위가 발생한다고 해서 반드시 변형이 수반되는 것은 아니다. 이렇게 변형이 수반되지 않는 물체의 위치변화를 특별히 강체운동(rigid body motion)이라고 한다. 따라서 변위는 강체운동과 변형의 조합으로 표현된다. 변형률은 이러한 변형의 크기를 나타내는 량으로서 수직변형률(normal strain)과 전단변형률(shear strain)로 구분된다. 강체운동만 일으키는 물체에는 변형률이 전혀 발생하지 않는다. 수직 변형률은 물체의 단위길이당 늘어난 량으로, 그리고 전단 변형률은 직각을 이루는 두 직선의 변형 후 각도 변화로 정의된다.
변형률은 정의 자체가 늘어난 길이를 변형 전 길이로 나눈 값이기 때문에 단위를 지니지 않는 값이다. 참고로 직선과 같은 1차원 물체에서는 전단 변형률이 존재하지 않으며 단지 하나의 수직 변형률 만이 정의된다. 응력(stress)과 마찬가지로 변형률도 물체 내 위치에 따라 변하는 값이며, 응력과 밀접한 관계가 있다.
수직변형률은 수직응력과 그리고 전단변형률은 전단응력과 각각 관계식을 가지며, 이 관계식은 물체 고유의 강성계수를 통해 표현된다. 또한 응력과 마찬가지로 변형률도 물체 내 각 점에서 정의되는 값이다. > 변형률 더 자세히 보기🔎
